广东省广州市第十六中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市第十六中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
下列运算正确的是（）
A. a2  a3  a5
B. a2  a2  2a2
C. a2 3  a5
D. 6a5  3a3  2a2
如图， AE DF ， AE  DF ，则添加下列条件还不能使EAC≌FDB 的为（）
A. AB  CDB. E  F
C. ACE  DBF
D. EC = BF
设三角形 ABC 与某长方形相交于如图所示的A 、 E 、 D 、 F 点，如果C  90 ， B  30 ，
BAF  15，那么CDE  （）
A. 35B. 40C. 45D. 50
已知点 P a  b,3 、Q 2, b 关于 y 轴对称，则ab 的值是（）
3
2
1D. 3
如图，已知ABC 中，点 D、E 分别是边 BC、AB 的中点．若ABC 的面积等于8 ，则 SBDE （）
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 已知 a  1  5 ，则a2  1 的值是（）
aa2
A. 27B. 25C. 23D. 21
在联欢晚会上，有A 、 B 、C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在V ABC 的
（）
A. 三边中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三边上高的交点D. 三条垂直平分线的交点
已知ABC  AC  BC  ，用尺规作图的方法在 BC 上确定一点 P，使 PA  PC  BC ，则符合要求的作图痕迹（）
A.B.
C.D.
如图， AB  BE ， DBC  1 ABE ， BD  AC ，下列结论正确的有（）
2
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．）
① BC 平分DCE ；
③ AC  2BE  CE ；
② ABE  ECD  180 ；
④ AC  2CD  CE ．
A 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
11. 因式分解： 4x2 y2  y2 ．
如图，在V ABC 中， AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 AC 于点 D，连接 BD ，若 AB  AC  8 ，
△BCD 的周长为 13，则 BC ．
如图，从边长为（a+4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm 的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为 ．
如图，在V ABC 中， AC  BC ，B  38 ，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直线 CD 的对称点为 B ， 当 BD // AC 时，则BCD 的度数为．
15. 若2x  3y  3  0 ，则 4x 8y ．
如图，在ABC 中，AB  AC  5，BC  6 ，AD 是BAC 的平分线，AD  4 ．若 P，Q 分别是 AD
和 AC 上的动点，则 PC  PQ 的最小值是．
三、解答题（本大题满分 72 分，共 9 小题）
计算：
（1） 2x3 y 2  2xy   2x3 y 3  2x2 
（2）6m2n  6m2n2  3m2  3m2 
如图，B 是 AD 的中点， BC∥DE ， BC  DE .求证： C  E ．
19. （1）解方程： x  x  3  22   x  9 x  1 ；
2
（2）先化简，再求值： 2x  y 2   x  2 y  x  2 y   3x  x  y  ，其中 x   1 ， y  2 ．
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，V ABC 的顶点A，C 的坐标分别为 A4, 5 ，C 1, 3 ．
请在网格平面内作出平面直角坐标系，并作出V ABC 关于 y 轴对称的 ABC （A，B，C 的对应点分别为 A ， B ， C ）；
分别写出点 A ，B ，C 的坐标．
（1）如图，已知V ABC ，P 为边 AB 上一点，请用尺规作图的方法在 AC 边上求作一点 E，使点 E 到
P、C 两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果 AC  5cm ， AP  3cm ，则V APE 的周长是cm．
如图，在V ABC 中， AD 平分BAC 交 BC 于点 D， DE AB ， DF AC ，垂足为 E、F．
若 S△ABD  10 ， AB  5 ，求 DF 的长度；
连接 EF ，求证： AD  EF ．
如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为 A（m，0）、B（0，n），且|m﹣n
﹣3|+（2n﹣6）2＝0，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒．
（1）OA＝，OB＝．
连接 PB，若△POB 的面积为 3，求 t 的值；
过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 y 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中，是否存在这样点 P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由．
如图，在三角形 ABC 中， ABC  90， AB  BC ，点A ， B 分别在坐标轴上．
如图①，若点 C 的横坐标为3 ，点 B 的坐标为；
