重庆育才中学、鲁能巴蜀中学、万州高级中学2026届高三上学期10月联合考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆育才中学、鲁能巴蜀中学、万州高级中学2026届高三上学期10月联合考试数学试卷（Word版附解析），文件包含重庆市育才中学校等三校2025-2026学年高三上学期10月联合诊断性考试数学试题Word版含解析docx、重庆市育才中学校等三校2025-2026学年高三上学期10月联合诊断性考试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.试卷由 整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每题给出的四个选项，只有一项符合
题目要求.
1. 若集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用补集运算和并集运算直接得到结果.
【详解】由 ， ，则 ，
又 ，所以 .
故选：D
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】对于 A，根据绝对值的性质可得 ，由此可判断 A，对于 B，根据余弦函数的性质可得对于
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， ，由此可判断 B，对于 C，结合基本不等式证明 ，由此可判断 C，对
于 D，结合配方法可证明 ，由此可判断 D.
【详解】对于 A，因为 ， ，所以 ，故 A 正确；
对于 B，因为 ， ，故 B 错误，
对于 C，因为 ， ，当且仅当 时等号成立，故 C 错误，
对于 D，因为 ， ，故 D 错误，
故选：A.
3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合对钩函数、幂函数、正弦函数的单调性逐一判断即可.
【详解】A：因为函数 在区间 上单调递减，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以该函数是非零实数集上的偶函数，因此不符合题意；
C：因为 ，所以该函数是实数集上的偶函数，因此不符合题意；
D：因为 ， ，
所以 是实数集上的奇函数，且在区间 上单调递增，符合题意，
故选：D
4. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】由 x 的范围，和三角函数线得 ，将 化简，得答案.
【详解】因为 ，由三角函数线的图像
可知 ，则
故选：A
【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简，还考查了判断三角函数值的大小，属
于简单题.
5. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过中间值 0 和 1，即可比较大小.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：B
6. 底面半径为 1 的圆锥，其轴截面中两条母线的夹角为钝角，那么其侧面展开所得扇形的面积可能是（
）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】先根据轴截面中母线夹角为钝角的条件，确定母线长的范围；再利用圆锥侧面展开扇形面积公式，
求出面积的范围；最后将选项中的面积值与该范围对比，即可得出正确答案.
【详解】根据题意作图，设圆锥的母线长为 ，已知圆锥底面半径 ，由题意圆锥轴截面中两条母线的
夹角为钝角，
而当轴截面中两条母线的夹角为直角时，根据勾股定理，此时母线长 ，所以要使夹角为
钝角，
则需 .又圆锥侧面展开所得扇形的面积 ，所以 .
选项 A， ，不在 范围内，所以 A 错误；
选项 B， ，不在 范围内，所以 B 错误；
选项 C， ，不在 范围内，所以 C 错误；
选项 D， ，在 范围内，所以 D 正确.
故选：D.
7. 已知函数 的部分图象如图所示．若 ， ， ， 四点在同一个圆上，则
（ ）
A. 1 B.
C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】根据对称性可知 为圆心，根据 即可求解.
【详解】连接 交 轴于 ,
由于 ， ， ， 四点在同一个圆上，且 和 均关于点 对称，
故 为圆心，故 ，
, ,
故 ，解得 ，
故选：D
8. 函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合题意对参数范围分类讨论，先排除 ，在 时利用导数推出 恒成立，再得到
恒成立，最后得到 ，求解 的取值范围即可.
【详解】由题意得 的定义域为 ， ，
则 ， ，
当 时， 恒成立，可得 在 上单调递增，可得 在 上为正数，
此时不满足 恒成立，故排除，
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当 时，令 ， ，令 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 ，
若 恒成立，则 恒成立即可，可得 ，
令 ， ，即求 恒成立即可，
而 ，令 ， ，令 ， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
可得 ，故 恒成立，
得到 恒成立，解得 ，
则 的取值范围是 ，故 A 正确.
故选：A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 已知角 的终边过点 ，则
D. 函数 的图象关于点 中心对称
【答案】AC
【解析】
【分析】A 选项，由角所在的象限判断三角函数值的符号；B 选项，由诱导公式和两角和的余弦公式化简求
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值；C 选项，由三角函数的定义求解；D 选项，由正弦曲线对称中心的性质求解.
【详解】对于 A， ， ； ， ， ，
所以 ，故 A 选项正确；
对于 B， ，
故 B 选项错误；
对于 C，角 的终边过点 ，有 ， ，
则 ，故 C 选项正确；
对于 D，当 时， ，
点 不是函数 图象的对称中心，故 D 选项错误.
故选：AC.
10. 设 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，则（ ）
A.
B. 当 时，
C.
D. 恰有 3 个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】AB 选项，利用函数奇偶性求函数解析式和函数值；C 选项，由函数解析式求函数值比较大小；D
选项，结合函数单调性和零点存在定理即可判断函数零点个数.
