广东省广州市广东实验中学2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷（含答案）

这是一份广东省广州市广东实验中学2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
下列各种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（）
A.B.
C.D.
已知一个三角形的两条边长分别为 4 和 6，则第三条边的长度不可能是（）
A. 3B. 5C. 6D. 11
下列计算中，正确的是（）
t2  t4  t8
B. (a2 )3  a6
C. (3x)2  6x2
D. 3a  2b  5ab
如图，已知 AB  AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DAC≌△BAC 的是（ ）
A CB  CD
B. BAC  DAC
C. AD  CD ， AB  CB D.
BCA  DCA
在平面直角坐标系 xOy 中，点 A2, n 与点 B m, 4 关于 x 轴对称，则 m  n 的值为（ ）
A. 0B. 2C. 2D. 6
下面四个图形中，作V ABC 的边 AB 上的高，正确的是（ ）
A.B.
C.D.
如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中 AB  AC ， BC 是横梁， AD 是竖梁．在焊接竖梁 AD 时，只需要找到 BC 的中点 D，就可以保证竖梁 AD 与横梁 BC 垂直，这样操作的数学依据是（）
三角形具有稳定性B. 等腰三角形“三线合一”
C. 垂线段最短D. 等边对等角
如图，在V ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，V ABC 的周长为21cm ，△ABD 的周长为12cm ，AE 
（）
9cmB. 6cmC. 5.5cmD. 4.5cm
如图，在V ABC 中， C  70 ，沿图中虚线截去C ，则1 2  （）
A. 250°B. 220C. 180D. 140
如图，将点 P 1, 2 关于第一、三象限的角平分线 l 对称，得到点 P ，则点 P 的坐标为（）
A2,1B. 2, 1
C. 1, 2
D. 1, 2
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
若等腰三角形的一个角是100，则它的一个底角是．
 1 2024
2
12. 计算： 

 22023 
13. 若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是．
14. 如图，在V ABC 中， ACB  90 ， CD  BA ， A  30， BD  5 ，则 AB ．
2
在Rt△ABC 中，A  90 ，AB  2 ，AC  3 ，点 D 在边 AC 上，将△BCD 沿 BD 翻折得BED ， 若 DE AC ，则CD 
如图， V ABC 的内角ABC 和外角ACD 的角平分线交于点 O． BO 交 AC 于点 F，过点 O 作
OG ∥ BC 交 BA 延长线于点 E，交 CA 延长线于点 G，连接 AO ，有以下结论：① CG  BE  GE ；
② FG  FO ；③ S△BCO : S△ABO  BC : AB ；④若ACO ，则AOB  90 ．其中正确的结论有
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
计算
（1） (a3 )2  a2  a4
（2） 3x x2 1
如图，在V ABC 和△AED 中， AB  AE ， AC  AD ， BAE  CAD ．求证： BC  ED ．
如图，在V ABC 中， AD 是高， BE 是角平分线，它们相交于点 O，
AOB 的度数．
BAC  50 ， C  70 ，求
如图，已知ABC,ABC 的顶点 A0, 2, B 2, 4,C 4, 1 均在正方形网格的格点上．
画出与V ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1 ：
B1 的坐标为；
（3） V ABC 的面积为．
如图，在V ABC 中， BAC  90 ， AB  AC ，D 为 AC 上一点， AE  BD 交 BC 于 E．
尺规作图：作BAC 的角平分线交 BD 于 F．（保留作图痕迹，不写作法）
求证： ABF≌CAE ．
“如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形．”你能证明这个命 题吗？请写出已知，求证和证明过程．
已知：如图，
求证：
证明：
在等腰V ABC 中， AB  AC ，点 D 为平面内一点，连 AD、BD、CD ．