如图②，若 x 轴恰好平分BAC ，BC 交 x 轴于点 M，过点 C 作CD 垂直 x 轴于 D 点，试猜想线段CD 与 AM 的数量关系，并说明理由；
如图③，OB  BF ，OBF  90 ，连接CF 交 y 轴于 P 点，点 B 在 y 轴的正半轴上运动时，BPC
与V AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
如图①中，若△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC 和
∠BAE 之间的数量关系，并证明．
如图②，△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点 D、点 E 均在△ABC 外， 连接 BD、CE 交于点 M，连接 AM，求证：AM 平分∠BME．
如图③，若 AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B 和∠C 的数量关系，并说明理由．
八年级（上）期中数学练习卷（问卷）
一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分）
下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合逐一进 行判断即可得出答案．
【详解】A 不是轴对称图形，故该选项错误；
B 是轴对称图形，故该选项正确； C 不是轴对称图形，故该选项错误； D 不是轴对称图形，故该选项错误； 故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，会判断轴对称图形是解题的关键．
下列运算正确的是（）
a2  a3  a5
B. a2  a2  2a2
C. a2 3  a5
D. 6a5  3a3  2a2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂 乘除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可．
【详解】A． a2 ， a3 不是同类项，不能合并，故该选项错误；
a2  a2  a4 ，故该选项错误；
a2 3  a6 ，故该选项错误；
6a5  3a3  2a2 ，故该选项正确； 故选：D．
如图， AE DF ， AE  DF ，则添加下列条件还不能使EAC≌FDB 的为（）
A. AB  CDB. E  F
C. ACE  DBF
D. EC = BF
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据所添加的条件判段能否得出V EAC ≌V FDB 即可，判定两个三角形全等的一般方法有： SAS、ASA、AAS、SSS、HL ．解题时注意：判定两个三角形全等时， 必须有边相等的条件，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【详解】解∶∵ AE ∥ DF ，
∴ A  D ，
当 AB  CD 时， AB  BC  CD  BC ，
∴ AC  DB ，根据SAS 可以判定V EAC ≌V FDB ，故 A 不符合题意；
当E  F 时，根据ASA 可以判定V EAC ≌V FDB ；故 B 不符合题意；
当ACE  DBF 时，根据AAS 可以判定V EAC ≌V FDB ；
当 EC = BF 时，不能判定V EAC ≌V FDB ；
故选：D．
设三角形 ABC 与某长方形相交于如图所示的A 、 E 、 D 、 F 点，如果C  90 ， B  30 ，
BAF  15，那么CDE  （）
A. 35B. 40C. 45D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质， 平行线的性质等知识点， 根据三角形外角性质求出
CFA  B  BAF  45 ， 根 据 长 方 形 的 性 质 得 出 DE∥AF
CDE  CFA ，再得出答案即可．
【详解】解： B  30 ， BAF  15，
 CFA  B  BAF  30 15  45 ，
 DE ∥ AF ，
 CDE  CFA  45 ． 故选：C．
已知点 P a  b,3 、Q 2, b 关于 y 轴对称，则ab 的值是（）
， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 出
3
2
1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于 y 轴对称的点的坐标，根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数” 求 a、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：点 P a  b,3 、Q 2, b 关于 y 轴对称，
 a  b  2 ， b  3 ，
 a  1 ， b  3 ，
 ab  13  3 ． 故选：A．
如图，已知ABC 中，点 D、E 分别是边 BC、AB 的中点．若ABC 的面积等于8 ，则 SBDE （）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查三角形中线平分面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
根据三角形中线平分面积即可得到结论．
【详解】解：∵点 D 是边 BC 的中点， ABC 的面积等于8 ，
∴ S ABD
 1 S
2
 ABC
 4 ，
∵ E 是 AB 的中点，
∴ S BDE
 1 S
2
 ABD
 2 ，
故选：A．
7. 已知 a  1  5 ，则a2  1 的值是（）
aa2
A. 27B. 25C. 23D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，以及完全平方公式，把已知等式左右两边平方，利用完全平方公式 化简，计算即可．
【详解】解： a  1  5 ，
a
2
2
 211 1
a  a2   a  a 
 2a  5

