吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
下列关系中：① 0 0，②   0 ，③0,1  0,1，④a, b  b, a正确的个数为
（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
若 xy  0 ，则“ x  y  0 ”是“ y  x  2 ”的（）
xy
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
若不等式 x2  ax 1  0 对于一切 x   0, 1  恒成立，则 a 的最小值是（）
2 
A. 0B. 2

C.  5
2
D. 3
集合 M  x | x  5k  2,k  Z ， P  x | x  5n  3,n  Z ， S  x | x  10m  3,m  Z 的关系是
（）
A S  P  M
B. S  P  M
C. S  P  MD. P  M  S
已知 x  y 1, y  0, x  0 ，则 1 x的最小值为（）
2xy 1
5B. 0C. 1D.2
42
如图中阴影部分所表示的集合是（）
B ∩[ðU ( A ∪ C)]
（A∪B）∪（B∪C）
（A∪C）∩（?UB）D. B [ðU ( A ∪ C)]
命题x {x∣1  x  2}, x2  a  0 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
a  4
C. a  4
a  5
D. a  5
已知非空数集T 满足：任意的 x T ，则 x 1 T ，若集合T 中含有4 个元素，则这四个元素之积为（）
x 1
2B. 1
C 1D. 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
已知集合 A 中元素满足 x  3k  1， k  Z ，则下列表示正确的是（）
2  A
11 A
3k 2 1 A, k  Z
34  A
下面命题正确的是（ ）
“ a  1 ”的必要不充分条件是“ 1  1 ”
a
命题“若 x  1，则 x2  1 ”的是真命题
设 x, y  R ，则“ x  2 且 y  2 ”是“ x2  y2  4 ”的必要不充分条件
设 a, b  R ，则“ a  0 ”是“ ab  0 ”的必要不充分条件
设 S 为实数集R 的非空子集.若对任意 x, y  S ，都有 x  y  S ， x  y  S ， xy  S ，则称 S 为封闭集.下列命题是真命题的是（）
3
集合 S  a  b| a  Z , b  Z为封闭集
若 S 为封闭集，则一定有0  S
封闭集一定是无限集
若 S 为封闭集，则满足 S  T  R 的任意集合 T 也是封闭集
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知集合 A  2a  1, a2 , 0， B  1 a, a  5, 9 ，若满足 A  B  9 ，则实数 a 的值为．
已知0  a  b  2, 1  b  a  1，求5a  b 的取值范围.
设已知集合 A  x∣ x  m x  m 1  0， B  x x  0 ，若 A ðR B   ，则实数m 的取值范
围为.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
已知集合 A  1, 3, a2, B  1, a  2 ．
（1）若 A  B  1, 4，求集合 A  B, A  B ；
（2）设U  A ，若ðU B  3 ，求实数 a 的值．
已知集合 A  x∣x2  2(a 1)x  a2 1  0, B  x∣x2  4x  0 ．
若0  A ，求实数 a 的值；
若C  {x | mx  2  0} ，且C  B ，求 m 的值；
求实数 a 的值使得 A ∪ B  B ．
某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长acm 、宽bcm 的矩形，面积为60cm2 ．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为 2cm ，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为
