2026衡阳八中高三上学期第二次月考数学试题含解析

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时量：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则复平面内表示的点在（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知是等差数列的前n项和，，则（ ）
A. 22B. 33C. 40D. 44
4. 已知向量，，且，则实数（ ）
A. 1或4B. 1或
C. 或1D. 或1
5. 已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知为第一象限角，且，则（ ）
A. 9B. 3C. D.
7. 在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（ ）
A 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
8. 已知，若，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个变量线性相关性越强，则相关系数越接近于1
B. 若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好
C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加6个单位
D. 依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联
10. 设，是双曲线（，）的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的实轴长为2B. 双曲线的离心率为
C. 点到轴的距离为D. 四边形的面积为15
11. 记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 角的最大值为
C. D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______．
13. 设函数有两个极值点，则实数的取值范围是___________．
14. 如图所示，四边形内接于圆，则四边形的面积为_____.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角、、的对边分别为，，，已知，，是边上的点，
（1）若且，求的长；
（2）若，，求的值.
16. 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．
17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为．
（1）若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面平面SCD．
（2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
18. 数列的前n项和为，数列满足（），且数列的前n项和为.
（1）求，，并求数列的通项公式；
（2）抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求.
（3）求证：.
19 已知双曲正弦函数，双曲余弦函数．
（1）求双曲正弦函数在处的切线方程；
（2）证明：当时，；
（3）证明：．