2025-2026学年山东省济南市市中区实验中学九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年山东省济南市市中区实验中学九年级上学期10月月考数学试题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若和成反比例关系，当的值分别为，时，的值如下表所示，则表中的值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
5．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒B．4秒C．或秒D．2或4秒
9．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，过点M作轴交图象于点P，Q，连接，．则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤可以等于．其中正确结论是（ ）
A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤
二、填空题
11．如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 ．

12．光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示：
若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为 亿米/秒．
13．在平面直角坐标系中，与位似比为，位似中心为原点，若点的坐标为，则其对应点的坐标是 ．
14．如图，在长方形中，内接三个大小相同的正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上，若，，则每个小正方形的边长为 ．
15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=cm，，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为 cm．
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的．
(2)以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出．
(3)①点的坐标为 ．②求的面积．
17．如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
18．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
(1)表格中的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
19．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点．
(1)当点P恰好为中点时， mm．
(2)若矩形的周长为220mm，求出的长度．
20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
21．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由．
(2)求纪念碑的高度．
(3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
22．在函数的学习中，我们经历了从“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质．
(1)根据题意，列表如下：
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
(2)观察图象，发现：①当_____时，随的增大而_____（填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为_____；
(3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是_____．
23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标及的面积；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
24．综合与实践
综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究．
(1)操作判断
①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______．
②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______．
(2)迁移探究
如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：．
(3)拓展应用
如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长．
2
3
4
n
1
2
…
v/（亿米/秒）
3
2
…
点与点的距离
1
2
3
拉力的大小
300
200
150
120
活动主题
测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明
如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上．
测量数据
备注
点在同一水平线上．
…
0
…
2
3
5
…
…
1
2
4
…
…
《 山东省济南市市中区实验中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 》参考答案
1．C
【分析】本题考查比例线段．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【详解】解：A、，四条线段不成比例，不符合题意；
B、，四条线段不成比例，不符合题意；
C、，四条线段成比例，符合题意；
D、，四条线段不成比例，不符合题意；
故选：C
2．C
【分析】本题考查了反比例的定义，解题的关键是掌握反比例的定义．根据乘积为的两个数成反比例关系，即可求解．
【详解】解：和成反比例关系，且时，，
，
时，，
，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式；
根据，列出，求出的长即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据题意可先证明，再根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
添加条件，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意；
添加条件，结合条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故B不符合题意；
添加条件，结合条件，不可以证明，故C符合题意；
添加条件，结合条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意；
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了反比例函数的应用，设反比例函数解析式为，将代入，求得，当时，，结合函数图象，即可求解．
【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入
得，，
解得，，
∴，
当时，，
∴根据函数图象可得：当时，，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故选：A．
8．C
【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过秒时, 与相似,
则
,
当 时, ,
即
解得：
当 时, ,
即
解得：
综上所述：经过或秒时,与相似
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
9．D
【分析】根据得到，得到；根据得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断；根据，可以判断；根据题意，得可以判断；根据，得，进而得，从而得，可判断．本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质计算选择即可．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故正确；
∵
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴正确；
∵
∴，
∴正确；
∵
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
故错误．
故选：．
10．B
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、勾股定理、坐标与图形，熟知反比例函数图象上的点的坐标特征是解答的关键．
根据流程图可判断①；设，，根据流程图可得，，利用三角形面积公式可判断②；根据反比例函数的性质可判断③；根据坐标与图形性质和反比例函数的性质可判断④；利用勾股定理可判断⑤，进而可得答案．
【详解】解：①当时，，故①错误；
②、当时，，当时，，
设，，
则，，
∴的面积是，故②正确；
③、时，，y随x的增大而减小，故③错误；
④、设，，
∵，
∴，，，
∵，，，
∴，故④正确；
⑤设，则，，
则，
，
当，时，有：，
∴，
∵a有解，
∴可能存在，故⑤正确；
综上，正确的有②④⑤，
故选：B．
11．/
【分析】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．由黄金比值列式求出，再根据计算即可．
【详解】解：∵点C是弦靠近点B的黄金分割点，，
∴，
∴，
故答案为：
12．
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据题意确定光的传播速度与介质折射率的反比例函数关系．