a
 2  23 ，
故选：C．
在联欢晚会上，有A 、 B 、C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在V ABC 的
（）
A. 三边中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三边上高的交点D. 三条垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解．
【详解】解： A 、 B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行，
∴凳子应放的最适当的位置是在V ABC 的三边垂直平分线的交点． 故选：D．
【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键．
已知ABC  AC  BC  ，用尺规作图的方法在 BC 上确定一点 P，使 PA  PC  BC ，则符合要求的作图痕迹（）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是 解题的关键．根据 PA  PC  BC ，结合图形分析可得 PB  PC  BC ，只需作线段 AB 的垂直平分线， 分析选项即可得出结论．
【详解】解：根据题意， PA  PC  BC ， 由图可知， PB  PC  BC ，
∴ PA  PB ，
故符合要求的作图是作线段 AB 的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有 B 选项符合题意．
故选：B．
如图， AB  BE ， DBC  1 ABE ， BD  AC ，下列结论正确的有（）
2
① BC 平分DCE ；
③ AC  2BE  CE ；
② ABE  ECD  180 ；
④ AC  2CD  CE ．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个D. 4 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知DBC  1 ABE ， BD  AC ，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD ，在CD 的
2
延长线于取点 F ，使得 BF  BC ，就得到FBC  2DBC ，然后再证明△FAB≌△CBE ，就可以判断出 BC 平分DCE ，再由角平分线的性质想到过点 B 作 BG  CE ，交CE 的延长线于点G ，从而证明
△ABD≌△EBG ，即可判断．
【详解】解：延长CD ，在CD 的延长线于取点 F ，使得 BF  BC ，过点 B 作 BG  CE ，交CE 的延长线于点G ，
∵ BF  BC ， BD  AC ，
∴ DF  DC ， DBC  DBF  1 FBC ，
2
∵ DBC  1 ABE ，
2
∴ FBC  ABE ，
∴ FBA  CBE ，
∵ AB  AE ，
∴ FAB≌CEB SAS ，
∴ F  BCE ，
∵ BF  BC ，
∴ F  BCD ，
∴ BCD  BCE ，
∴ BC 平分DCE ，故①正确；
∵ FBC  F  BCD  180 ，
∴ ABE  BCE  BCD  180 ，
∴ ABE  DCE  180，故②正确；
∵ BDC  BGC  90 ， BC  BC ，
∴△BDC≌△BGC AAS ，
∴ BG  BD ， CD  CG ，
∵ AB  BE ，
∴△ABD≌△EBG HL ，
∴ AD  GE ，
∵ AC  AD  DC ，
∴ AC  AD  CG  AD  GE  CE  2GE  CE ，
∵ GE  BE ，
∴ AC  2BE  CE ，故③错误；
∵ AC  CF  AF ，
∴ AC  2CD  CE ，故④正确； 故正确的由①②④，共 3 个．
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，综合 运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键．
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．）
11. 因式分解： 4x2 y2  y2 ．
【答案】 y2 2x 12x 1
【解析】
【分析】本题主要考查分解因式，先提公因式 y2 ，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解： 4x2 y2  y2  y2 4x2 1  y2 2x 12x 1 ， 故答案为： y2 2x 12x 1 ．
如图，在V ABC 中， AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 AC 于点 D，连接 BD ，若 AB  AC  8 ，
△BCD 的周长为 13，则 BC ．
【答案】5
【解析】
【分析】此题考查了垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线性质．根据垂直平分线性质得到
AD  BD ，根据三角形周长公式求解 BC 长度．
【详解】∵ AB 的垂直平分线交 AB
∴ AD  BD
∴ BC  C△BCD BD  DC   C△BCD  AD  DC   C△BCD  AC  13  8  5 ． 故答案为：5．
如图，从边长为（a+4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm 的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为 ．
