2025-2026学年北京市海淀区师达中学八年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年北京市海淀区师达中学八年级上学期10月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知点 P（-2,3）与点 Q 关于 x 轴对称，则点 Q 的坐标为（ ）
A．（-2,3）B．（-2,-3）C．（2,3）D．（2,-3）
4．下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是（ ）
A．2B．C．0D．
6．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．或B．或C．D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．两个内角是的三角形为等边三角形
B．等腰三角形的两个底角一定都是锐角
C．三角形三条角平分线的交点与这个三角形三个顶点的距离相等
D．三角形三条边的垂直平分线的交点与这个三角形三个顶点的距离相等
8．已知，用含x的式子表示y是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题
11．若有意义，则取值范围是 ．
12．已知，，则的值为 ．
13．如图，将一副三角板按图中的方式叠放，则等于 ．
14．如图，在中，平分若则 ．
15．若，则的值为 ．
16．聪明的小斐同学这样检查他的课桌桌面是否水平：如图，在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条绳，绳的另一端挂一个重物，把这块三角尺的斜边贴在桌面底部，结果绳子经过三角尺的直角顶点，由此得出桌面是水平的（即挂重物的绳与桌面垂直），小斐用到的数学原理是 ．
17．如图，在中，，，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接，作，交于点E，当为等腰三角形时，的度数为 ．
18．如图，中，，CD平分，于点E，于点D，且与BE交于点H，于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
19．计算：
(1)．
(2)．
20．分解因式：
(1)．
(2)．
21．中，，是中点，于点，于，求证：．
22．已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．
23．小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．
求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到 ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到 ．
若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
24．已知一个三角形的三边长分别为，，，且，试判断三角形的类型，并说明理由．
25．在学习整式乘法和因式分解时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式．
(1)如图，在边长为个单位长度的大正方形中，剪去一个边长为个单位长度的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为___________；
(2)小明用四个如图3所示的小长方形，拼成如图4所示的大正方形．根据图的图形面积，可以得到的一个等式是___________；
(3)若将图中长方形的长减少个单位长度，宽增加个单位长度，请比较新长方形的面积与原长方形面积的大小．
26．已知：点为直线上一定点，点为直线外一定点，，将点关于直线对称，得到点，连接交直线于点．点为直线上一动点（不与点重合），以为边，作等边（，，三点按顺时针方向排列），直线交直线于点．
(1)如图1，
①求证：；
②用等式表示，和的数量关系，并证明；
(2)若线段长的最小值为2，则线段的长为___________．
27．在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点P为M，N的点．
(1)如图1，若点，点P为M，N的点，连接．
① °；
②求点P的纵坐标；
(2)已知点．
①当时，点P为M，N的点，且点P的横坐标为，则 ；
②当时，点P为M，N的点，且点P的横坐标为2，则 ．
《北京市师达中学2025~2026学年上学期10月月考八年级数学试题》参考答案
1．B
【分析】本题主要查了轴对称图形．
根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解．
【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】根据同底数幂乘法，积的乘方，单项式的乘除法依次计算，即可求解，
本题考查了同底数幂乘法，积的乘方，单项式与单项式的乘除，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意，
B、，该选项错误，不符合题意，
C、，该选项正确，符合题意，
D、，该选项错误，不符合题意，
故选：C．
3．B
【分析】点P（m，n）关于x轴对称点的坐标Q（m，−n），然后将题目已经点的坐标代入即可求得解．
【详解】根据轴对称的性质，得点P（−2，3）关于x轴对称的点Q的坐标为（−2，−3）．
故选B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系点的对称性质，解题的关键是熟知直角坐标系的坐标特点.
