湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期10月月考检测 数学试卷

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期10月月考检测 数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 分值：150 分
命题人：陈智审题人：陈朝阳，赵红顺
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
若复数满足 ，则（）
B. C. D.
已知椭圆 的方程为，则椭圆 的离心率为（ ）
B. C. D.
如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若， ，
A
C
，则下列向量中与 相等的向量是（）
B.
D.
已知直线的一个方向向量为，其倾斜角为，则 （）
B. C. D.
已知的方差为 3，则的方差为（）
A. 6B. 7C. 12D. 18
已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直
线方程分别为和，则（）
B. C. D. 6
“ ”是“直线与曲线恰有 1 个公共点”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
已知正方体的棱长为， 空间中的点满足： ， 其中 ，且，则点的轨迹的长度为（）
B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知圆锥的顶点为， 为底面直径， 是面积为 1 的直角三角形，则（）
该圆锥的母线长为B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的侧面积为D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为
下列说法正确的是（）
若直线与直线 平行，则
，都有原点在圆 外
一条光线从点 射出，经 轴反射后，与圆 相切，则反射后光线所在的直线方程为
圆与圆的公切线恰有 2 条
11 已知 ，则（）
A. B. 最大值为 26
C. 的最小值是D. 的最大值是
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知 是相互独立事件，且，则 ．
直线： 与直线： 交于点 Q，m 是实数，O 为坐标原点，则 的最大值是．
已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为 ，过 且垂直于的直线与交于 、 两点，则 的周长为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
求样本成绩的平均数和众数；
用分层抽样的方法在分数落在 内的答卷中随机抽取一个容量为 5 的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取 2 份，求至多有 1 份答卷的分数在 内的概率．
已知， ，分别是 的内角 ， ， 的对边，且.
（1）求 ；
（2）若， 的面积为，求 的周长.
，
，
，
．
在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形 是梯形，平面，且
求证： 平面 ；
求平面 与平面 夹角的余弦值．
已知过定点的直线被圆 截得的弦长为．
求直线的方程．
线段 的端点的坐标是，端点 在圆上运动，是线段 的中点，记点的轨迹为曲线 ．
求曲线 方程；
已知点为直线上一动点，过点作曲线两条切线，切点分别为、 ，判断直线 是否过定点?求出该定点，并说明理由；
已知椭圆的两个焦点为和 ，点 为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形．
求椭圆的标准方程；
已知点为椭圆上一动点，求点到直线 距离的最值；
分别过， 作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于 两点，其中点在 轴上方，求四边形的面积的取值范围．
雅礼中学 2025 年下学期 10 月质量检测试卷高二数学
时量：120 分钟 分值：150 分
命题人：陈智审题人：陈朝阳，赵红顺
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
若复数满足 ，则（）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】，
所以.
故选：D.
已知椭圆 的方程为，则椭圆 的离心率为（ ）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据椭圆的简单几何性质计算可得.
【详解】因为椭圆 的方程为，所以，则
所以 的离心率为．故选：B
如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若， ，
A.
C.
，则下列向量中与 相等的向量是（）
B.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出．
【详解】 ，
故选：B．
已知直线的一个方向向量为，其倾斜角为，则 （）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求得直线的斜率为 ，可得 ，将所求的式子转化为齐次式，弦化切得解.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为 ，即 ，
故选：B．
已知的方差为 3，则的方差为（）
A. 6B. 7C. 12D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】利用方差的性质求解即可.
【详解】因为 的方差为 3，
所以的方差为 .
故选：C.
已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为 和 ，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（）
B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线间距离求值.
【详解】 与 间距离，
与间距离，
又由正方形可知 ，
即
，
解得，
故选：D.
“ ”是“直线 与曲线恰有 1 个公共点”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先分析曲线图形， 再结合直线 与该曲线的位置关系， 再判断
“ ” 与 “直线 与曲线恰有 1 个公共点” 之间的条件关系.
【详解】曲线表示圆心 ，半径为 的圆的上半部分（包括与 轴的交点），直线的斜率为 1，在轴上的截距为 ，
当直线 与曲线恰有 1 个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点，如图所示：
相切时，圆心 到直线距离等于 2，则，
即
或
（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）.由图象可知，有一个交点时， .
或
.
综上可知，当直线 与曲线恰有 1 个公共点时，
于是，当“ ”时，直线“ 与曲线恰有 1 个公共点”，则充分性成立；当直线 与曲线恰有 1 个公共点时，或 ，则必要性不成立.
所以， “ ”是“直线 与曲线恰有 1 个公共点”的充分不必要条件.
故选：A
已知正方体的棱长为， 空间中的点满足： ， 其中 ，且，则点的轨迹的长度为（）
B. C.D.
【分析】易得平面 ，设为 的交点，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理得
平面，进而可得 ，在平面 中建立平面直角坐标系，设，求出点的轨迹方程，即可求解.
