2026长沙雅礼中学高二上学期10月质量检测试题数学含解析

雅礼中学 2025 年下学期 10 月质量检测试卷 高二数学 时量：120 分钟 分值：150 分 命题人：陈智 审题人：陈朝阳，赵红顺 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 若复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆 的方程为 ，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ） A B. C D. 4. 已知直线的一个方向向量为 ，其倾斜角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知 的方差为 3，则 的方差为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 18 6. 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为 和 ，另一组对边所在的直 第 1页/共 4页   线方程分别为 和 ，则 （ ） A. B. C. D. 6 7. “ ”是“直线 与曲线 恰有 1 个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知正方体 的棱长为 ，空间中的点 满足： ，其中 ，且 ，则点 的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知圆锥的顶点为 ， 为底面直径， 是面积为 1 的直角三角形，则（ ） A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线 与直线 平行，则 B. ，都有原点 在圆 外 C. 一条光线从点 射出，经 轴反射后，与圆 相切，则反射后光线 所在的直线方程为 D. 圆 与圆 的公切线恰有 2 条 11 已知 ，则（ ） A. B. 最大值为 26 C. 的最小值是 D. 的最大值是 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 第 2页/共 4页   12. 已知 是相互独立事件，且 ，则 _____． 13. 直线 ： 与直线 ： 交于点 Q，m 是实数，O 为坐标原点，则 的最 大值是______． 14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，上顶点为 ，过 且垂直于 的直线与 交于 、 两点，则 的周长为_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更 是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从 所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六 段： 得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中 的值； （2）求样本成绩的平均数和众数； （3）用分层抽样的方法在分数落在 内的答卷中随机抽取一个容量为 5 的样本，现将该样本看成一 个总体，再从中任取 2 份，求至多有 1 份答卷的分数在 内的概率． 16. 已知 ， ， 分别是 的内角 ， ， 的对边，且 . （1）求 ； （2）若 ， 的面积为 ，求 的周长. 17. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ， ， 平面 ，且 ， ． 第 3页/共 4页   （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值． 18. 已知过定点 的直线 被圆 截得的弦长为 ． （1）求直线 的方程． （2）线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动， 是线段 的中点，记点 的轨迹为 曲线 ． （i）求曲线 方程； （ii）已知点 为直线 上一动点，过点 作曲线 两条切线，切点分别为 、 ，判断直线 是否过定点?求出该定点，并说明理由； 19. 已知椭圆 的两个焦点为 和 ，点 为椭圆 的上顶点， 为等腰直角三角形． （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知点 为椭圆 上一动点，求点 到直线 距离的最值； （3）分别过 ， 作平行直线 ，若直线 与曲线 交于 两点，直线 与曲线 交于 两点， 其中点 在 轴上方，求四边形 的面积的取值范围．