1cm ．三个栏目的文字宣传区域面积和为S ，
用 a 、b 表示文字宣传区域面积和S ；
如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和S 最大？最大面积是多少？
已知实数 a，b，c 满足 a  b  c  0 ．
证明：“ a  b  c  0 ”是“ ab  bc  ac  0 ”的充要条件；
若 a  b  c 且 abc  1，证明： a3  4 ．
已知集合 A  x x2  2x  3  0, B  x | ax 1  0及非空集合C  x | x2  ax  b  0．
若 B  C ，求 a，b 的值；
是否存在实数 a，b，使得 A  C  B ，若存在，求出 a，b 之间的关系，若不存在，说明理由．
高一数学
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
下列关系中：① 0 0，②   0 ，③0,1  0,1，④a, b  b, a正确的个数为
（）
B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于①：因为 0 是0 的元素，所以0 0，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以  0 ，故②正确；对于③：因为集合0,1 的元素为 0，1，集合0,1的元素为0,1 ，
两个集合的元素全不相同，所以0,1,0,1之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合a, b 的元素为a, b ，集合b, a 的元素为b, a ，两个集合的元素不一定相同，所以a, b,b, a 不一定相等，故④错误；综上所述：正确的个数为 2.
故选：B.
若 xy  0 ，则“ x  y  0 ”是“ y  x  2 ”的（）
xy
【分析】解法一：由 x  y  2 化简得到 x  y  0 即可判断；解法二：证明充分性可由 x  y  0 得到 x   y ，
yx
代入 x  y 化简即可，证明必要性可由 x  y  2 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由
yxyx
A. 充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C. 充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
x  y 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 x  y  0 代入即可，证明必要性可由 x  y 通分后用配凑
yxyx
法得到完全平方公式，再把 x  y  0 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 xy  0 ，且 x  y  2 ，
yx
所以 x2  y2  2xy ，即 x2  y2  2xy  0 ，即 x  y 2  0 ，所以 x  y  0 .
所以“ x  y  0 ”是“ x  y  2 ”的充要条件.
yx
解法二：
充分性：因为 xy  0 ，且 x  y  0 ，所以 x   y ，
所以 x  y   y  y yxy y
所以充分性成立；
 1  1  2 ，
必要性：因为 xy  0 ，且 x  y  2 ，
yx
所以 x2  y2  2xy ，即 x2  y2  2xy  0 ，即 x  y 2  0 ，所以 x  y  0 .
所以必要性成立.
所以“ x  y  0 ”是“ x  y  2 ”的充要条件.
yx
解法三：
充分性：因为 xy  0 ，且 x  y  0 ，
xyx2  y2x2  y2  2xy  2xy x  y 2  2xy2xy
所以   2 ，
yxxyxyxyxy
所以充分性成立；
必要性：因为 xy  0 ，且 x  y  2 ，
yx
xyx2  y2x2  y2  2xy  2xy x  y 2  2xy x  y 2
所以   2  2 ，
yxxyxyxyxy