【详解】因为 ，所以 平面，如图 1 所示，设为的交点，所以，
又 平面 平面 ，所以 ，
又
，
平面，所以 平面 ，
因为点平面 ，故 平面，所以，则，
，即
，
因为正方体的棱长为，所以
在平面内建立平面直角坐标系，如图 2 所示，
则
，
设
，
则
，
，
所以，
又，故 ，即，
整理得，即，
故点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度为．
故选：C．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知圆锥的顶点为， 为底面直径， 是面积为 1 的直角三角形，则（）
该圆锥的母线长为B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的侧面积为D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆锥轴截面的形状以及面积可得 A 正确，求出母线长以及底面半径可计算出 B 正确，C 错误，由侧面展开图计算即可求出 D 正确.
【详解】设该圆锥的母线长为 ，如下图所示：
因为轴截面 是面积为 1 的直角三角形，即 为直角；所以 ，解得，A 正确；
设该圆锥的底面圆心为 ，在 中， ，所以，
则圆锥的高 ，所以该圆锥的体积 ，侧面积为 ，B 正确、C 错误；
设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则 ，所以，D 正确．
故选：ABD．
下列说法正确的是（）
若直线与直线 平行，则
，都有原点在圆外
一条光线从点 射出，经 轴反射后，与圆 相切，则反射后光线所在的直线方程为
圆与圆的公切线恰有 2 条
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、光线反射问题以及两圆的公切线问题，需要逐一分析每个选项.
由
得
【详解】若两直线 与 平行，需满足 ， ，解得 或 ；
当 时，两直线分别为 和 ，平行；
当 时，两直线分别为 和 ，平行；所以 和 都满足条件，故 A 选项错误；
将原点代入圆的左边得，右边为 ，
比较 与：，即原点到圆心的距离的平方大于半径的平方，所以原点在圆外，故 B 选项正确；
点关于 轴对称点为，反射光线过且与圆相切，
设反射光线方程为，即 ，
由圆心 到直线的距离等于半径 ，得，即，化简得： ，解得或，
反射光线方程为 或 ，故 C 选项错误；
圆化为标准方程：，圆心，半径 ；
圆化为标准方程： ，圆心 ，半径，两圆心距，
因为，两圆相交，公切线有 条，故 D 选项正确.
故选：BD.
已知 ，则（）
B. 的最大值为 26
C. 的最小值是D. 的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】变形为，从而可得表示圆上一点 与定点 所在直线的斜
率加上 ，进而可判断 A； 结合的范围即可判断 B；表示圆上一点 到直线的距离的倍，进而可判断 C；化简 D 选项可知 D 表示圆上一点 到点距离之差的 2 倍，由此求解可判断 D.
【详解】圆的圆心为，半径，
对于 A，，
则表示圆上一点 与定点 所在直线的斜率加上 ，
由图可知，过点 与圆 相切得的线斜率存在，设切线方程为，即 ，
或
，
则，解得
由图可知， ，
所以，故 A 正确；
对于 B，由 ，得 ，
则
，
所以的最大值为 ，故 B 正确；
对于 C，圆上一点 到直线的距离为， ，所以求的最小值，即求 ，
所以 即为到直线的距离减半径， 到直线的距离为， 所以，
所以的最小值为，故 C 错误；对于 D，因为 ，
所以
，
表示圆上一点 到点距离之差的 2 倍，所以，
当 （在 两点中间）三点在一条直线上时取等，
所以的最大值是，故 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知 是相互独立事件，且，则 ．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据独立事件的乘法公式求出 ，再根据求解即可.
【详解】因为 是相互独立事件，
所以，
则
.
故答案为： .
直线： 与直线 ： 交于点 Q，m 是实数，O 为坐标原点，则 的最大值是．
【答案】
【解析】
【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可.
【详解】因为： 与直线 ： 的交点坐标为，所以，
若 最大，则最小，则最小，
而 ，当且仅当 时取等，此时，所以 的最大值是．
故答案为：
已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为 ，过 且垂直于的直线与交于 、 两点，则 的周长为．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可.
【详解】由椭圆，得，则 ，所以，
过且垂直于的直线与椭圆交于 两点，所以 为线段的垂直平分线，
所以，
则 的周长为
.
故答案为：.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
求样本成绩的平均数和众数；
用分层抽样的方法在分数落在 内的答卷中随机抽取一个容量为 5 的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取 2 份，求至多有 1 份答卷的分数在 内的概率．
【答案】（1）；
（2） ；；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由各矩形对应频率之和为 1，可得答案；
由频率分布直方图计算平均数，众数可得答案；
由题可得应从 中抽 2 个，从 中抽 3 个，然后设 中的样本为： ， 中的样本为：，由列举法可得答案.
