2025-2026学年上海市闵行区民办文绮中学九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年上海市闵行区民办文绮中学九年级上学期10月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是（ ）
A．B．C．D．
2．如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
3．如果向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，那么的值是（ ）
A．B．C．D．2
5．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（ ）
A．且 B．∠A＝∠B且；
C．且D．且
6．已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．当时，
C．D．
二、填空题
7．如果，那么 ．
8．计算： ．
9．已知线段AB＝8cm，点C是AB的黄金分割点，且，那么线段AC的长为 cm．
10．如果抛物线的开口向上，那么k的取值范围是 ．
11．如果抛物线经过原点，那么 .
12．已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示：
那么上表中m的值为 ．
13．某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为 米．
14．如图，直线，如果，，那么线段的长是 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC的中点，设，，那么可用，表示为 ．
16．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ．
17．定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点P在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ．
18．如图所示，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，如果将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点D处，折痕为CM，那么 ．
三、解答题
19．计算：
20．如图，在中，点F为的重心，联结AF并延长交BC于点D，联结BF并延长交AC于点E．
(1)求的值；
(2)如果，，用，表示和．
21．如图，在中，，．
(1)求边BC的长度；
(2)求的值．
22．如图，A城气象台测得台风中心在城正西的B处，并以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围是受台风影响的区域．
(1)A城是否会受到这次台风影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？
23．已知：如图，点D是边上的一点，．点E在延长线上，点F是的延长线与边的交点，且．
求证：
(1)；
(2)．
24．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点、，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，连接CD．
①如果点D的横坐标为2．求ct∠DCB的值；
②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．
25．如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持．
(1)求证：；
(2)设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
(3)连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长．
x
…
1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
m
…
《上海市民办文绮中学2025--2026学年九年级数学上学期10月月考数学试卷》参考答案
1．D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是．
故选：D．
2．B
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，可得两个相似三角形的相似比为1：4，再由相似三角形的对应边的中线比等于相似比，即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴这两个三角形的对应中线的比为1：4．
故选：B
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的对应边的中线比等于相似比是解题的关键．
3．D
【分析】根据向量的表示方法直接解答即可
【详解】解：向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为
故选D
【点睛】本题考查了向量的表示方法，理解是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查了勾股定理，求余弦值．
根据勾股定理求出，进而可求出的值．
【详解】∵在中，，
∴，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．
【详解】解：如图，
A、和是同一个三角形的内角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
B、不是两个三角形对应相等的角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可以判断出与相似，故此选项正确；
D、且，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
故选：C．
6．D
【分析】根据二次函数的图像与性质逐一进行判断即可求解．
【详解】解：A、由图像可知：，，
∴，选项错误；
B、由对称轴可知：，
∴另一个交点为：，
从图像可得：时，，选项错误；
C、由对称轴可知：，
∴，选项错误；
D、由B选项证明可得：
当时，
，即，选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质．
7．/
【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，先将变形成，然后求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
8．/
【分析】本题考查了向量加减混合运算，解题关键是先去括号，再根据向量加减法进行计算即可．
【详解】解:
，
故答案为：．
9．
【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可．
【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，解题的关键是掌握如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．
10．
【分析】由题意根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数进而可得答案．
【详解】解：因为抛物线的开口向上，
所以，即，
故k的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答此题要掌握二次函数图象的特点．
11．1
【分析】把原点坐标代入中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】∵抛物线经过点（0，0），
∴−1＋m＝0，
∴m＝1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12．0
【分析】由表中数据可得抛物线的对称轴为：，根据抛物线对称轴的性质可得与的函数值相同，即可得出结果．
【详解】解：由表中数据可得：与的函数值均为，
∴抛物线的对称轴为：，
∴与的函数值相同，均为，
∴，
故答案为：0．
【点睛】题目主要考查抛物线的对称性质，理解题意，从表中得出对称轴是解题关键．
13．50
【详解】解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2+（x）2=1002．
解得：x=50，即它距离地面的垂直高度下降了50米．
故答案为50．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，此题的关键是用同一未知数表示出下降高度和水平前进距离．
14．3
【分析】连接交于点G，证明，解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定是解题的关键．
【详解】解：连接交于点G，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴即，
∵，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：3．
15．
【分析】根据平行四边形的性质和线段的中点，可用表示出，用表示出，再根据，即可用和表示出．
【详解】∵，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵点M是边CD中点，点N是边BC的中点，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段的中点和向量的线性运算．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
16．
【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，然后解关于x的方程即可．
【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC•AH=6，
∴AH==3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，即，解得x=，
即正方形DEFG的边长为，
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键.
