2025-2026学年广西名校高考模拟高三上学期第一次摸底考试数学试题（附答案解析）

这是一份2025-2026学年广西名校高考模拟高三上学期第一次摸底考试数学试题（附答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．李老师家有3名人员，3名人员的年龄与2年后的年龄相比较，一定不会发生变化的是（ ）．
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
2．若，则在复平面内z对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知集合，则（ ）．
A．B．C．D．
4．不等式的解集是（ ）．
A．B．C．D．
5．在中，的平分线交于，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．6D．4
7．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为，那么（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．已知数列的前项和为，，且，则（ ）．
A．不是等比数列B．
C．D．
10．已知函数是定义在上的奇函数，且在内单调递减，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为，过 的直线与双曲线的右支交于两点(在第一象限)，中点为，的内切圆圆心分别为，半径分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． 三点共线B．直线斜率存在时，
C．若，则直线的斜率为D．的取值范围是
三、填空题
12．如图，正五边形ABCDE的边长为1，则 ．
13．已知定义在上的函数满足，则 ．
14．如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度）．将此四棱锥容器倒置时，水面高度为 ．

四、解答题
15．设函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数在内只有一个零点，求实数a的取值范围．
16．如图，已知椭圆过点，且焦距为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设、是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于另一点，且直线与直线关于对称，求的面积．
17．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恰有两个零点，且
（i）求的取值范围；
（ii）设在定义域内单调递增，求出k与的函数关系式，并证明．
19．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，．
(1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？
(2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．
①当时，求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望；
②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为，求．
参考公式与数据：，其中．
性别活动
男生
女生
合计
未报名参加答题活动
报名参加答题活动
合计
100
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
《广西名校高考模拟2025-2026学年高三上学期第一次摸底考试数学试题》参考答案
1．C
【分析】设李老师家3名人员的年龄从小到大，分别为，得到这3名人员2年后的年龄分别为，结合平均数和方差的计算公式，以及中位数和众数的定义，进行判断，即可求解.
【详解】设李老师家3名人员的年龄从小到大，分别为，
则这3名人员2年后的年龄分别为，
对于A，3名人员的年龄平均数为，
2年后的年龄的平均数为，显然，所以A不符合题意；
对于B，3名人员的年龄中位数为，2年后的年龄的中位数为，
显然，所以B不符合题意；
对于C，3名人员的年龄的方差为：，
2年后的年龄的方差为：
，
所以，所以方差不变，所以C符合题意；
对于D，设3名人员的年龄的众数为，则2年后的年龄的众数为，所以D不符合题意.
故选：C.
2．A
【分析】先根据复数的除法进行化简，再根据复数的几何意义判断可得.
【详解】由，得，复数z对应的点为，在第一象限.
故选：A
3．C
【分析】先证明对任意，则，再证明，但，由此可得结论.
【详解】对任意，存在，使得，
由于，令，则，所以，故，
又（当时），但（由解得），所以是的真子集，
故选：C
4．B
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解.
【详解】当，解得，此时不等式恒成立；
当时，即时，不等式，平方得，
即，即，解得，所以，
综上可得，不等式的解集为.
故选：B.
5．D
【分析】先根据正弦定理求出，然后根据正弦定理求出.
【详解】由题意，根据正弦定理得
，解得，而为三角形内角，
所以，所以.
根据正弦定理，解得.
故选：D.
6．D
【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案.
【详解】由抛物线定义可知，
因为直线AF的倾斜角为，轴，
，
所以为等边三角形，
故，，
所以，
其中准线l与轴交点为，则，故，
所以.