如图 1，若点 D 是V ABC 内一点，且BAD  CAD ，求证： BD  CD ；
如图 2，若点 D 是V ABC 外一点，且ADC  ADB  180， ACD  60 ，猜想 AB、CD 和 BD
的数量关系，并证明你的猜想．
如图 2，在（2）的条件下，若 BD  1， AC  4 ，求CD 的长．
在等边V ABC 中，AB  2 ，点 D 是 AC 边上的一点，点 E 在边 BC 的延长线上、且 DB  DE ．连接 DE ．
3
如图，若 BD  AC ， BD 
①求证： CD  CE ，
②若点 M、N 分别是线段 BC、BD 上的动点，连接 MN ，求CN  NM 的最小值．
若点 D 和点 E 分别是直线 AC 和直线 BC 上的动点， AD  4 ，将图补充完整，求 BE 的长．
在平面直角坐标系中，已知 A0, a 、 B b, 0 分别在坐标轴的正半轴上．以 B 为直角顶点， AB 为直角边在第一象限内作等腰直角V ABC ， ABC  90， AB  BC ．
如图 1，若 a  1 ， b  2 ，则 C 点的坐标为；
如图 2、若点 D 是线段OB 上一点（不与 B 点、O 点重合），且OA  OD ，连接 AD、CD ，求证：
CDB  45 ．
如图 3，在（2）的条件下，延长 AD、CB 交于点 E，设 AB、CD 交于点 F，当 DB  4 时，求四边形 DEBF 的面积．
广东实验中学教育集团 2024-2025 学年第一学期教学质量监测八年级数学
命题：张小利审题：郭红地校对：蓝师江
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
下列各种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直 线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．利用轴对称图形的识别方法分别判 断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D．
已知一个三角形的两条边长分别为 4 和 6，则第三条边的长度不可能是（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，设第三边的长度为 x ，由三角形三边关系可得 2  x  10 ，即可得解．
【详解】解：设第三边的长度为 x ，
由三角形三边关系可得6  4  x  6  4 ，即 2  x  10 ，
∴第三条边的长度不可能是 11，
故选：D．
下列计算中，正确的是（）
t2  t4  t8
B. (a2 )3  a6
C. (3x)2  6x2
D. 3a  2b  5ab
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，根据有关知识点逐个计算后判断即可．
【详解】解：A、t 2  t 4  t6 ，原式计算错误，不合题意；
B、(a2 )3  a6 ，原式计算正确，符合题意；
C、(3x)2  9x2 ，原式计算错误，不合题意；
D、3a 和 2b 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不合题意； 故选：B．
如图，已知 AB  AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DAC≌△BAC 的是（ ）
CB  CD
【答案】D
【解析】
BAC  DAC
AD  CD ， AB  CB D.
BCA  DCA
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可得解．
【详解】解：A、添加CB  CD ，根据SSS 能判断△DAC≌△BAC ，故此选项不符合题意；
B、添加BAC  DAC ，根据SAS 能判断△DAC≌△BAC ，故此选项不符合题意；
C、添加 AD  CD ， AB  CB ，根据HL 能判断△DAC≌△BAC ，故此选项不符合题意；
D、添加BCA  DCA ，不能判断△DAC≌△BAC ，故此选项符合题意； 故选：D．
在平面直角坐标系 xOy 中，点 A2, n 与点 B m, 4 关于 x 轴对称，则 m  n 的值为（ ）
A. 0B. 2C. 2
【答案】C
【解析】
D. 6
【分析】本题考查关于 x 轴对称的点特征，根据关于 x 轴对称的两个点横坐标一样，纵坐标互为相反数得到
m ， n 的值，再代入求解即可．
【详解】解：∵点 A2, n 与点 B m, 4 关于 x 轴对称，
∴ m  2 ， n  4 ，
∴ m  n  2  4  2 ， 故选：C．
下面四个图形中，作V ABC 的边 AB 上的高，正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的高，边 AB 上的高是过顶点C 作直线 AB 的垂线段，据此判断即可．