【答案】(6a＋15)(cm2)
【解析】
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算.
【详解】矩形的面积为：
a  42  a 12
 a2  8a 16  a2  2a 1
 a2  8a  16  a2  2a 1
 6a 15 .
故答案为6a2 15 cm2 .
【点睛】此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式.
如图，在V ABC 中， AC  BC ，B  38 ，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直线 CD 的对称点为 B ， 当 BD // AC 时，则BCD 的度数为．
【答案】33
【解析】
【分析】如图，连接CB ，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得B  B  38 ，
DCB  DCB ，并由平行线的性质可推出ACB  B  38 ，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：如图，连接CB
∵点 B 关于直线 CD的对称点为 B ，
∴ CB  CB ， DB  DB ．
∵ CD  CD ，
∴△DCB  △DCB ．
∴ B  B  38 ， DCB  DCB ．
∵ BD // AC ，
∴ ACB  B  38 ．
∵ AC  BC ，
∴ A  B  38 ．
∴ ACB  180  2B  104 ．
∵ ACB  ACB  DCB  DCB  ACB  2DCB  104 ．
∴ 2DCB  104  ACB  66 ．
∴ DCB  33 ． 故答案为： 33 ．
【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及
全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15. 若2x  3y  3  0 ，则 4x 8y ．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值、幂的乘方与同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．先得出 2x  3y  3 ，再根据幂的乘方可得 4x 8y  22 x  23 y  22x 3y ，然后利用同底数幂的乘法法则计算即可得．
【详解】解：∵ 2x  3y  3  0 ，
∴ 2x  3y  3 ，
4x 8y  22 x  23 y
 22 x  23 y
 22 x3 y
 23
 8 ．
故答案为：8．
如图，在ABC 中，AB  AC  5，BC  6 ，AD 是BAC 的平分线，AD  4 ．若 P，Q 分别是 AD
和 AC 上的动点，则 PC  PQ 的最小值是 ．
24
【答案】
5
【解析】
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出 BP  CP ，过点 B 作 BQ  AC 于点 Q， BQ 交 AD 于点 P， 则此时 PC  PQ 取最小值，最小值为 BQ 的长，然后利用三角形等面积法求解即可．
【详解】解：∵ AB  AC ， AD 是BAC 的平分线，
∴ AD 垂直平分 BC ，
∴ BP  CP ．
过点 B 作 BQ  AC 于点 Q， BQ 交 AD 于点 P，则此时 PC  PQ 取最小值，最小值为 BQ 的长，如图所示．
∵ S ABC
 1 BC·AD  1 AC·BQ ，
22
∴ BQ  BC  AD ＝ 24 ，
AC5
即 PC  PQ 的最小值是 24 ．
5
24
故答案为：．
5
【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形等面积法，最短距离问题，理解题意，熟练掌握等腰三 角形的性质是解题关键．
三、解答题（本大题满分 72 分，共 9 小题）
计算：
（1） 2x3 y 2  2xy   2x3 y 3  2x2 
（2）6m2n  6m2n2  3m2  3m2 
【答案】（1） 12x7 y3
（2） 2n  2n2 1
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算．
先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可；
根据多项式除以单项式法则计算即可．
【小问 1 详解】
解： 2x3 y 2  2xy   2x3 y 3  2x2 
= 4x6 y2 ×(-2xy)+ (-8x9 y3 )¸ (2x 2 )
 8x7 y3  4x7 y3
 12x7 y3 ；
【小问 2 详解】
解：6m2n  6m2n2  3m2  3m2 
 6m2n  3m2  6m2n2  3m2  3m2  3m2 
 2n  2n2 1 ．
如图，B 是 AD 的中点， BC∥DE ， BC  DE .求证： C  E ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件证得 AB  BD ，ABC  D ，然后证明 ABC ≌BDE SAS ，应用全等三角形的性质得到C  E ．
【详解】证明：∵B是 AD 的中点，
∴ AB  BD ，
∵ BC∥DE ，
∴ ABC  D ，
在V ABC 和V BDE 中，
 AB  BD