【详解】 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，
对于 A， ，故 A 正确；
对于 B，当 时， ，则
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，故 B 正确；
对于 C， ， ，
，
故 ，即 ，故 C 错误；
对于 D， 时， ， ，
则由 可得 或 ；由 可得 ，
故 和 上单调递增，在 上单调递减，
， ， ，
可知 在 上有且只有一个零点，
又 是定义在 R 上的奇函数，则 在 上有一个零点，且 ，
所以 恰有 3 个零点，故 D 正确.
故选：ABD
11. 在 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，AC 的中点为 M， ，且 ，延长
AC 到点 D，使点 C 为线段 AD 的中点，下列说法正确的是（ ）
A.
B. △ABD 的面积的最大值为
C. 若△ABC 为锐角三角形，BM 的取值范围为
D. BD 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角 判断选项 A；由余弦定理和基本不等式得
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，再由 求最小值判断选项 B；由 ，利用向量的
数量积和三角恒等变换化简得 ，△ABC 为锐角三角形，有 ，结
合正弦函数的性质求取值范围判断选项 C；设 ，由余弦定理 ，
利用辅助角公式和正弦函数的性质求最小值判断选项 D.
【详解】对于 A，已知 ，由正弦定理得 ，
即 ，得 ，
则有 ，得 ，
又由于 ，所以 ，故 ，
而 ，所以 ，选项 A 正确；
对于 B，在 中，由余弦定理 ，得 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
由于 ，
所以 的面积的最大值为 ，故选项 B 错误；
对于 C，在 中，由正弦定理得 ，
， ，
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由 AC 的中点为 M，有 ，
，
△ABC 为锐角三角形，则 ，得 ，
当 ，有 ，所以 ，
有 ，故 ，选项 C 正确；
对于 D，设 ，所以 ，在 中由余弦定理，
，
， ，
故当 ，即 时，
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取最小值 ，所以 的最小值为 ，故 D 选项正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 计算 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数换底公式将不同底数的对数转化为相同底数的对数，再结合对数运算性质进行化简；利
用指数运算性质对指数部分进行化简，最后进行计算即可.
【详解】根据题意，原式
.
故答案为： .
13. 已知函数 ，则 的最大值为______.
【答案】 ##0.25
【解析】
【分析】结合题意求出 ，再利用同角三角函数的基本关系和换元法得到 ，最后结合二
次函数的性质求解最大值即可.
【详解】由题意得 ，可得 ，解得 ，
则 ，
令 ，因为 ，所以 ，
则原函数可化为 ，由二次函数性质得其对称轴为 ，
可得 ，即 的最大值为 .
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故答案为：
14. 勾股数是指一组能构成直角三角形边长的正整数 ，即 已知有三个三角形的边长均
为勾股数，其中两个三角形的三边长为 和 ，若这三个三角形的最小角之和恰为 ，则第
三个三角形周长的最小值为______.
【答案】154
【解析】
【分析】设这三个三角形的最小角分别为 ，则结合 利用正整数 来表示第
三个三角形的三条边，进而可得结果.
【详解】设这三个三角形的最小角分别为 ，则 ，
由两个三角形的三边长为 和 ，可知 和 .
.
假设第三个直角三角形的一条直角边和斜边分别为 ，
则另一条直角边为 .
所以第三个三角形的周长为 ，
因为 ，所以 时，第三个三角形周长的最小值为 154.
故答案为：154
四、解答题：本题共 5 题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图 为平面四边形 中 的角平分线， 的面积为
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（1）求边 BC 的长度；
（2）若 的外接圆直径 求△ACD 的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的面积公式与余弦定理求解即可；
（2）先用正弦定理求 ，进而利用余弦定理可求 ，从而可得周长.
【小问 1 详解】
由 为 角平分线及 ，知 .
，即 ，得 .
.
故边 BC 的长度为 .
【小问 2 详解】
由 的外接圆直径 ，得 ，则 .
由余弦定理知， ，
设 ，则 ，即 ，
，解得 （舍去）或 ，则 .
所以△ACD 的周长为 .
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16. 如图，在三棱柱 中， 为线段 的中点，侧棱 上的点 ， 满足 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， 平面 ， ， ，求直线 与平面 所成角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，结合中位线与平行四边形性质可得 ，再利用线
面平行判定定理即可得证；
（2）可建立适当空间直角坐标系后，求出平面 法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得.
【小问 1 详解】
连接点 与 的中点 ，连接 ，
又 为 的中点，则 为 的中位线，则 且 ，
又 ，三棱柱 中， ，即 ，
则 且 ，则四边形 为平行四边形，
则 ，又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
小问 2 详解】
由 平面 ， 、 平面 ，
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则 ， ，又 ，
则 、 、 两两垂直，故以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有 、 、 、 、 ，
则 、 、 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，
取 ，则 ， ，即 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
17. 2025 年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联
赛积分规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有
11 支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何
一个对手比赛时，获胜的概率均为 ，平局的概率均为 ，失利的概率均为 ，且各场比赛结果相互独立.