x  y 2
所以
xy
 0 ，所以 x  y 2
 0 ，所以 x  y  0 ，
所以必要性成立.
所以“ x  y  0 ”是“ x  y  2 ”的充要条件.
yx
故选：C
若不等式 x2  ax 1  0 对于一切 x   0, 1  恒成立，则 a 的最小值是（）
2 
A. 0B. 2

C.  5
2
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
采用分离参数将问题转化为“ a   x  1  对一切 x   0, 1  恒成立”，再利用基本不等式求解出 x  1 的
x 
2 x

最小值，由此求解出 a 的取值范围.
【详解】因为不等式 x2  ax 1  0 对于一切 x   0, 1  恒成立，
2 

所以 a   x  1  对一切 x   0, 1  恒成立，
x 2 

a 1 1  
所以   x  x  x  0, 2   ，
 max  
又因为 f  x  x  1 在 0, 1  上单调递减，所以 f  x f  1   5 ，
x2 
min
 2 2

所以 a   5 ，所以 a 的最小值为 5 ，
22
故选：C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.
集合 M  x | x  5k  2,k  Z ， P  x | x  5n  3,n  Z ， S  x | x  10m  3,m  Z 的关系是
（）
S  P  M
S  P  M
S  P  MD. P  M  S
【答案】C
【解析】
【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断 M , P, S 的关系可得结论.
【详解】任取 a  M ，则 a  5k1  2  5k1 1  3 ， k1  Z ，所以 a  P ，所以 M  P ，
任取b  P ，则b  5n1  3  5n1 1  2 ， n1  Z ，所以b  M ，所以 P  M ，
所以 M  P ，
任取c  S ，则c  10m1  3  5  2m1   3 ， m1  Z ，所以c  P ，所以 S  P ，
又8  P ， 8  S ，所以 S  P ，
所以 S  P  M ，
故选：C.
已知 x  y 1, y  0, x  0 ，则 1 
x
的最小值为（）
5
A.
4
【答案】A
【解析】
2xy 1
B. 0C. 1D.2
2
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
【详解】Q x  y  1 ， x  y 1  2 ，
1 (x  y 1)
 2 x
 1  y 1 x，
2xy 144xy 1
Q y  0, x  0 ，
 y 1  0,x
0 ，
4xy 1
 1 x
 1  y 1 
x 1  2
 5 ，
y 1 x
4xy 1
2xy 144xy 144
当且仅当 y 1 x，即 x  2 ， y  1 时等号成立，
4xy 133
故选：A
如图中阴影部分所表示的集合是（）
B ∩[ðU ( A ∪ C)]
（A∪B）∪（B∪C）
（A∪C）∩（?UB）D.
【答案】A
【解析】
B [ðU ( A ∪ C)]
【分析】根据韦恩图的意义，结合集合交并补运算的表示，即可容易求得结果.
【详解】根据韦恩图的意义，阴影部分表示的集合为：集合 B 与 A ∪ B 在集合U 中的补集的交集.
故可表示为： B ∩[ðU ( A ∪ C)] .
故选：A.
命题x {x∣1  x  2}, x2  a  0 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
a  4
C a  4
a  5
D. a  5
【答案】B
【解析】
【分析】求出命题x {x∣1  x  2}, x2  a  0 为真命题时 a 的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】若命题“ x {x∣1  x  2}, x2  a  0 ”为真命题，
则 a  x2 ， x x∣1  x  2 恒成立.
令 g  x  x2 ，则函数 g  x 在1, 2上单调递增，所以在当 x  2 时， g  x 取得最大值 4，可得 a  4 ，
所以各选项中只有a a  5 是a a  4的真子集，
即a  5 是“ x {x∣1  x  2}, x2  a  0 ”为真命题的一个充分不必要条件.
故选：B
已知非空数集T 满足：任意的 x T ，则
x 1
x 1
T ，若集合T 中含有4 个元素，则这四个元素之积为（）
A. 2B. 1
C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用数量关系研究其周期性，可得答案.
x 1 1
【详解】由题意可得 x  x 1 ， x 1
  1 T ，
 1 1
x
 1 x T ，
1 x 1
x 1
x 1 1x x 1
 1 1
x
1 x
1 x  x T ，则T  x, x 1 ,  1 , 1 x  ，