ABC  D

BC  DE
∴  ABC ≌BDE SAS ，
∴ C  E ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
19. （1）解方程： x  x  3  22   x  9 x  1 ；
2
（2）先化简，再求值： 2x  y 2   x  2 y  x  2 y   3x  x  y  ，其中 x   1 ， y  2 ．
【答案】（1） x  1 ；（2） 7xy  5 y2 ，13
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，
首先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的运算法则化解，然后解一元一次方程即可；
首先根据整式乘法的混合运算法则化简，然后代入求解即可． 熟练掌握整式混合运算的法则是解题的关键．
【详解】（1） x  x  3  22   x  9 x  1
x2  3x  22  x2 10x  9
3x 10x  9  22
13x  13
x  1 ；
（2） 2x  y 2   x  2 y  x  2 y   3x  x  y 
 4x2  4xy  y2  x2  4 y2  3x2  3xy
 7xy  5 y2 ．
∵ x   1 ， y  2
2
∴原式 7xy  5 y2  7   1  2  5 22  7  20  13 ．
2 

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，V ABC 的顶点A，C 的坐标分别为 A4, 5 ，C 1, 3 ．
请在网格平面内作出平面直角坐标系，并作出V ABC 关于 y 轴对称的 ABC （A，B，C 的对应点分别为 A ， B ， C ）；
分别写出点 A ，B ，C 的坐标．
【答案】（1）画图见解析
（2） 4,5 ， 2,1 ， 1, 3
【解析】
【分析】（1）把C 1, 3 向右边平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度可得原点，再建立平面直角坐标系即可，再分别确定 A，B，C，关于 y 轴的对应点 A ， B ， C ，再顺次连接即可；
（2）根据点 A ，B ，C 的位置可得其坐标．
【小问 1 详解】
解：如图，把C 1, 3 向右边平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度可得原点，再建立如图平面直角坐标系，  ABC 为所求作图形．
【小问 2 详解】
根据图象知，点 A ，B ，C 的坐标分别为4,5 ， 2,1 ， 1, 3 ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移与坐标变换，画轴对称图形，掌握轴对称的性质进行画图是解本 题的关键．
（1）如图，已知V ABC ，P 为边 AB 上一点，请用尺规作图的方法在 AC 边上求作一点 E，使点 E 到
P、C 两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果 AC  5cm ， AP  3cm ，则V APE 的周长是cm．
【答案】（1）作图见解析；（2）8．
【解析】
【分析】（1）连接 PC ，作线段的垂直平分线交 AC 于点 E ，点 E 即为所求；
（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，点 E 即为所求；
（2）由作图可知 EP  EC ，
 APE 的周长 AP  AE  EP  AP  AE  EC  AP  AC  5  3  8cm ， 故答案为：8．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
如图，在V ABC 中， AD 平分BAC 交 BC 于点 D， DE AB ， DF AC ，垂足为 E、F．
若 S△ABD  10 ， AB  5 ，求 DF 的长度；
连接 EF ，求证： AD  EF ．
【答案】（1）4（2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，等边对等角性质，三角形面积公式等知识，
首先根据三角形面积公式求出 DE  4 ，然后利用角平分线的性质定理求解即可；
连接 EF ，根据等边对等角得到DEF  DFE ，然后结合∠EAD  ∠FAD 得到
AOE  AOF  90 ，即可证明．
解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理：角的内部到角两边相等的点在角的平分线上．
【小问 1 详解】
∵ S△ABD  10 ， DE AB ， AB  5
∴ 1 AB  DE  10 ，即 1  5  DE  10
22
解得 DE  4
∵ AD 平分BAC 交 BC 于点 D， DE AB ， DF AC ，
∴ DF  DE  4 ，
【小问 2 详解】
如图所示，连接 EF ，
∵ DF  DE
∴ DEF  DFE
∵ AED  AFD  90
∴ AEF  AFE
∵∠EAD  ∠FAD
∴ AOE  AOF  90
∴ AD  EF ．
如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为 A（m，0）、B（0，n），且|m﹣n
﹣3|+（2n﹣6）2＝0，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒．
（1）OA＝，OB＝．
连接 PB，若△POB 的面积为 3，求 t 的值；
过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 y 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中，是否存在这样点 P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6，3；（2）t＝4 或 8；（3）当 t＝3 或 9 时，△POQ 与△AOB 全等
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出 m、n；
分点 P 在线段 AO 上、点 P 在线段 AO 的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算；
分点 P 在线段 AO 上、点 P 在线段 AO 的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，|m﹣n﹣3|≥0，（2n﹣6）2≥0，
∴|m﹣n﹣3|＝0，（2n﹣6）2＝0，
∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0， 解得，m＝6，n＝3，
∴OA＝6，OB＝3， 故答案为：6；3；
2
当点 P 在线段 AO 上时，OP＝6﹣t， 则 1 ×（6﹣t）×3＝3，
解得，t＝4，
2
当点 P 在线段 AO的延长线上时，OP＝t﹣6， 则 1 ×（t﹣6）×3＝3，
解得，t＝8，
∴当 t＝4 或 8 时，△POB 的面积等于 3；
如图 1，当点 P 在线段 AO 上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP＝OB，即 6﹣t＝3， 解得，t＝3，
如图 2，当点 P 在线段 AO 的延长线上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP＝OB，即 t﹣6＝3， 解得，t＝9，
∴当 t＝3 或 9 时，△POQ 与△AOB 全等．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质、绝对值的非负性，准确计算是解题的关键．
如图，在三角形 ABC 中， ABC  90， AB  BC ，点A ， B 分别在坐标轴上．
如图①，若点 C 的横坐标为3 ，点 B 的坐标为；
如图②，若 x 轴恰好平分BAC ，BC 交 x 轴于点 M，过点 C 作CD 垂直 x 轴于 D 点，试猜想线段CD 与 AM 的数量关系，并说明理由；
如图③，OB  BF ，OBF  90 ，连接CF 交 y 轴于 P 点，点 B 在 y 轴的正半轴上运动时，BPC
与V AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
【答案】（1） 0, 3 ；
（2） AM  2CD ，理由见解析；
3
（ ）不会变化， 1 ．
2
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构 造全等三角形是本题的关键．
过点C 作CH  y 轴于 H ，由AAS 可证△ABO ≌△BCH ，可得CH  BO  3 ，可求解；
延长 AB ， CD 交于点 N ，由ASA 可证△ADN≌△ADC ，可得CD  DN ，由ASA 可证
△ABM ≌△CBN ，可得 AM  CN ，可得结论；
作 EG  y 轴于G ，由AAS 可证△BAO≌△CBG ，可得 BG  AO ， CG  OB ，由AAS 可证
△CGP≌△FBP ，可得 PB  PG ，可得 PB  1 BG  1 AO ，由三角形面积公式可求解．
22
【小问 1 详解】
解：如图①，过点C 作CH  y 轴于 H ，
BHC  90  ABC
BCH  CBH  ABH  CBH  90
BCH  ABH
点C 的横坐标为3 ，
CH  3
在 ABO 和V BCH中，
BCH  ABO