（1）九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用 模拟了该球队在 5 种不同观众人数(单位：
千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下：
场均观众人数 (千
8 12 6 15 9 人)
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小组赛积分 10 16 8 18 13
请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分 的样本相关系数 (精确到 0.01)，并说明两者之间的线性相
关程度；
（2）九龙坡区队在 9 月 13 日的揭幕赛中以 失利于渝中区队，积 0 分.根据赛事规则推算，在中心城区
赛区，球队至少需要获得 23 分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得 23 分
的概率.
附：相关系数 ，
【答案】（1） ，具有很强的正线性相关关系；
（2） .
【解析】
【分析】（1）借助相关系数 的计算公式计算即可得；
（2）分析所有可能情况并计算对应概率即可得.
【小问 1 详解】
， ，
则 ，
， ，
则 ，
因为 ，且接近于 ，
故说明场均观众人数 与小组赛积分 之间具有很强的正线性相关关系；
【小问 2 详解】
九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得 23 分，
则设剩余 场比赛中九龙坡区队比赛情况有以下几种：
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一： 场比赛全胜，概率为： ；
二：胜 场，平或负 场，概率为： ；
三：胜 场，平 场，概率 ： ；
故九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得 23 分的概率为：
.
18. 已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，其长轴长为 ，离心率为 ，过点
的直线 交椭圆于 ， 两点，点 在 轴上方，线段 的中点为 ， 的重心为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ， 和 面积分别为 ， .
（i）求 的取值范围；
（ii）求 的取值范围.
【答案】（1）椭圆 的方程为 ；
（2）（i） 的取值范围为 ，（ii） 的取值范围为 .
【解析】
【分析】（1）由条件，根据长轴长的定义，离心率的定义及 的关系列方程，解方程求 可得椭圆
方程，
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（ 2）（ i） 设 直 线 的 方 程 为 ： ， 联 立 直 线 和 椭 圆 的 方 程 ， 消 可 得
， 设 ， ， 由 根 与 系 数 关 系 可 求 ， 由
，可得 ，由此可得 ，解不等式可求 的取值范围；
（ii）先求 ，由此可得 ，由函数 的单调性可求 的取值范围.
【小问 1 详解】
设椭圆 的半焦距为 ，
由已知可得 ，且 ，解方程得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ，
【小问 2 详解】
由（1）椭圆 的标准方程为 ，
所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
（i）由已知直线 的斜率不为 ，故设直线 的方程为： ，
联立 ，消 可得 ，
方程 的判别式 ，
设 ， ，其中 ， ，
由已知 ， ，
由于 ，所以 ，
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所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围为 ，
（ii）因为点 为线段 的中点，所以 ，
因为点 为 的重心，所以 ，
所以
，
因为点 为 的重心，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为函数 在 上单调递减，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
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19. 给定函数 ，若曲线 上存在 个不同的点 满足曲线 在
这 k 个点处的切线重合，则称集合 为函数 所对应的一个"k 重
切点集".
（1）函数 ，求出 对应的一个"2 重切点集"；
（2）函数 ，求出 对应的一个"4 重切点集"；
（3）函数 ， 是否存在对应的"k 重切点集"，如果有，请写出；如果没有，请说明
理由.
【答案】（1） ；
（2） 或 ，（写出其中一个即可）；
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）分 和 ，写出解析式并分别求导，注意到 ，且
，所以函数在点 处的切线方程相同，得到 ；
（2）三角恒等变换得到 ，令 ，得到对应的"4 重切点
集"，同理可令 ，再得一个对应的"4 重切点集"；
（3）假设存在满足条件的"k 重切点集"，先考虑 时，二次求导，得到 的单调性，设
，根据 在 处的切线重合得到方程，换元得到
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，且 ，变形得到 ，令 ，求
导得到 单调性， 无解，故不存在满足条件的"2 重切点集"，更不存在满足条件的"k 重切点集".
【小问 1 详解】
定义域为 R，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
注意到 ，且 ，
所以 在点 处的切线方程相同，均为直线 ，
所以 对应的一个"2 重切点集"为 ；
【小问 2 详解】
，
令 ，得 ，
又因为 ，令 ，解得 ，
此时 为曲线 的一条切线，
对应的"4 重切点集"为 ；
同理，令 ，得 ，
又因为 ，令 ，解得 ，
此时 为曲线 的一条切线，
对应的"4 重切点集"为 ；
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综上， 对应的"4 重切点集"为 或 ，（写出
其中一个即可）；
【小问 3 详解】
不存在，理由如下：
假设存在满足条件的"k 重切点集" ，
先考虑 时， ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 得 ，令 得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
注意到 ，当 时， ，当 时， ，
不妨设 ，由 知， ，
因为 在 处的切线方程为 ，
即 ，
因为 在 处的切线重合，
所以 ，
故 ，
即 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
，即 ，
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由 两边同乘以 ，得
，
令 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，且 ，
由 得 ，代入 得 ，故 ，
两边取对数得 ，即 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，故 ，故 无解，
所以不存在 满足条件，故不存在满足条件的"2 重切点集" ，
更不存在满足条件的"k 重切点集" .