1 x
x 1
x 1 x 
1 x 1
x  x 1   1   1 x  1
x 1 x  1 x

故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
已知集合 A 中元素满足 x  3k  1， k  Z ，则下列表示正确的是（）
2  A
11 A
3k 2 1 A, k  Z
34  A
【答案】ABC
【解析】
【分析】逐一代入检验，验证是否存在k  Z 即可.
【详解】令3k 1  2 ，解得 k   1 ，  1  Z ，2  A ，A 正确；
33
令3k  1  11，解得 k  10 ， 10  Z ，11 A ，B 正确；
33
Q k 2  Z ，3k 2 1 A ，故 C 正确；
令3k  1  34 ，解得 k  11 ， 11 Z ，34  A ，D 错误.故选：ABC.
下面命题正确的是（ ）
“ a  1 ”的必要不充分条件是“ 1  1 ”
a
命题“若 x  1，则 x2  1 ”的是真命题
设 x, y  R ，则“ x  2 且 y  2 ”是“ x2  y2  4 ”的必要不充分条件
设 a, b  R ，则“ a  0 ”是“ ab  0 ”的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.
【详解】对 A：因为 a  1  0  1  1，但 1  1  a  0 或 a  1 ，所以“ 1  1 ”是“ a  1 ”的必要
aaa
不充分条件，故 A 正确；
对 B：当 x  2 时，满足 x  1，但此时 x2  1 不成立，所以命题“若 x  1，则 x2  1 ”的是假命题，故 B
错误；
对 C：当“ x  2 且 y  2 ”时，“ x2  y2  4 ”成立；但当“ x2  y2  4 ”时，比如“ x  1 ，
y  2 ”，此时“ x  2 且 y  2 ”不成立.所以“ x  2 且 y  2 ”是“ x2  y2  4 ”的充分不必要条件，故 C
错误；
对 D：当“ a  0 但b  0 ”时，可得“ ab  0 ”；当“ ab  0 ”时，可得“ a  0 且b  0 ”.所以“ a  0 ”
是“ ab  0 ”的必要不充分条件.故 D 正确.故选：AD
设 S 为实数集R 的非空子集.若对任意 x, y  S ，都有 x  y  S ， x  y  S ， xy  S ，则称 S 为封闭
集.下列命题是真命题的是（）
3
集合 S  a  b| a  Z , b  Z为封闭集
若 S 为封闭集，则一定有0  S
封闭集一定是无限集
若 S 为封闭集，则满足 S  T  R 的任意集合 T 也是封闭集
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据集合定义依次判断 AB 正确，取 S  0 满足条件为封闭集，排除 C，取 S  0 ， T  0,1 ，排除
D，得到答案.
3
3
【详解】设 x  a  b， y  c  d， a,b,c, d 均为整数，
则 x  y  a  c  b  d  3  S ， x  y  a  c  b  d  3  S ，
3
xy  ac  3bd   ad  bc 3  S ，故集合 S  a  b| a  Z , b  Z为封闭集，A 正确；
S 为封闭集，取 x  y ，则 x  y  0  S ，B 正确；取 S  0 满足条件为封闭集，C 错误；
取 S  0 ， T  0,1 ，满足 S  T  R ， 0 1  1T ，故T 不是封闭集，D 错误.
故选：AB.
【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和应用能力，取特殊值排除是解题的关键.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知集合 A  2a  1, a2 , 0， B  1 a, a  5, 9 ，若满足 A  B  9 ，则实数 a 的值为．
【答案】－3
【解析】
【分析】根据交集定义，若 A  B  9 ，则9  A 且9  B ，从而讨论集合 A, B 的情况，确定实数 a 的值.
【详解】由题意可得， 9  A 且9  B ，当2a  1  9 时，解得 a  5 ，
此时 A  9, 25, 0， B  4, 0, 9 ， A  B  0, 9 ，不符合题意，舍去；
当 a2  9 时，解得 a  3 ，
当 a  3 时， A  5, 9, 0 ， B  2, 2, 9 ， B 中元素不满足互异性，不符合题意，舍去，当 a  3 时， A  7, 9, 0 ， B  4, 8, 9 ， A  B  9 ，符合题意，
综上所述， a  3 ，故答案为：－3.
已知0  a  b  2, 1  b  a  1，求5a  b 的取值范围.
【答案】(3, 7)
【解析】
【分析】先将5a  b 表示成关于 a  b 与b  a 的表达式，再利用不等式的性质即可求得答案.
m  n  1
【详解】设5a  b  m(a  b)  n(b  a) ，则m  n  5 ，

m  2

解得n  3
，则5a  b  2(a  b)  3(b  a) ，
因0  a  b  2, 1  b  a  1，
则0  2(a  b)  4, 3  3(b  a)  3 ，故3  5a  b  7 ，
即5a  b 的取值范围为(3, 7) .
故答案为： (3, 7) .
设已知集合 A  x∣ x  m x  m 1  0， B  x x  0 ，若 A ðR B   ，则实数m 的取值范围为.
【答案】{ m∣m  0 或 m  1}
【解析】
【分析】方法一，分类讨论化简集合 A，由 A ðR B   确定实数m 的取值范围；方法二，考虑
A ðR B   的反面 A ðR B   ，利用补集思想求解.
【详解】因为 A  x∣ x  m x  m 1  0，
所以当 m  1 时， A   1  ；当 m  1 时， A  m,1 m.
2