【详解】解：A、边 AC 上的高，不合题意；
B、边 AB 上的高，符合题意；
C、不是V ABC 的高，不合题意； D、边 BC 上的高，不合题意； 故选：B．
如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中 AB  AC ， BC 是横梁， AD 是竖梁．在焊接竖梁 AD 时，只需要找到 BC 的中点 D，就可以保证竖梁 AD 与横梁 BC 垂直，这样操作的数学依据是（）
三角形具有稳定性B. 等腰三角形“三线合一”
C. 垂线段最短D. 等边对等角
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质解答即可，熟练掌握等腰三角形的性质是 解此题的关键．
【详解】解：∵ AB  AC ， BD  CD ，
∴ AD BC ，
∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B．
如图，在V ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，V ABC 的周长为21cm ，△ABD 的周长为12cm ，AE 
（）
9cmB. 6cmC. 5.5cmD. 4.5cm
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由题意可得 AB  BC  AC  21cm ，AB  BD  AD  12cm ， 结合线段垂直平分线的性质可得 AC  9cm ，即可得解．
【详解】解：∵V ABC 的周长为21cm ，
∴ AB  BC  AC  21cm ，
∵△ABD 的周长为12cm ，
∴ AB  BD  AD  12cm ，
∵ DE 是 AC 的垂直平分线，
∴ AE  CE ， CD  AD ，
∴ AB  BC  AD  AB  BD  CD  AB  BC  12cm ，
∴ AC  9cm ，
∴ AE  1 AC  4.5cm ，
2
故选：D．
如图，在V ABC 中， C  70 ，沿图中虚线截去C ，则1 2  （）
A. 250°B. 220C. 180D. 140
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得3  4  180  C  110 ，结合
1  180  3 ， 2  180  4 ，计算即可得解．
【详解】解：如图：
，
∵ C  70 ，
∴ 3  4  180  C  110 ，
∵ 1  180  3 ， 2  180  4 ，
∴ 1 2  180  3 180  4  360 3  4  250 ， 故选：A．
如图，将点 P 1, 2 关于第一、三象限的角平分线 l 对称，得到点 P ，则点 P 的坐标为（）
A. 2,1B. 2, 1
C. 1, 2
D. 1, 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，过 P 1, 2作 PM  y 轴于 M ， 过 P 作 PN  x 轴于 N ， PP 交第一、三象限的角平分线 l 于A ，证明MOP≌NOPAAS ，得到PM  PN  1， OM  ON  2 ，即可求出点 P 的坐标．
【详解】解：如图，过 P 1, 2 作 PM  y 轴于 M ，过 P 作 PN  x 轴于 N ， PP 交第一、三象限的角平分线 l 于A ，则 PM  1， OM  2 ， OMP  ONP  90，
∵将点 P 1, 2关于第一、三象限的角平分线 l 对称，得到点 P ，
∴ OP  OP， AOP  AOP ， AOM  AON  45 ，
∴ AOP  AOM  AOP  AON ，
∴ MOP  NOP ，
∴ MOP≌NOPAAS ，
∴ PM  PN  1， OM  ON  2 ，
∴ P2, 1 ， 故选：B．
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
若等腰三角形的一个角是100，则它的一个底角是．
【答案】 40##40 度
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形等边对等角求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个角是100，则100只能是顶角，
∴它的一个底角是180  100  40 ，
2
故答案为： 40．
 1 2024
2
12. 计算： 

 22023 
1
【答案】
2
##0.5
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方法则进行计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