4．D
【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐个判断即可．
【详解】解：A、，原写法错误，故不符合题意；
B、，原写法错误，故不符合题意；
C、，原写法错误，故不符合题意；
D、，写法正确，符合题意，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了多项式的乘法问题．
先计算，再根据展开合并后不含项作答即可．
【详解】，
∵关于的多项式展开合并后不含项，
∴，
即，
故选：A．
6．B
【分析】根据平方和二次根式的非负性得或，分情况讨论：①当腰为3时，底边为4时，，即可得能围成三角形，三角形的周长为：，②当腰为4时，底边为3时，，能围成三角形，三角形的周长为：，即可得．
【详解】解：
或
或，
∵以x，y的值为两边长的等腰三角形
∴①当腰为3时，底边为4时，
，
∴能围成三角形，三角形的周长为：，
②当腰为4时，底边为3时，
∴能围成三角形，三角形的周长为：，
即以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是或，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方和二次根式的非负性，三角形三边的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平方和二次根式的非负性，三角形三边的关系．
7．C
【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，角平分线与垂直平分线的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键，根据以上性质逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、若两个内角是，则第三个角为：，三个角均为，故为等边三角形，此项正确，不符合题意；
B、等腰三角形底角相等，若底角为直角或钝角，则三角形内角和超过，与三角形内角和定理矛盾，此项正确，不符合题意；
C、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，此项错误，符合题意；
D、三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，此项正确，不符合题意，
故选：C．
8．C
【分析】根据，得出，再结合则即可作答．
本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴则，
∴．
故选：C．
9．D
【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．
【详解】解：等边中，点，分别是、的中点，如图，连接，与交于点，
，，，
，
，
即长就是的最小值，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
10．A
【分析】设，，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，根据完全平方公式得出 ，求解即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．
【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为26可得，
，，
即，，
由①得，，
③-②得 ，
所以，
即长方形的面积为6，
故选：A．
11．
【分析】根据零指数幂的底数不等于零，即可求解．
【详解】∵有意义，
∴3m-2≠0，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查零指数幂的意义，掌握零指数幂的底数不等于零，是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了逆用同底数幂的乘法，逆用同底数幂的乘法，可得：，再把，代入计算求值即可．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
13．/75度
【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算、三角形外角的性质．根据题意可得，再由三角形外角的性质，即可求解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，
根据题意得：∴，
∴，
∴．
故答案为：
14．1
【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．
15．7或
【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值．熟练掌握平方差公式，开平方，是解题的关键．
运用平方差公式展开，移项合并同类项，开平方，即得．
【详解】解：∵，
用平方差公式展开，得．
移项合并同类项，得．
开平方，得．
∴，或．
故答案为：7或．
16．等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合
【分析】根据等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合，即可．
【详解】解：∵是等腰三角形，
∴，
∵点O为的中点，
∴，即挂重物的绳与桌面垂直，（等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合）
故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合．
【点睛】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．
17．或
【分析】先根据等边对等角求出，再分，，三种情况，计算出的度数，则．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴．
分三种情况：
当时，
，
∴；
当时，
，
∴；
当时，
，
此时，点E与B重合，点D与C重合，不合题意；
综上可知，的度数为或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，难度不大，熟练运用分类讨论思想是解题的关键．
18．①③④．
【分析】根据∠ACB＝45°，BE⊥AC可得出BE＝CE，利用AAS判定Rt△ABE≌Rt△HCE，从而得出EH＝AE，AB＝CH．则CE＝AE+BH；再利用AAS判定Rt△BCD≌Rt△ACD，得出AD＝DB＝AB．
【详解】解：∵BE⊥AC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠EBC＝45°，
∴BE＝CE．故①正确；
在Rt△ABE和Rt△HCE中，
∵∠ABE＝90°﹣∠DHB，∠DCA＝90°﹣∠EHC，且∠BHD＝∠EHC，
∴∠ABE＝∠DCA．
又∵∠AEB＝∠CEH＝90°，BE＝CE，
∴△ABE≌△CHE．
∴CH＝AB；EH＝AE．
∵BE＝EH+BH，
∴；故④正确；