先根据表格数据判断光的传播速度与介质折射率成反比例关系，设出反比例函数解析式，代入已知数据求出，得到函数解析式，再将普通玻璃的折射率代入解析式，求出光在其中的传播速度．
【详解】解：由表格可知，
∴在不同介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质折射率n之间存在反比例函数关系．
∴光的传播速度（亿米/秒）与介质折射率之间的函数解析式为．
将代入，
得（亿米/秒）．
答：光在普通玻璃中的传播速度是亿米/秒．
故答案为：．
13．或
【分析】本题考查了位似变换，直接利用与位似比为，结合位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，进而得出答案．
【详解】解：∵与位似比为，且点的坐标为，
∴它的对应点的坐标是：或．
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键．
由矩形的性质得，而，所以，，可证明，，则，，所以，由，求得，则，，根据勾股定理得出的值，从而得出的值，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴在和中，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，，
，
，
∴每个小正方形的边长为，
故答案为：．
15．/
【分析】先证△ABP≌△ACQ，易得∠DCQ恒为60°，根据点到直线的所有连线中，垂线段最短，可知DQ的最小值即为DH，进行求解即可．
【详解】解：连接CQ，过点D作DH⊥CQ，垂足为H，如图所示：
∵△APQ∽△ABC，
∴∠PAQ＝∠BAC，AP：AB＝AQ：AC，
∴，
即∠BAP＝∠CAQ，
∵AB＝AC，
∴AP＝AQ，
∵在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ＝∠ABC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠ACQ＝30°，
∴∠DCQ＝60°，
∴∠CDH＝30°，
∵AB＝AC＝cm，∠BAC＝120°，
，
∴，，
cm，（cm），
∴CH＝cm，DH（cm），
∴DQ的最小值即为cm．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最小值问题，在运动过程中找出Q的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)①；②
【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质，轴对称的性质是解题的关键．
（1）在坐标系中分别画出点关于轴对称的点，再顺次连接三点就可得所求三角形；
（2）将，坐标乘以得到，再顺次连接三点就可得所求三角形；
（3）根据坐标系写出点的坐标，根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积．
【详解】（1）解：如图所示，即为所作图形．
（2）解：如图所示，即为所作图形．
（3）解：①点的坐标为．
的面积为．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法；
（1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似；
（2）根据四边形的对边相等可得，求出的长，再根据相似三角形的性质对应边成比例，即可求解．
【详解】（1）证明：由为平行四边形可知，，
，
，
又，
．
（2）解：平行四边形中，，
，，
，
，
由（1）得，
，
．
18．(1)100
(2)见解析
(3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数．
（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可；
（2）先描点，然后连线，画出函数图象即可；
（3）根据反比例函数的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，
∴；
（2）解：与之间的函数图象，如图所示：
（3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
19．(1)60
(2)20
【分析】对于（1），根据相似三角形的性质，可得到；
对于（2），根据可得，进而得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长．
【详解】（1）解：∵P为中点，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：60；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴.
∵，
∴，
∴
∴．
∴四边形为矩形，
∴.
∵矩形的周长为，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
20．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键．
（1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围；
（3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点
∴，
故反比例函数的表达式为
把点代入反比例函数得，，解得
∴点的坐标为
∵一次函数的图象经过、两点
∴，解得
故一次函数的表达式为；
（2）∵
∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方
∴；
（3）∵点横坐标为，代入
解得：
∴
当时，代入，得
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．(1)见解析；
(2)纪念碑的高度为．
(3)小红的结果误差较大，理由见解析
【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论；
（2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可；
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．
【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，
，
标杆的影子的长和标杆的长相等，即，
；
（2）解：如图，令与的交点为，
则四边形和是矩形，
，，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
解得：，
答：纪念碑的高度为．
（3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果．
22．(1)见解析
(2)①或，增大；②
(3)或
【分析】本题考查了描点法画函数图象、中心对称图形、图象法解不等式，正确画出函数图象是解题的关键．
（1）利用描点法画出函数图象即可；
（2）观察图象即可解答；
（3）当时，即，整理得到，再结合（1）中的图象即可解答．
【详解】（1）解：函数图象如图：
（2）解：①当或时，随的增大而增大；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为；
故答案为：①或，增大；②；
（3）解：当时，即，
整理得：，
由（1）中图象得，当或时，有，
当时，的取值范围是：或．
故答案为：或．
23．(1)
(2)点D的坐标为，
(3)点Q的坐标为或
【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可．
【详解】（1）解：作轴于点，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C，
∴点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为，
∵，
∴点A的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），经检验，是原方程的解，
∴点D的坐标为，
∴；
（3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称，
∴，，
∴，
∴，
当轴时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，
∴点Q的坐标为；
当时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键．
24．(1)①5；②4
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答；
②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答；
（2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证；
（3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答．
【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则，
四边形是矩形，
，
设交于点O，则，
，
又，
，
；
故答案为：5；
②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则，
四边形是矩形，
，
设交于点O，则，
，
又，
，
，
；
故答案为：4；
（2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F，
，
．
又，
，
，
，
，
，
又，
，
（3）解：或3．
在矩形中，平分，，
，
，
当时，如图，点G在上，
，
，
，
，
；
当时，如图，点G在上，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
C
D
B
A
C
D
B