 1 2024
1 1 2023
1 1
202311
【详解】解： 
 22023 
 22023 
 21 ，
 2 
2  2 
2  222
1
故答案为： ．
2
13. 若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于 360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为 n，由题意得，
180（n－2）=360  3， 解得 n=8．
所以这个多边形的边数是 8． 故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
14. 如图，在V ABC 中， ACB  90 ， CD  BA ， A  30， BD  5 ，则 AB ．
【答案】 20
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，先求出A  BCD  30 ，再根据直角三角形的性质即可得解， 熟练掌握直角三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵ CD  BA ，
∴BDC=90 ，
∴ BCD  B  90 ，
∵ ACB  90 ，
∴ A + B  90 ，
∴ A  BCD  30 ，
∵ BD  5 ，
∴ BC  2BD  10 ，
∴ AB  2BC  20 ， 故答案为： 20 ．
2
在Rt△ABC 中，A  90 ，AB  2 ，AC  3 ，点D 在边 AC 上，将△BCD 沿 BD 翻折得BED ， 若 DE AC ，则CD 
【答案】1
2
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质，由折叠的性质可得∠BDC ∠BDE ， 求出△ABD 为等腰直角三角形，得到 AD  AB  2 ，即可得解．
【详解】解：由折叠的性质可得：∠BDC ∠BDE ，
∵ DE AC ，
∴ CDE  ADE  90 ，
∵ CDE  BDC  BDE  360 ，
∴ BDC  BDE  135 ，
∴ ADB  BDE  ADE  45 ，
∵ A  90，
∴△ABD 为等腰直角三角形，
∴ AD  AB  2 ，
2
2
∴ CD  AC  AD  1， 故答案为：1．
如图， V ABC 的内角ABC 和外角ACD 的角平分线交于点 O． BO 交 AC 于点 F，过点 O 作
OG ∥ BC 交 BA 延长线于点 E，交 CA 延长线于点 G，连接 AO ，有以下结论：① CG  BE  GE ；
② FG  FO ；③ S△BCO : S△ABO  BC : AB ；④若ACO ，则AOB  90 ．其中正确的结论有
【答案】①③④
【解析】
【分析】对于①，由平行线和角平分线得 GC  GO ，同理可得： EB  EO ，由OG  OE  GE ，则
CG  BE  GE ，故①正确；对于②，条件不足，证明不出，故②错误；对于③，过点O 作
OM  BD, ON  BE ，垂足分别为 M , N ，由 BO 平分ABC ，则OM  ON ，故
1 BC  OM
S△BCO
 2 BC ，故③正确；对于④，过点O 作OH  AC 于点 H ，可证明 AO 平分CAE ，
S△ABO
1 BA  ONAB
2
则5  6 ，设1=2=，则8  90 ，设3  4  ，则ACB  180  2，则
EAC  2180  2，故6   90 ， BAC  2 2，在 ABO 中，
AOB  180  OAB  ABO  90 ，故④正确．
【详解】解：如图，
对于①，∵ CO 平分ACD ，
∴ 1  2 ，
∵ OG ∥ BC ，
∴ 2  GOC ，
∴ 1  GOC ，
∴ GC  GO ，
同理可得： EB  EO ，
∵ OG  OE  GE ，
∴ CG  BE  GE ， 故①正确；
对于②，条件不足，证明不出， 故②错误；
对于③，过点O 作OM  BD, ON  BE ，垂足分别为 M , N ，
∵ BO 平分ABC ，
∴ OM  ON ，
1 BC  OM
∴ S△BCO
 2 BC ，
S△ABO
故③正确；
1 BA  ONAB
2
对于④，过点O 作OH  AC 于点 H ，
同上可得OM  OH ，
∵ OM  ON ，
∴ ON  OH ，
∵ ON  AE ， OH  AC ，
∴ AO 平分CAE ，则5  6 ， 设1=2=，
设3  4  ，
∴ ACB  180  2，
∴ EAC  ABC  ACB  2180  2，
∴ 6   90 ， BAC  180  EAC  2 2，