【小问 1 详解】
由题，，则 ；
【小问 2 详解】
由（1），平均数为： ；
由频率分布直方图 这组频率最高，则中众数为：；
【小问 3 详解】
落在 内的样本容量为： ，
落在 内的样本容量为： .
则应从中抽 2 个，从 中抽 3 个.
设中的样本为： ， 中的样本为：.
则从中任取 2 份的情况有：
， ，共 10 种.
分数在 内有：共 7 种，
则至多有 1 份答卷的分数在 内的概率为：.
已知， ，分别是 的内角 ， ， 的对边，且.
（1）求 ；
（2）若， 的面积为，求 的周长.
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）根据，利用正弦定理得到 ，再利用两角和的正弦公式求解；
（2）由三角形的面积得到 a，b 的关系，再结合（1）的结论，利用余弦定理求解.
【小问 1 详解】
解：在 中，，
由正弦定理得：，则 ，
即，即 ，由正弦定理得 ，即；
【小问 2 详解】
由，得，
则 ，得，
由余弦定理得 ，
即，整理得 ，即 ，解得，
则
，
所以 的周长为 .
，
，
，
．
在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形 是梯形， 平面，且
求证： 平面 ；
求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 中点，连接 ，，可证四边形 为平行四边形，可得 ∥，可证结论；
（2）以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的一个法向量，再根据二面角的余弦公式求解即可.
小问 1 详解】
取 中点，连接 ，，
∵中点， ∴，
，
，点 为
又 ∥ ，∴四边形 为平行四边形，
∴
∥
， ，∵为正方形，
，
，
∴ ∥ ， ，∴ ∥
∥，
∴四边形 为平行四边形，∴
又 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 ．
【小问 2 详解】
以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
，
，
可得
则
，
，
，
设平面 的法向量为，
，令，则，，所以，
设平面 的法向量为 ，
，令，则 ， ，所以 ，
，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为．
已知过定点的直线被圆 截得的弦长为．
求直线的方程．
线段 的端点的坐标是，端点 在圆上运动，是线段 的中点，记点的轨迹为曲线 ．
求曲线 方程；
或
已知点为直线上一动点，过点作曲线 的两条切线，切点分别为、，判断直线 是否过定点?求出该定点，并说明理由；
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）过定点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆弦长公式求出圆心到直线的距离，分直线的斜率是否存在两种情况，再根据点到直线的距离等于半径即可得解；
（2）（i）设 ，由 M 是线段 的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果；
（ii）由题意可得在以 为直径的圆上，求出以 为直径的圆的方程，进而求出公共弦 所在直
线的方程，进而可得出结论.
【小问 1 详解】
圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为 ，
则，所以 ，
，即
，
当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为 ，不符合题意；当直线的斜率存在时，设方程为
或
，
，即
，
则圆心到直线的距离为，解得 时，直线的方程为 ，
时，直线的方程为
或
；
综上所述，直线的方程为
【小问 2 详解】
设点 ，
由点的坐标为 ，且是线段 的中点，
则，可得，即，
因为点 在圆 上运动，所以点 坐标满足圆的方程 ，
即 ，整理得 ，所以点的轨迹方程为 ；
圆的圆心，半径，
因为点为直线上一动点，
则可设 ，
因为 都是圆 的切线，所以 ，
所以也在以 为直径的圆上，
以 为直径的圆的圆心为，
半径为，
所以以 为直径的圆的方程为，
即 ①，
化为 ②，
由①②整理得 ，
所以直线 的方程为 ，
即
，
令，解得，
所以直线 过定点.
已知椭圆的两个焦点为和 ，点 为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形．
求椭圆的标准方程；
已知点为椭圆上一动点，求点到直线 距离的最值；
分别过， 作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于 两点，其中点 在 轴上方，求四边形的面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出 即可得解；
求出与直线 平行且与椭圆相切直线方程，则切线与 的距离即为最值；
设直线 方程为 ，则直线 的方程为 ， ，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，利用两平行直线间的距离公式求出间的距离，
从而可得出四边形的面积的表达式，进而可得出答案.
【小问 1 详解】由题意得 ，
因为点 为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形，所以 ，
所以 ，
所以椭圆的标准方程为；
【小问 2 详解】
设与直线 平行且与椭圆相切直线方程为 ，
联立，消得 ，
则 ，解得，
平行直线 与的距离，
所以 ，
所以点到直线 距离的最大值为，最小值为；
【小问 3 详解】
由题意可得直线 的斜率不为零，
设直线的方程为 ，则直线 的方程为 ，
联立，消 得 ，设，
则
，
则
，
直线之间的距离，
则四边形的面积，
令
，则
，
故
，
当且仅当，即 时取等号，
又 ，所以，所以 ，
由椭圆的对称性可得四边形的面积，所以四边形的面积的取值范围为.