2 2
因为 B  x x  0 ，所以ðR B  x x  0 .
2
方法一 ， 因为 A ðR B   ，所以当 m  1 时，显然不满足；当 m  1 时， m  0 或1 m  0 ，解得 m  0 或 m  1.
2
即实数m 的取值范围为{m m  0 或 m  1} .
方法二 ，考虑 A ðR B   的反面 A ðR B   ，显然 m  1 时符合；
2
当 m  1 时，需满足 m  0 且1 m  0 ，即0  m 1且 m  1 .综上得0  m 1.
22
由补集思想得当 A ðR B   时， m  0 或 m  1，即实数m 的取值范围为{m m  0 或 m  1} .
故答案为：{m m  0 或 m  1} .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
已知集合 A  1, 3, a2, B  1, a  2 ．
（1）若 A  B  1, 4，求集合 A  B, A  B ；
（2）设U  A ，若ðU B  3 ，求实数 a的值．
【答案】（1）1, 3, 4,1, 4
（2） 2
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到4  A 且4  B ，列出方程组，求得 a 的值，得到集合 A, B ，结合集合交集和并集的运算，即可求解；
（2）根据题意，得到 a2  a  2 ，求得 a 的值，验证集合的互异性，进而得到答案.
【小问 1 详解】
解：由集合 A  1, 3, a2, B  1, a  2 ，

a2  4
若 A  B  1, 4 ，可得4  A 且4  B ，则
a  2  4
，解得 a  2 ，
所以 A  1, 3, 4, B  1, 4，可得故 A ∪ B  1, 3, 4, A ∩ B  1, 4 ．
【小问 2 详解】
解：由集合 A  1, 3, a2, B  1, a  2 ，
若ðU B  3 ，则 a2  a  2 ，解得 a  2 或 a  1 ， 当 a  2 时， A  1, 3, 4, B  1，4 ，满足ðU B  3 ；
当 a  1 时， B  1,1 ，不满足集合中元素的互异性，舍去，综上所述，实数 a 的值为2 ．
已知集合 A  x∣x2  2(a 1)x  a2 1  0, B  x∣x2  4x  0 ．
若0  A ，求实数 a 的值；
若C  {x | mx  2  0} ，且C  B ，求 m 的值；
求实数 a 的值使得 A ∪ B  B ．
【答案】（1） 1
（2） 0 或 1
2
（3）a | a  1或 a  1
【解析】
【分析】（1） x  0 是方程 x2  2(a 1)x  a2 1  0 的根，代入即可求 a；
分C   和C   两种情况进行讨论即可；
由 A ∪ B  B 可得 A ∪ B  B ，即 A  B ，分 A   ， A  {0}， A  {4}， A  {0, 4} 四种情况讨论即可．
【小问 1 详解】
∵ 0  A ，∴ a2  1  0 ，解得 a  1 ．
【小问 2 详解】
B  x∣x2  4x  0  x∣x  x  4  0  0, 4 ．由C  B ，
若C   ，即 m  0 ，满足题设，
若C   ，即 m  0 ，则C  0 或4 ，
将 x  0 代入 mx  2  0 可得2  0 （不成立，舍去），或4m  2  0  m   1 ，
2
综上， m  0 或m   1 ．
2
【小问 3 详解】
由 A ∪ B  B ，且 B   A ∪ B ，则 A ∪ B  B ，即 A  B ，
当 A   时， x2  2(a 1)x  a2 1  0 无实数根，即  4(a 1)2  4(a2 1)  0 ，解得 a  1 ；当 A  {0} 时， x2  2(a 1)x  a2 1  0 有两相等实数根 x  0 ，   4(a 1)2  4(a2 1)  0 ，则 a  1 ，符合题意；
当 A  {4} 时， x2  2(a 1)x  a2 1  0 有两相等实数根，   4(a 1)2  4(a2 1)  0 ，则 a  1 ，
此时 x2  2(a 1)x  a2 1  0 为 x2  0, x  0 ，则 A  {0} ，不合题意；当 A  {0, 4} 时， x2  2(a 1)x  a2 1  0 有两实数根 0 和 4，
此时0  4  2 a 1 且0  4  a2 1 ，解得 a  1 且 a  1 ，则 a  1 ；故综合上述， a 的取值范围为a | a  1或 a  1．
某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长acm 、宽bcm 的矩形，面积为60cm2 ．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为 2cm ，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为
1cm ．三个栏目的文字宣传区域面积和为S ，
用 a 、b 表示文字宣传区域面积和S ；
如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和S 最大？最大面积是多少？
【答案】（1） S  a  6b  4
（2）长和宽分别为3 10cm, 2 10cm 时，面积S 取得最大值84  24 10cm2 .
【解析】
【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得.
（2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值.
【小问 1 详解】
依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为 a  6, b  4 的矩形，所以 S  a  6b  4 .
【小问 2 详解】
24ab
依题意， ab  60 ，由（1）知 S  ab  (4a  6b)  24  84  (4a  6b)  84  2
10
4a  6b
 84  24，
10