在 ABO 中，∴ AOB  180  OAB  ABO  180  90  2 2   90 ， 故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，三角形的外角性 质，熟练掌握知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
计算
（1） (a3 )2  a2  a4
（2） 3x x2 1
【答案】（1） 2a6
（2） 3x3  3x
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
先计算幂的乘方和同底数幂相乘，再合并同类项即可得解；
根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可得解．
【小问 1 详解】
解： (a3 )2  a2  a4  a6  a6  2a6 ；
【小问 2 详解】
解： 3x x2 1  3x3  3x ．
如图，在V ABC 和△AED 中， AB  AE ， AC  AD ， BAE  CAD ．求证： BC  ED ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS 证明BAC≌EAD 即可得证，熟练掌握全等三
角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：∵ BAE  CAD ，
∴ BAE  CAE  CAD  CAE ，即BAC  EAD ， 在BAC 和EAD 中，
 AB  AE

BAC  EAD ，

 AC  AD
∴ BAC≌EAD SAS，
∴ BC  ED ．
如图，在V ABC 中， AD 是高， BE 是角平分线，它们相交于点 O，
AOB 的度数．
【答案】120
BAC  50 ， C  70 ，求
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理得出DAC  20 ，
BAD  30 ，再求出ABC  60 ，结合角平分线的定义可得ABE  1 ABC  30 ，最后由三角形
2
内角和定理即可得解．
【详解】解：∵在V ABC 中， AD 是高，
∴ ADB  ADC  90，
∵ C  70 ，
∴ DAC  90  C  20 ，
∴ BAD  BAC  DAC  30，
∵ ABC  180  BAC  C  60， BE 是角平分线，
∴ ABE  1 ABC  30 ，
2
∴ AOB  180  ABE  BAD  120 ．
如图，已知ABC,ABC 的顶点 A0, 2, B 2, 4,C 4, 1 均在正方形网格的格点上．
画出与V ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1 ：
B1 的坐标为；
（3） V ABC 的面积为．
【答案】（1）见解析（2） B1 2, 4
（3）5
【解析】
【分析】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系中的点，以及三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的 关键．
分别作出三个顶点关于 y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
根据题意写出 B1 的坐标即可；
根据割补法即可求解．
【小问 1 详解】
解：如图， △A1B1C1 即为所求；
【小问 2 详解】
解：∵ B 2, 4 ，且V ABC 关于 y 轴对称的图形是△A1B1C1 ，
∴ B1 2, 4 ，
故答案为： B1 2, 4 ；
【小问 3 详解】
解： V ABC 的面积 3 4  1  2 2  1  2 3  1 1 4  5 ，‘
222
故答案为：5．
如图，在V ABC 中， BAC  90 ， AB  AC ，D 为 AC 上一点， AE  BD 交 BC 于 E．
尺规作图：作BAC 的角平分线交 BD 于 F．（保留作图痕迹，不写作法）
求证： ABF≌CAE ．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图—作角平分线、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
根据作角平分线的作法作图即可；
先证明ACE  BAF ，再证明ABF  CAE ，最后利用ASA 证明ABF≌CAE 即可．
【小问 1 详解】
解：如图： AF 即为所作，
；
【小问 2 详解】
证明：∵在V ABC 中， BAC  90 ， AB  AC ，
∴ ABC  ACB  45 ， CAE  BAE  90 ，
∵ AF 平分BAC ，
∴ BAF  1 BAC  45，
2
∴ ACE  BAF ，
∵ AE  BD ，
∴ ABD  BAE  90 ，
∴ ABF  CAE ， 在△ABF 和CAE 中，