在Rt△ACD和Rt△BCD中
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB．
又∵CD＝CD，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD（ASA）．
∴BD＝AD＝AB．
∵CH＝AB，
∴；故③正确；
∵CG≠CH
故②错误，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，解题关键是准确把握已知条件，证明三角形全等．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了积的乘方，整式的混合运算．
（1）根据积的乘方运算法则计算即可；
（2）先根据多项式与多项式的乘法法则计算，再计算加减，最后计算除法即可．
【详解】（1）解：
（2）
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，是中点，
∴，．
∵于，于，
∴
在和中，
，
∴，
∴．
22．7
【分析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．
【详解】解：
=
=
∵
∴
∴原式=7．
【点睛】本题考查整式的化简求值．
23．图见解析，BC，DC，线段的垂直平分线的判定
【分析】在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．
【详解】解：如图，△AOC即为所求．
如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到BC．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到DC．
若连接AD，由线段的垂直平分线的判定．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．这个三角形是等腰三角形．
【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握分组分解法进行因式分解．
将，进行因式分解，再根据等腰三角形的定义进行证明即可．
【详解】解：这个三角形是等腰三角形，理由如下：
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
∴这个三角形是等腰三角形．
25．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查整式的乘法在几何图形中的应用，解决本题的关键是利用图形的面积之间的关系找整式之间的关系．
根据阴影部分的面积是大正方形的面积减去小正方形的面积，阴影部分的面积等于长为，宽为的长方形的面积，可得等式：；
根据大正方形的面积等于个矩形的面积加小正方形的面积，可得等式；
由长方形的长与宽的变化方式，可知：新长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式可得：，由可知，根据可知．
【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积是大正方形的面积减去小正方形的面积，
阴影部分的面积为，
图中长方形的长为，宽为，
图的面积为，
可验证等式为，
故答案为：；
（2）解：由图可知，一个小矩形的面积是，
个小矩形的面积是，
由图可知，大正方形的边长是，小正方形的边长是，
大正方形的面积等于个矩形的面积加小正方形的面积，
，
故答案为：；
（3）解：图中长方形的长为，宽为，
将图中长方形的长减少个单位长度，宽增加个单位长度，
则新长方形的长为，宽为，
，
由可知，
，
，
．
26．(1)①见解析②或或，证明见解析
(2)8
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，轴对称的性质，含角的直角三角形，垂线段最短等知识，掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）①连接，根据等边三角形的判定和性质证明，即可得出结论；
②利用①中的结论，分三种情况进行讨论，根据含角的直角三角形的性质及线段的和差，即可求解；
（2）当取最小值时，,然后根据含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：①如图，连接，
由轴对称的性质可得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
②或或，证明如下：
如图所示，截取，
由①得，，为等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点在上方，点下方时，
同上可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点在点上方时，
同上可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，或或；
（2）解：如图所示，由①知，，当取最小值时，,
∴,
由①得为等边三角形，
∴,
故答案为：8．
27．(1)①30；②3；
(2)①6；②3或
【分析】（1）①如图1，过点Q作轴于E，过点P作轴于F，根据定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点P为M，N的点．可知为等边三角形，l与x轴所夹锐角为，则，，即可求得答案；
②先证明，根据全等三角形的性质即可求得答案；
（2）①过点Q作轴于E，过点P作轴于F，作轴交直线l于K，交x轴于T，连接交x轴于W，连接交直线l于L，根据定义可得，P、Q关于直线l对称，再由勾股定理即可求得答案；
②分两种情况：或，分别画出图象，结合定义即可求得答案．
【详解】（1）解：①如图1，过点Q作轴于E，过点P作轴于F，
∵，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点P为M，N的点，
∴l与x轴所夹锐角为，
∵点P关于直线l的对称点为Q，
∴，
故答案为：30．
②在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）
①∵，
∴，
∴当时，，
如图2，过点Q作轴于E，过点P作轴于F，作轴交直线l于K，交x轴于T，连接交x轴于W，连接交直线l于L，
∵点P为M，N的点，
∴，
∴，
∵P、Q关于直线l对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
②∵，
∴，
如图，分两种情况：当时，点在点M的右侧，
∵与l的夹角为，
∴关于l的对称线和l的夹角也为，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
当时，点在点M的左侧，
同理可得：，即，
∴；
综上所述，或，
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质等，理解并运用新定义是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
A
B
C
C
D
A