吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（含答案解析）

这是一份吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（含答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 下列各式中，结果是的相反数的是（ ）
2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ）
3. 矩形的一条对角线与一边的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）
4. 下列各式计算正确的是（ ）
5. 已知a，b，m是实数，且，那么有（ ）
6. 如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为 ，测得米，则树的高（单位：米）为（ ）
7. 某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（ ）
8. 如图，直线交反比例函数（）的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为，则的值为（ ）
二、填空题
9. 单项式的系数是，次数是，则______．
10. 计算：_________．
11. 如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为________．

12. 已知一次函数的图象经过原点，则的值为_________．
13. 如图，中，，，，动点在边上运动，将线段绕点逆时针旋转得，取的中点，当点从点开始向右运动到点时结束，则对应的点所经过的路线的长度为___________．
14. 如图，以为直径的与相切于点C，交的延长线于点E，直径，，弦，垂足为点F，连接，，则下列结论正确的是___________．（写出所有正确结论的序号）
①；
②
③扇形的面积为
④若点P为线段上一动点，则有最大值
三、解答题
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率．
17. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？
18. 如图，在中，于E，点F在边上，，求证：四边形是矩形．
19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中以为底边画一个等腰直角三角形；
(2)在图②中画线段（点E、F不与点A、B重合），使与线段相交，且它们所夹锐角的度数为．
(3)在图③中线段左侧作一点P，连结，使且的面积为．
20. 北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．，B．，C．；D．，E．），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，91，91，92；
b．乙校20名志愿者的成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．甲校抽取志愿者成绩的扇形统计图如图所示：
d．甲、乙两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)由上表填空：________，_______，________．
(2)若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次测试，估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有多少人？
21. 五一劳动节前夕，龙泉公园管理处购进两种类型的花卉盆景共盆，其中种类型的花并价格为每盆元，购买种类型的花卉盆景所需费用（单位：元）与购买数量（单位：盆）的函数关系图象如图所示．
(1)求与的函数关系式；
(2)若购买种类型花卉盆景所需的数量不超过盆，但不少于种类型花卉盆景的数量，试问如何购买能使购买费用最少？并求出最少费用．
22. 【综合与实践】
问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D、E分别是点B、C的对应点），旋转角为，设线段交于点P，线段分别交、于点F、Q，如图2．
特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为___________；
探究规律：在绕点A逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论．
拓展延伸：
（1）在绕点A逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角α的度数．
（2）在图3中，作射线、交于点M，四边形的面积记为，的面积记为，是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角α的度数，及此时的值；若不存在，请说明理由．
23. 如图，的面积为，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，将线段绕点顺时针旋转至，设点的运动时间为（）．
(1) ；
(2)连结，当平分的面积时，求的值；
(3)求点的运动路径长；
(4)点在线段上运动时，在射线上作一点，使，当为锐角时，直接写出的取值范围．
24. 已知抛物线经过点，
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上找一点，使是以为直角边的三角形，求点的坐标；
(3)交轴于点，点是抛物线上一动点，过点作于点，过点作的平行线，交轴于点．
①点在下方的抛物线上时，的值记为，求的最大值及此时点的坐标；
②抛物线与四边形交点的纵坐标的最大值记为，最小值记为，当时，直接写出点的坐标．
吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题
整体难度：适中
考试范围：数与式、图形的性质、方程与不等式、图形的变化、函数、统计与概率
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．过点A作
B．延长BC到点D，过点C作
C． 过点A作于点D
D．过BC上一点D作，
A．
B．
C．
D．
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
乙
92
b
题型
数量
单选题
8
填空题
6
解答题
10
难度
题数
容易
2
较易
11
适中
8
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
相反数的定义；有理数四则混合运算
2
0.85
从不同方向看几何体
3
0.85
等边对等角；利用矩形的性质求角度；三角形的外角的定义及性质
4
0.65
积的乘方运算；计算单项式乘多项式及求值；同底数幂相乘；幂的乘方运算
5
0.94
不等式的性质
6
0.65
仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
7
0.85
三角形内角和定理的证明
8
0.65
根据图形面积求比例系数（解析式）
二、填空题
9
0.94
已知字母的值 ，求代数式的值；单项式的系数、次数
10
0.85
二次根式的乘法
11
0.85
根据二次函数图象确定相应方程根的情况
12
0.65
根据一次函数的定义求参数；求一次函数解析式；利用平方根解方程
13
0.65
等边三角形的判定和性质；根据旋转的性质求解；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
14
0.4
y=ax²+bx+c的最值；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；切线的性质定理
三、解答题
15
0.85
分式化简求值
16
0.85
列表法或树状图法求概率
17
0.85
行程问题(一元一次方程的应用)；古代问题(一元一次方程的应用)
18
0.85
证明四边形是矩形
19
0.65
格点图中画等腰三角形；在网格中画与已知三角形相似的三角形；勾股定理与网格问题；等腰三角形的定义
20
0.85
由样本所占百分比估计总体的数量；求众数；求扇形统计图的圆心角；求中位数
21
0.65
求一次函数解析式；最大利润问题(一次函数的实际应用)；一元一次不等式组的其他应用
22
0.65
等腰三角形的性质和判定；根据旋转的性质求解；全等的性质和SAS综合（SAS）；利用平行四边形性质和判定证明
23
0.15
根据旋转的性质说明线段或角相等；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；求角的正切值
24
0.4
解直角三角形的相关计算；线段周长问题(二次函数综合)；y=ax²+bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
序号
知识点
对应题号
1
数与式
1,4,9,10,12,15
2
图形的性质
2,3,7,13,14,18,19,22,23
3
方程与不等式
5,17,21
4
图形的变化
6,13,14,19,22,23,24
5
函数
8,11,12,14,21,24
6
统计与概率
16,20