BAF  ACE

BA  AC，

ABF  CAE
∴  ABF≌CAE ASA ．
“如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形．”你能证明这个命 题吗？请写出已知，求证和证明过程．
已知：如图，
求证：
证明：
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．利用SAS 证明ADB≌ADC 即可得证．
【详解】解：已知：如图，在V ABC 中， AD BC 于点 D， AD 是 BC 边上的中线， 求证： V ABC 是等腰三角形．
证明：∵ AD BC ，
∴ ADC  ADB  90，
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ DB  DC ，
∵ AD  AD ，
∴  ADB≌ ADC SAS ，
∴ AB  AC ，
∴V ABC 是等腰三角形．
在等腰V ABC 中， AB  AC ，点 D 为平面内一点，连 AD、BD、CD ．
如图 1，若点 D 是V ABC 内一点，且BAD  CAD ，求证： BD  CD ；
如图 2，若点 D 是V ABC 外一点，且ADC  ADB  180， ACD  60 ，猜想 AB、CD 和 BD
的数量关系，并证明你的猜想．
如图 2，在（2）的条件下，若 BD  1， AC  4 ，求CD 的长．
【答案】（1）见解析（2） AB  CD  BD ，证明见解析
（3） 3
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运 用是解此题的关键．
利用SAS 证明△ ABD≌△ ACD 即可得证；
延长CD 至 H ，使得 DH  BD ，连接 AH ，证明ADH≌ADB SAS，得出 AB  AH ，再证明 ACH 为等边三角形，得出 AH  CH  AB ，即可得证；
由（2）可得 AB  CD  BD ，结合 AB  AC 计算即可得解．
【小问 1 详解】
证明：在△ABD 和 ACD 中，
 AB  AC

BAD  CAD ，

 AD  AD
∴ ABD≌ACD SAS，
∴ BD  CD ；
【小问 2 详解】
解： AB  CD  BD ，证明如下：
如图，延长CD 至 H ，使得 DH  BD ，连接 AH ，
，
∵ ADC  ADB  180， ADC  ADH  180 ，
∴ ADB  ADH ，
∵ DH  BD ， AD  AD ，
∴ ADH≌ADB SAS，
∴ AB  AH ，
∵ AB  AC ，
∴ AH  AC ，
∵ ACD  60 ，
∴  ACH
为等边三角形，
∴ AH  CH  AB ，
∴ AB  CH  CD  DH  CD  BD ；
【小问 3 详解】
解：由（2）可得： AB  CD  BD ，
∵ AC  AB ， AC  4 ，
∴ CD  AB  BD  4  1  3 ．
在等边V ABC 中，AB  2 ，点 D 是 AC 边上的一点，点 E 在边 BC 的延长线上、且 DB  DE ．连接 DE ．
如图，若 BD  AC ， BD 
3
①求证： CD  CE ，
②若点 M、N 分别是线段 BC、BD 上的动点，连接 MN ，求CN  NM 的最小值．
若点 D 和点 E 分别是直线 AC 和直线 BC 上的动点， AD  4 ，将图补充完整，求 BE 的长．
3
【答案】（1）①见解析；②
（2）补全图形见解析， 6
【解析】
【分析】（1）①由等边三角形的性质可得ACB  60 ， CBD  30 ，由等边对等角可得
CBD  DEB  30 ，再由三角形外角的定义及性质得出CDE  DEB  30 ，即可得解；②由等边三角形的性质可得点A 、C 关于 BD 对称，则 AN  CN ，从而可得CN  MN  AN  MN ，即当A 、N 、 M 在同一直线上，且 AM  BC 时， CN  MN 的值最小，为 AM ，求出 AM 即可得解；
（2）由等边三角形的性质可得 AC  BC  2 ， ACB  DCE  60 ，则CD  2 ，作 DF  BE 于 F ， 则DFB  90 ，由等腰三角形的性质可得 BF  EF ，求出CDF  90  DCE  30 ，得出
CF  1 CD  1 ，从而可得 BF  BC  CF  2  1  3，即可得解．
2
【小问 1 详解】
①证明：∵V ABC 为等边三角形， BD  AC ，
∴ ACB  60 ， CBD  30 ，
∵ DB  DE ，
∴ CBD  DEB  30 ，
∵ ACB  CDE  DEB ，
∴ CDE  DEB  30 ，
∴ CD  CE ；
②∵V ABC 为等边三角形， BD  AC ，
∴ AD  CD ，
∴点A 、C 关于 BD 对称，
∴ AN  CN ，
∴ CN  MN  AN  MN ，