BHC  AOB

BC  AB
△ABO≌△BCH (AAS)
CH  BO  3
 B 0, 3 ，
故答案为： 0,3 ；
【小问 2 详解】
AM  2CD ，
如图②，延长 AB ， CD 交于点 N ，
 AD 平分BAC ，
BAD  CAD ，
在△ADN 和△ADC 中，
BAD  CAD

AD  AD，

ADN  ADC
ADN≌ADC ASA ，
CD  DN ，
CN  2CD ，
N  BAD  90， N  BCN  90
BAD  BCN
在 ABM 和△CBN 中，
BAM  BCN

BA  BC，

ABM  CBN
△ABM≌△CBN (ASA)
 AM  CN
 AM  2CD ；
【小问 3 详解】
BPC 与V AOB 的面积比不会变化， 理由∶如图③，作CG  y 轴于G ，
BAO  OBA  90 ， OBA  CBG  90
BAO  CBG
在BAO 和CBG 中，
AOB  BGC  90

BAO  CBG

BA  BC
△BAO≌△CBG(AAS)
 BG  AO ， CG  OB
OB  BF
 BF  GC
在△CGP 和FBP 中，
CPG  FPB

CGP  FBP  90

CG  BF
△CGP≌△FBP(AAS)
 PB  PG
 PB  1 BG  1 AO
22
 S 1  OB  OA ， S 1  PB  GC  1  1 AO  BO

△AOB
 S△PBC
2
: S△AOB
 1 ．
2
△PBC
222
新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
如图①中，若△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC 和
∠BAE 之间的数量关系，并证明．
如图②，△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点 D、点 E 均在△ABC 外， 连接 BD、CE 交于点 M，连接 AM，求证：AM 平分∠BME．
如图③，若 AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B 和∠C 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠BAD+∠BAC＝∠BAE，理由见解析；（2）见解析；（3）∠B+∠C＝180°，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC＝∠DAE，进而得到∠CAE＝∠BAD，得到答案；（2） 过点 A 作 AG⊥DM 于 G，AH⊥EM 于 H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得到 AG＝ AH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）延长 DC 至点 P，使 DP＝AD，证明△BAD≌△CAP，得到∠B＝∠ACP，根据邻补角的定义证明即可．
【详解】（1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE，
理由如下：∵△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE；
（2）证明：如图②，过点 A 作 AG⊥DM 于 G，AH⊥EM 于 H，
∵△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， 在△BAD 和△CAE 中，
 AB  AC

BAD  CAE

 AD  AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AG＝AH，
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AM 平分∠BME．
（3）∠B+∠C＝180°，
理由如下：如图③，延长 DC 至点 P，使 DP＝AD，
∵∠ADP＝60°，
∴△ADP 为等边三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAP，
在△BAD 和△CAP 中，
 AB  AC

BAD  CAP ，

 AD  AP
∴△BAD≌△CAP（SAS），
∴∠B＝∠ACP，
∵∠ACD+∠ACP＝180°，
∴∠B+∠ACD＝180°．
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定，以及等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并证明是本题关键．