当且仅当4a  6b 时取等号，由ab  60 ，解得 a  3 10, b  2，
所以纸张的长和宽分别为3 10cm, 2 10cm 时，面积S 取得最大值84  24 10cm2 .
已知实数 a，b，c 满足 a  b  c  0 ．
证明：“ a  b  c  0 ”是“ ab  bc  ac  0 ”的充要条件；
若 a  b  c 且 abc  1，证明： a3  4 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据充分性、必要性的定义进行证明即可；
（2）根据不等式的性质，结合基本不等式进行证明即可.
【小问 1 详解】
充分性：因为 a  b  c  0 ，所以 ab  bc  ac  0 ，即“ a  b  c  0 ”是“ ab  bc  ac  0 ”的充分条件；
必要性：因为 ab  bc  ac  0 ，且 a  b  c  0 ，所以有
a  b  c2  a2  b2  c2  2ab  2bc  2ac  0  a2  b2  c2  0  a  b  c  0 ，即“ a  b  c  0 ”是“ ab  bc  ac  0 ”的必要条件；
【小问 2 详解】
由 a  b  c 且 abc  1  0 ， a  b  c  0 ，得 a  0, b  0, c  0 ，
bc
a
所以有 a  b  c  2 a  2 ，
当且仅当b  c 时取等号，即当且仅当b  c 时取等号，
由 a 
2  a2  4  a3  4 .
a
a
已知集合 A  x x2  2x  3  0, B  x | ax 1  0及非空集合C  x | x2  ax  b  0．
若 B  C ，求 a，b 的值；
是否存在实数 a，b，使得 A  C  B ，若存在，求出 a，b 之间的关系，若不存在，说明理由．
【答案】（1） a  
2, b  1
2

（2）存在， a  0 ， b , 9 9, 1 1, 0 时满足题意； a  1 ， b  0 时满足题意； a   1 ， b  8
3
满足题意
【解析】
a
【分析】（1）由 B  C ，且 C 为非空集合可得 x2  ax  b  0 只有一个根为 1 ，列方程组即可求得答案；
（2）由于 A ∩ C  B ，所以 B  A 且 B  C ，分 a  0 和 a  0 两种情况进行讨论即可求得答案.
【小问 1 详解】
因为 B  C ，且 C 为非空集合，所以 a  0 ，
即 B   1  ，则 x2  ax  b  0 只有一个根为 1 ，
a

 
 Δ  a2  4b  0
所以2
，解得 a  
a
2, b  1 ；
 1   a  1  b  02
a
 
a
【小问 2 详解】
由题意得 A  x x2  2x  3  0  1, 3 ，由于 A ∩ C  B ，所以 B  A 且 B  C ，
当 a  0 时， B   ，所以只需要满足集合 C 非空且 A  C   即可，
则满足 a2  4b  0 恒成立即b  0 ，且 A  C   即1 b, 9  b 的值不等于 0，
b , 9 9, 1 1, 0 ；
当 a  0 时， B   1  ，若 1  1 ，则 a  1 ，
a
a
 
 
此时只需要满足集合 C 只有一个根为 1 或一个根为 1，另一个根不为-3，将 x  1 代入 x2  x  b  0 得b  0 ，即C  1, 0 满足题意；
若 1  3 ，则a   1 ，
a3
此时只需要满足集合 C 只有一个根为3 或一个根为3 ，另一个根不为 1，
将 x  3 代入 x2  1 x  b  0 得b  8 ，
3
令 x2  1 x  8  0 ，解得 x  3 或 8 ，
33
即C  3, 8 满足题意；
3

综上： a  0 ， b  0 时满足题意； a  1 ， b  0 时满足题意； a   1 ， b  8 满足题意.
3