∴当A 、 N 、 M 在同一直线上，且 AM  BC 时， CN  MN 的值最小，为 AM ，如图所示：
，
∵ S ABC
 1 BC  AM  1 AC  BD ，
22
3
∴ AM  BD ，
3
∴ CN  MN 的最小值为；
【小问 2 详解】
解：画出图形如图所示：
，
∵V ABC 为等边三角形，
∴ AC  BC  2 ， ACB  DCE  60 ，
∴ CD  AD  AC  2 ，
作 DF  BE 于 F ，则DFB  90 ，
∵ DB  DE ，
∴ BF  EF ，
∵ DCE  60 ，
∴ CDF  90  DCE  30 ，
∴ CF  1 CD  1 ，
2
∴ BF  BC  CF  2  1  3，
∴ BE  2BF  6 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知 识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
在平面直角坐标系中，已知 A0, a 、 B b, 0 分别在坐标轴的正半轴上．以 B 为直角顶点， AB 为直
角边在第一象限内作等腰直角V ABC ， ABC  90， AB  BC ．
如图 1，若 a  1 ， b  2 ，则 C 点的坐标为；
如图 2、若点 D 是线段OB 上一点（不与 B 点、O 点重合），且OA  OD ，连接 AD、CD ，求证：
CDB  45 ．
如图 3，在（2）的条件下，延长 AD、CB 交于点 E，设 AB、CD 交于点 F，当 DB  4 时，求四边形 DEBF 的面积．
【答案】（1） 3, 2
（2）见解析（3） 8
【解析】
【分析】（1）由题意可得OA  1， OB  2 ，作CK  x 轴于 K ，证明AOB≌CKAAAS 得出
CK  OB  2 ， BK  OA  1，从而得出OK  OB  AK  3 ，即可得解；
作CK  x 轴于 K ，由（1）可得：AOB≌CKB AAS ，得出CK  OB ，BK  OA ，结合OA  OD ，得出 DK  OB ，从而得出DCK 为等腰直角三角形，即可得证；
作 BM  CD 于 M ， BN  AE 于 N ，则BMD  BND  BNE  90 ，证明BDM 为等腰直
2
角三角形，结合勾股定理可得 BM  DM  2，同理可得： DN  BN  2 2 ，即 BN  BM ，证明
BMF≌BNE ASA ，得出 FM  NE ，再由 S四边形DEBF  S DBF  S DBE 计算即可得解．
【小问 1 详解】
解：由题意得： A0,1 ， B 2, 0 ，
∴ OA  1， OB  2 ，
如图，作CK  x 轴于 K ，
，
则AOB  BKC  ABC  90 ，
∴ OBA  OAB  90， CBK  OBA  90 ，
∴ BAO  CBK ，
∵ AB  BC ，
∴ AOB≌BKC AAS ，
∴ CK  OB  2 ， BK  OA  1，
∴ OK  OB  AK  2  1  3 ，
∴ C 3, 2；
【小问 2 详解】
证明：如图，作CK  x 轴于 K ，
，
由（1）可得： AOB≌BKC AAS ，
∴ CK  OB ， BK  OA ，
∵ OA  OD ，
∴ DK  BD  BK  BD  OA  BD  OD  OB  CK ，
∴ DCK 为等腰直角三角形，
∴ CDB  45 ；
【小问 3 详解】
解：如图，作 BM  CD 于 M ， BN  AE 于 N ，则BMD  BND  BNE  90 ，
，
∵ CDB  45 ，
∴ BDM 为等腰直角三角形，
∴ BM  DM ，
∵ BM 2  DM 2  BD2 ，
2
∴ BM  DM  2，
∵ OA  OD ， AOD  90 ，
∴△AOD 为等腰直角三角形，
∴ ADO  45 ，
∴ EDB  ADO  45 ， CDE  EDB  CDB  90 ，
∴ BDN 为等腰直角三角形， 同理可得： DN  BN  2 2 ，
∴ BN  BM ，
∵ MBN  360  MDN  BMD  BND  90 ， ABE  180  ABC  90 ，
∴ ABN  ABM  ABN  EBN  90 ，
∴ FBM  EBN ，
∴ BMF≌BNE ASA ，
∴ FM  NE ，
∴ S四边形DEBF  S DBF  S DBE
 1 DF  BM  1 DE  BN
22
2
2
 1  DM  FM  2 1  DN  NE  2
22
2
2 2
FM 
2 2 2  NE 
2
2 2
2
2  4
 FM  2 2  NE 
 8 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理， 熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．