2025-2026学年北京市东城区汇文中学九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年北京市东城区汇文中学九年级上学期10月月考数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹祥的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）
A．B．C．D．
3．如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用，已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（）
A．B．C．D．
6．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，下图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2
C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃
D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
7．已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，等边三角形的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为．
将绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：
①当点C第一次落在上时，旋转角为；
②当第一次与相切时，旋转角为．
则结论正确的是（ ）
A．①B．②C．①②D．均不正确
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则 （填“”，“ ”或“”）．
10．如图，为等腰三角形，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为 ．（填“相交”、“相切”或“相离”）
11．若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为 ．
12．若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是 ．
13．如图，中，，，点O在上，，以为半径的与相切于点D，交于点E，则弦的长为 ．
14．如图，将面积为25的正方形的边的长度增加，变为面积为22的矩形．若正方形和矩形的周长相等，则的值是 ．
15．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则 ．（用含的式子表示）
16．如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．已知，求代数式的值．
19．如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径．
20．已知：如图，是的弦．
求作：上的点，使得．
作法：①连接并延长交于；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
③作直线交于点，，连接，．
所以，点，就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接，．
，，
（______）（填推理的依据）．
．
，，，都在上，
，（______）（填推理的依据）．
．
21．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值．
22．如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点顺时针旋转，顶点，的对应点分别为，，线段的对应线段为．
(1)在图中标出点，并画出“L”形旋转后所得到的图形；
(2)______；
(3)在旋转过程中，点所经过的路径长为______．
23．已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
根据以上信息回答下列问题：
(1)二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ；
(2)求二次函数的表达式；
(3)当时，二次函数的最小值是1，则k的值为 ．
24．不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．
(1)从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为________；
(2)从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率．
25．如图，是的直径，点C在上，连接，．作交于点D，交于点E．
(1)求证：；
(2)过点D作的切线交的延长线于点F，若，．求的长．
26．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
(1)当时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围．
27．在中，于点，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，当时，补全图形，并求的长；
(2)如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系中的点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点为图形的“关联点”．
(1)图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为，
①如图①，在点，，，中，线段的“关联点”是_______；
②如图②，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围；
(2)图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点为的“关联点”，直接写出t的取值范围．
x
…
0
1
2
3
…
y
m
3
4
3
0
…
《 北京汇文中学2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题》参考答案
1．C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案；
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可．
【详解】∵在中，为直径，
∴，
∵，
∴，
故选D．
4．C
【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律．
二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式．
【详解】解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：；
再向上平移个单位长度可得，
故选：．
5．D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，正六边形的性质，三角函数的计算以及用分割法求面积．连接正六边形的中心与各个顶点，可将正六边形分割成六个全等的等边三角形，先求一个等边三角的面积，即可得到正六边形的面积．
【详解】连接正六边形的中心与各个顶点，可将正六边形分割成六个全等的等边三角形，
因为正六边形的半径等于等边三角形的边长，所以每个等边三角形的边长为，
如图，过O点做，交与，
，
是等边三角形，
，
，
那么正六边形的面积为．
故答案选：D．
6．C
【分析】本题主要考查概率公式的应用，用频率估计概率，解答本题的关键是求出各事件发生的概率．根据统计图可知发生的频率接近，得出该事件发生的概率为，然后逐项进行判断即可．
【详解】解：根据图象可知：发生的频率接近，即该事件发生的概率为；
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故A不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故B不符合题意；
C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故C符合题意；
D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率，故D不符合题意．
故选：C．
7．B
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵由图象可得抛物线的对称轴为x=-1.5，
∴点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2），
当-3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键．
①当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得；
②当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，先求出，，，即可得出结论．
【详解】解：①当点C第一次落在上时，
连接，
，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
，
三点共线，
，
，
，
，
，故①正确；
当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，
是正三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当第一次与相切时，旋转角为，故②错误，
故选：A．
9．
【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是把的值代入二次函数解析式，求出对应的值再比较即可．
【详解】点，在抛物线上，
；，
；
故答案为：．
10．相切
【分析】连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，根据等腰三角形的性质得到AO平分∠BAC，则利用角平分线的性质得OE=OF，接着根据切线的性质可判断OE为⊙O的半径，然后根据切线的判定定理可判断AC与⊙O相切．
【详解】解：连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，
∵O是等腰△ABC的底边BC的中点，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE=OF，
∵腰AB与⊙O相切，
∴OE为⊙O的半径，
∴OF为⊙O的半径，
而OF⊥AC，
∴AC与⊙O相切．
故答案为：相切．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径，过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，先将根代入方程求出a的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合条件的a值．
【详解】解：将代入得：，
∴，
∴，
∴，
当时，，方程不是关于x的一元二次方程，故舍去，
∴．
故答案为：．
12．m＜1且m≠0
【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程y＝x2+2x+m有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△>0可求出m的取值范围，此题得解．
【详解】∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，
∴方程y＝x2+2x+m有两个不相等的实数根，且m≠0，
∴△=2−4m>0，
∴m