故选：D.
7．D
【分析】利用等差数列的性质和通项公式、前项和公式进行求解即可.
【详解】由题意得，
.
两式相减得，
解得.
因为，化简得
因为，所以由方程②可得，代入方程①可得，
因为，化简得，
解得.
故选：D.
8．A
【分析】先求出直角三角形的两条直角边，然后求出，最后根据二倍角的余弦公式求出结果.
【详解】由题意可知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为.
设直角三角形的长直角边为，则短直角边为，
根据勾股定理得，化简得，
解得或（舍去）.
所以，所以.
故选：A.
9．ACD
【分析】当时，可求出的值；当时，由得，两式作差可得出，可求出数列的通项公式，逐项判断即可.
【详解】因为数列的前项和为，，且，
当时，，
当时，由得，
上述两个等式作差得，可得，但，
所以数列从第二项开始成公比为的等比数列，
故当时，，所以，
对于A选项，数列不是等比数列，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
10．AC
【分析】令，其中，分析函数的对称性与单调性，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】令，其中，
则，
，则，
故函数的图象关于直线对称，排除B选项，
因为函数是定义在上的奇函数，且函数在上单调递减，
故函数在上单调递减，
故当时，，此时，故函数在上单调递减，
排除D选项.
故选：AC.
11．ABD
【分析】设点，在A项中，由双曲线的焦点三角形的内切圆一定切于顶点（右焦点就对应右顶点），通过列式判断．由斜率公式及点差法可以判断B，设直线的倾斜角为，得到，，进而可判断CD.
【详解】依题意，得得，则.
设点 ，
对于A项，如图，设 的内切圆的切点为，
由双曲线的定义得， ，而，
得 ，而 ，，
得 ，又因为
得切点T与点B 重合，得点，则内心的横坐标为1，
同理可得，内心的横坐标也为1，得三点共线，故A项正确.
对于B项，由相减得，
得 ，即，故B项正确；
对于C项，设直线的倾斜角为，连接，
则 ，
若 ，则 ，，故C项错误；
对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：，倾斜角分别为，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
所以 ，
令，则，则在上单调递减，在上单调递增，
故，
故 ，故D项正确.
故选：ABD
12．/
【分析】根据向量数量积的定义，把转化为在上的投影与的乘积，即可求解.
【详解】如图所示，正五边形的边长为，过点作于，
则.
故答案为：
13．
【分析】分别令即可求解.
【详解】令可得：，
令可得：，
两式联立可得：，
故答案为：
14．
【分析】根据棱锥的性质：截得棱锥与原棱锥的体积比等于它们对应高的比的立方，再结合水的体积不变特征可得.
【详解】当正面放时，设正四棱锥的体积为，高为4，水的体积为，高为2，
则水的上方形成一个小正四棱锥的体积为，根据正四棱锥的性质有，得.
当倒放时，由于水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设其高为，
根据四棱锥的性质有，即，解得.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和倍角公式、辅助角公式化简，再利用整体代换思想求增区间；
（2）将问题转化为与图象只有一个交点，结合图象即可求出.
【详解】（1）
则，
令，则，
则的单调递增区间为；
（2），则，
画出的图象如图，其中，

因函数在内只有一个零点，
则与图象只有一个交点，则或，
则实数a的取值范围为
16．(1)
(2)
【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义求出的值，即可得出的值，进而可得出椭圆的标准方程；
（2）分析可知，可得出直线的方程，将该直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，可得出直线的方程以及的值，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】（1）由题意可知，则，故、，
由椭圆定义可得，
所以，则，
因此椭圆的标准方程为.
（2）因为直线与直线关于对称，则，
所以直线的方程为，即，
联立，可得，即，
解得或，
设点，结合图形可知，故，则，
故点，
所以，故直线的方程为，即，
，
点到直线的距离为，
故的面积为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）应用两次线面平行判定定理可得出平面平面，进而得出平面；
（2）先应用面面垂直性质定理得出平面，建系求出平面的法向量，最后应用线面角正弦公式计算求解.
【详解】（1）如图所示，取中点，连接，
因为在矩形中，，是的中点，
所以，即四边形为平行四边形，
从而，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为分别是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）取中点，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，所以，
所以两两互相垂直，
以点为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，
设，
因为四边形为平行四边形，所以，
即，所以，
故，
又因为，
解得，
又因为是中点，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得，
所以平面的法向量为，
设直线和平面所成角为
故所求为.
18．(1)答案见解析
(2)（i）（ii），证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，结合函数的定义域，讨论的取值，即可求解函数的单调区间；
（2）（ⅰ）根据（1）的结果可知，函数的极大值，解得，再根据零点存在性定理，即可求解；（ⅱ）根据题意可知，恒成立，讨论函数的类型，即可求解与的关系式，根据函数的单调性得，整理后可得，再根据（1）的结果，即可证明.
【详解】（1）因为的定义域为，所以，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递增，
，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）（i）由（1）知，需满足，在处取得极大值，且，
，令，显然在上单调递减，，
所以，又因为，，
所以在和上各有一个零点，且，
综上所述，．
（ii），
所以恒成立，
当时，不能恒成立，所以，
由均值不等式知：，且时等号成立，
所以，（*）
当因为，则，所以不等式（*）要成立，则，
得，此时.
因为，所以
整理得，即，又，
所以，由（1）得，．
19．(1)列联表见解析；有的把握认为该校学生报名参加答题活动与性别有关联.
(2)①；②.
【分析】（1）根据题意，结合条件概率的定义，求出相应的数据，完成的列联表，求得的值，结合附表，即可得到结论；
（2）①先列出随机变量的概率表达式，结合数学期望的计算公式，得到数学期望的表达式，化简后利用乘公比错位相减法求和，求得随机变量的数学期望；
②根据题意，得到，当时，，利用构造法，求得数列是等比数列，数列是各项均为1的常数列，分别写出数列的通项公式，联立方程组，即可求解.
【详解】（1）解：由题意知：，
可得报名参加答题活动人数人，参加答题活动的男生人数为人，
所以报名参加答题活动的女生人数为人，
因为，可得样本中男生人数为人，女生人数为人，
所以完成的列联表，如下表所示：
可得，
所以有的把握认为该校学生报名参加答题活动与性别有关联.
（2）解：①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，
则随机变量的所有可能取值为，
所以,
则，
当时，，
所以当时，，
②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为，
所以，当时，，
因为且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
又由且，
所以数列是各项均为1的常数列，所以，
联立方程组，解得.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
D
D
D
A
ACD
AC
题号
11









答案
ABD









性别
男生
女生
合计
未报名参加答题活动
20
35
55
报名参加答题活动
30
15
45
合计
50
50
100