2025-2026学年山东省滨州市邹平市青阳镇初级中学九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份2025-2026学年山东省滨州市邹平市青阳镇初级中学九年级上学期第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一元二次方程配方后可变形为( )
A．B．C．D．
2．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（ ）
A．B．3或C．3D．或1
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．图象是一条开口向下的抛物线B．对称轴是直线
C．图象的顶点坐标是D．当时，y随x增大而减小
6．，，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
8．当时，函数与的图象有且只有一个交点，其中为常数．则的取值为（ ）
A．或B．C．D．
二、填空题
9．若函数过点，求当时， ．
10．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为 ．
11．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ；
12．若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ．
13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是那么汽车刹车后 秒停下来．
15．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米．
16．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的是 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)；
四、填空题
18．如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为 ．
五、解答题
19．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)在右图中画出二次函数C的图象；
(3)当时，利用图象直接写出y的取值范围；
(4)当时，利用图象直接写出x的取值范围．
20．若抛物线的顶点坐标是A（1，16），并且抛物线与轴一个交点坐标为（5 ,0）.
(1)求该抛物线的关系式；
(2)求出这条抛物线上纵坐标为10的点的坐标．
21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
22．如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集．
(3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．
23．如图甲，直线与x轴、y轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及点的坐标．
《山东省滨州市邹平市青阳镇初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷》参考答案
1．D
【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解题关键．
2．D
【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，
得到的二次函数解析式是．
故选：D．
3．C
【分析】首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值．本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：把代入得，
，
，
解得：，，
，
，
，
，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式的关系以及概率公式，根据一元二次方程判别式的意义得到，然后求解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据解析式得出开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】解：关于二次函数，，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，y随x的增大而减小，
故选：C．
6．A
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；由题意易得抛物线的对称轴为直线，且开口向下，进而根据“开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大”进行排除选项即可．
【详解】解：由抛物线可知：抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∵，，在抛物线上，
∴，
∴；
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握两个函数的图象与性质是解题的关键．对四个选项中一次函数的图象进行分析，结合二次函数的图象，两图象是否相符即可得出结论．
【详解】解：A、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数的图象可知，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．
利用直线与（，n为常数）的图象有且只有一个交点，有根的判别式求出c的值，即可求出直线的解析式；
【详解】将代入，
整理得：，
当时，函数与的图象有且只有一个交点，
有一个实数根，
即，
解得：，
把代入与中得，，
把代入与中得，，
当或时，函数与的图象有且只有一个交点，
故选：A．
9．
【分析】题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点代入函数解析式求出a的值，再把代入函数解析式计算即可求出的值．
【详解】解：把代入得，
∴，
∴当时，，
故答案为：．
10．x（x﹣1）=36．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为，即可列方程．
【详解】解：设一共有x个球队参赛，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=36．
故答案为：x（x﹣1）=36．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
11．/
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是，
故答案为：．
12．且
【分析】根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点，
∴关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键．
13．且
【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，由一元二次方程的二次项系数不能为0得，由方程有两个不相等的实数根可得，由此可解．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得且，
故答案为：且．
14．
【分析】本题考查了二次函数的应用，利用顶点坐标求解是解题的关键．汽车刹车后速度减为0时停下来，此时行驶的距离达到最大值，因此，本题即求取得最大值时t的取值．
【详解】解：．
因为，当时，s取得最大值．
故汽车刹车后秒，停下来．
故答案为：．
15．8
【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可．
【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
设抛物线的函数关系式为，
由题意可得，
代入函数关系式得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
由题意可设，代入抛物线的解析式，得：，
∴，
∴，
∴（米），
∴最低水位与最高水位之间的距离为8米．
故答案为：8．
16．②④⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，数形结合是解决问题关键．根据函数图象分别判断、、的正负，即可判断①；根据二次函数的对称性即可判断②；根据二次函数图象的性质即可判断③；用来表示改变函数解析式，根据图象，令，得到，即即可判断④；利用二次函数的最值即可判断⑤．
【详解】解：①根据图象可知：，，
∵对称轴是直线，
，即，
∴．故①错误．
②方程的解即为二次函数与轴的交点横坐标，
根据图象已知抛物线与轴的一个交点的横坐标满足，
∴另一个交点的横坐标满足．故②正确．
③∵对称轴是直线，且，
∴点离对称轴更近，
∴，故③错误．
④，
∴，
，
根据图象，令，则，
∴，故④正确．
⑤∵时，函数有最小值，
∴对于任意实数，都有，即，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
17．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
【详解】（1）∵，，，
∴
∴，
∴，
（2）∵，
∴，
则，
∴，
【点睛】本题考查一元二次方程的求解，灵活运用公式法等求解方法即可．
18．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程，求解并注意检验．
【详解】解：根据题意得：，
化简得：，
解得：，，
∵当时，，
∴舍去，
故答案为：．
19．(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了把抛物线解析式化为顶点式，画抛物线函数图象，抛物线与不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）利用配方法把抛物线解析式化为顶点式即可；
（2）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可；
（3）（4）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：如图所示，即为所求；
列表如下：
（3）解：由函数图象可知，当，；
（4）解：由函数图象可知，当时，．
20．（1） （2）坐标为（0）（0）
【详解】试题分析：已知抛物线的顶点坐标和抛物线与轴的一个交点间的坐标.设抛物线的顶点式方程，把交点坐标代入，就可求出抛物线的解析式.
令可求出抛物线上纵坐标为的点的坐标．
试题解析：设该抛物线的解析式为：
把点代入得：
∴该抛物线的关系式为
即
将代入,得：
解得
∴这条抛物线上纵坐标为的点的坐标为
点睛：抛物线常见的有三种形式：一般式，顶点式，交点式.根据题目选择合适的形式可以简化运算.
21．(1)
(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元，
由题意得，
整理得，
解得或，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．
22．(1)，顶点坐标为
(2)或
(3)或
【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点代入求得，再求得，再利用待定系数法求解即可；
（2）联立方程组求得，再根据图象求解即可；
（3）方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，得，
∴．
当时，，
解得，
∴点．
将点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点坐标为．
（2）解：∵直线与抛物线的交点在第三象限，
∴，
解得（不符合题意，舍去）或，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
观察图象，得不等式的解集为或；
（3）解：方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，
如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点；
当直线经过抛物线顶点时，直线与抛物线有一个交点，
∴n的取值范围为或．
23．(1)
(2)或或或
(3)最大面积为，
【分析】（1）由直线解析式可求得、坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得点坐标及对称轴，可设出点坐标，表示出、和的长，分、和三种情况，可分别得到关于点坐标的方程，可求得点的坐标；
（3）过作轴，交直线于点，交轴于点，可设出点坐标，表示出点的坐标，表示出的长，进一步可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时点的坐标．
【详解】（1）直线与轴、轴分别交于点、点，
，，
把、坐标代入抛物线解析式可得
，
解得，
抛物线解析式为；
（2），
抛物线对称轴为，，
设，且，
，，，
为等腰三角形，
有、和三种情况，
①当时，则有，解得 ，此时；
②当时，则有，解得与点重合，舍去或，此时；
③当时，则有，解得或，此时或；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或；
（3）如图，过作轴，交于点，交轴于点，

设，则，
，
，
，
当时，的面积最大，此时点坐标为，
即当点坐标为时，的面积最大，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，特殊三角形问题，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
D
C
B
C
A
D
A


…
0
1
2
3
4
…
…
3
0
0
3
…