17．/
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：当线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上时，设正方形的边长为x，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】由折叠及相似三角形的判定和性质可得，将已知线段代入可得，，继续代入确定，过点D作，交AB于点E，设，则，在与中，分别利用勾股定理解方程可得，由余弦函数的性质求解即可得．
【详解】解：由折叠可得：，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
∴，
∴，
∴，
过点D作，交AB于点E，
设，则，
在中，
，
在中，
，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，余弦函数等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
19．
【分析】先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：
=
=
=
【点睛】此题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角三角函数值以及运算法则是解答本题的关键．
20．(1)
(2)，
【分析】（1）根据重心是三角形三边中线的交点即可得到DE是△ABC的中位线，则，DE∥AB，即可证明△ABF∽△DEF，得到；
（2）先求出，再由，即可求出；由△ABF∽△DEF，得到，可以推出，则．
【详解】（1）解：∵F是三角形ABC的重心，
∴D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴△ABF∽△DEF，
∴；
（2）解：∵F是△ABC的重心，
∴D、E分别是BC、AC的中点，
∵，，
∴，
∴，
∵△ABF∽△DEF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，向量的线性运算等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
21．(1)2；
(2)．
【分析】（1）作的高AD，由等腰三角形的性质“三线合一”，可知．在中，由，即可求出AD的长，再根据勾股定理即可求出BD的长，从而即可求出BC的长；
（2）再作的高BE，由面积法即可求出BE的长，再在中，由勾股定理即可求出AE的长，最后根据求值即可．
【详解】（1）解：如图，作的高AD，
∵，
∴点D为BC中点，即．
∵在中，，即，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，再作的高BE，
∵，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
22．(1)会受到这次台风影响，见解析
(2)30小时
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点到直线的距离.
（1）过A点向作垂线，垂足为C，根据直角三角形的性质可得的长，即可求解；
（2）取上点D，G，使，根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：过A点向作垂线，垂足为C，
在中，，
∴，
因为，
所以A城会受到这次台风影响；
（2）解：取上点D，G，使千米，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
在中，千米，千米，
由勾股定理得， 千米，
∴千米，
∴遭受台风影响的时间是：小时．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合已知可证明，，再利用三角形外角性质，对顶角性质，证明即可得解；
（2）先证明，，利用比例的性质代换证明即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，对顶角相等，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（1）；（2）①；②
【分析】（1）根据点，的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）①根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点、、的坐标，根据坐标系中两点间距离公式求出、、的值，证明三角形为直角三角形，进而求出ct∠DCB的值；
②过作轴的平行线，过作轴平行线交于，根据平行线的性质推导出，从而得出三角形相似，利用相似比求出点D的坐标．
【详解】（1）将、代入y＝ax2+bx+2，
得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）①当时，，
当时，，
∴，，，
∴，
,
,
，
为直角三角形，其中，
∴;
②过作轴的平行线，
过作轴平行线交于，
设点D坐标为,则，
，
∵，
∴，
,
,
，，
,
∴，
解得：，（舍），
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答本题的关键是熟练运用这些知识点并根据已知条件做好辅助线．
25．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，，即可得出结论；
（2）先证明，求出，根据，得到，求出的长，进而求出的长，即可得出解析式，根据，，求出定义域即可；
（3）先证明，得到也为等腰三角形，分三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵点D为斜边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
由（1）得：，
∴，
即，
解得：，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形时，也为等腰三角形，
①若，过Q作于G，如图所示：
则，
∵，
∴，
解得：，
即；
②若，则，
解得：，
即；
③若，则，
∵，此种情况舍去；
综上：线段AP的长为或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求函数解析式，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想进行求解．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
D
B
D
B
C
D