2025-2026学年北京市西城区北京师范大学附属中学九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年北京市西城区北京师范大学附属中学九年级上学期10月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．二次函数的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．2
2．抛物线，当，时，它的图象经过直角坐标系中的第（ ）
A．一、二、三象限B．一、二、四象限
C．二、三、四象限D．一、三、四象限
3．电影《哪吒2》于2025年1月29日上映，第一天票房约5亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
4．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ）
A．0B．2C．D．2或
5．若、、，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与轴无交点
C．这个函数的最小值小于D．当时，的值随值的增大而增大
8．二次函数的对称轴是直线，该抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：
①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于的不等式的解集是，其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
二、填空题
9．抛物线的顶点坐标是 ．
10．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为
11．若是方程的一个根，则代数式的值为 ．
12．若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是 ．
13．二次函数的部分图象如图，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的另一交点为 ；方程的根为 ．
14．点、在二次函数的图象上，若当，时，则与的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
15．某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示：
其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满．
（1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为 元；
（2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是 （写出一组即可）
16．已知抛物线，且当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则c的取值范围是 .
三、解答题
17．解方程
(1)
(2)
(3)
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个负数根，求的取值范围．
19．已知二次函数．
(1)解析式化顶点式为________；
(2)图象与轴交点的坐标________，轴交点的坐标________．
(3)在平面直角坐标系中画出这个二次函数图象（不用列表）；
(4)当时，的取值范围是________．
20．已知二次函数与一次函数交于和两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，函数值的取值范围是_____；
(3)关于的不等式的解集为_____．
21．如图，矩形草地中，，，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路，使剩余草地总面积（两部分阴影之和）为．其中点为边中点，（，），现有一辆宽度为的新能源垃圾清扫车，是否能够顺利行驶进入甬路？
22．在平面直角坐标系中，点是抛物线上不重合的两点．
(1)抛物线的对称轴为直线_____
(2)当时，求的值；
(3)若对于，都有，求的取值范围．
23．如图，中，，，点在上（不与，重合），取的中点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
(1)依题意，请补全图形；
(2)判断与的数量关系，并证明；
(3)当，时，设与相交于点，则点在上运动的过程中，线段的最小值为________．
24．在平面直角坐标系中，对于线段，点和图形进行以下定义：若线段绕点旋转180度后，新线段（对应，对应）在图形里（包括图形边界），我们就称点是图形和线段的凸显点，若点在图形里（包括边界），且满足凸显点定义，则称点是图形和线段的凸显差距点．
(1)已知，是线段的两个端点，，，，，我们将四边形称为图形．
则下列点是图形和线段的凸显点的是________（填写序号）
①；②；③；④
(2)若，，图形以点为中心作边长为6的正方形，且各边均与坐标轴平行，
①若，当时，存在点使得为图形和线段的凸显差距点，直接写出此时点横坐标的取值范围________．
②以点为中心作边长为3的正方形，且各边均与坐标轴平行，我们将其与图形的非重叠部分记为图形．直线过点，线段关于直线对称后的线段记作线段，无论直线如何旋转，总会有点是图形和线段的凸显差距点，直接写出的取值范围________．
…
…
…
…
客车型号
甲
乙
丙
每辆客车载客量/人
20
30
40
每辆客车的租金/元
500
600
900
《北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期月考试题（10月）》参考答案
1．A
【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线，最值为．
根据二次函数的最值为作答即可．
【详解】解：二次函数的最小值是，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了二次函数的性质．
根据，可知抛物线必过一、二象限，判断出顶点坐标所在象限，即可作答．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，
∵，，
∴，即抛物线对称轴在轴的右侧，
，
即顶点坐标在第四象限，图象经过第一、四象限；
当时，，图象经过第二象限；
当时，，
解得,,
∴抛物线不与x轴的负半轴相交，
∴抛物线的图象经过直角坐标系中的第一、二、四象限，
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用-增长率问题，申清题意、弄清原始量与变化量之间的关系是解题的关键．
根据题意，第一天票房为5亿，之后每天以增长率x增长，第三天票房为6亿．据此列出一元二次方程即可．
【详解】解：第一天票房为5亿，第二天票房为第一次增长后的结果，即亿；第三天票房在第二天基础上再次增长，即亿．
根据题意，第三天票房为6亿，故可得方程．
故选B．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可．
【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0，
所以，
解得．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质．
由二次函数的对称轴直线为，开口向上可得出关于对称轴直线的对称点为：， 关于对称轴直线的对称点为：，再结合以及函数图像可得出．
【详解】解：∵二次函数的对称轴直线为，开口向上．
∴关于对称轴直线的对称点为：，
关于对称轴直线的对称点为：，
∵，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象，依据题意，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意；
D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为．
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与轴的交点为（，）和（，），故B选项不符合题意；
C．当时，函数有最小值为，故C选项不符合题意；
D．函数对称轴为直线，根据图象可知当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项符合题意．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键．
根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当时，，得到，即可判断②对错；根据二次函数和直线的交点，即可判断④对错．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
，
∴，①正确；
∵抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
，③正确；
∵抛物线与轴的一个交点在点和点之间，
∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在和之间，
时，，
，
，
，
∴，②正确；
∵抛物线的顶线坐标为，点在二次函数的图像，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴交点的横坐标即为方程的两个实数根，
∵点在二次函数的图像，
∴为其中一个实数根，
根据函数图像对称性，对称轴，
∴另一个实数根是1，
∴关于x的不等式的解集是，
∴④正确，
故选：D．
9．
【分析】本题考查了二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律是解决此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：∵将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴得到的抛物线的解析式为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的解．
根据是方程的一个根求出，进而代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】直接利用二次函数的图象与x轴有交点故b2-4ac≥0，进而得出答案．
【详解】解：根据题意得△=4-4a≥0，
∴a≤1.
故答案为a≤1 .
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出△的符号是解题关键．
13． ，
【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系，根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为，再通过图象和对称轴即可得出方程的根，掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．
【详解】解：∵对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴与轴的另一交点为，
∵当时，，
∴方程的一个根为，
∵对称轴为直线，
∴方程的另一个根为，
故答案为：；，．
14．
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【详解】解：∵二次函数，图象开口向上，
∴对称轴为直线，
∵，
∴A点离对称轴的距离小于B点离对称轴的距离，
∴．
故答案为：．
15． 6100 3，6，1（或6，4，1或9，2，1，写出一种即可）
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确的分类是解题的关键，注意租用甲型客车有优惠活动．
（1）列式计算即可求解；
（2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，分①，或②，，或③，三种情况讨论，利用a，b，c都是正整数以及一次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）租车的总费用为（元）；
（2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，租车的总费用为y，
则，即，
整理得，
∵a，b，c都是正整数，
∴必须是3的倍数，
∵是偶数，
∴是偶数，
又∵每种型号的客车至少租1辆，
∴①，或②，，或③，，
分类讨论：
①当，时，，
当时，，，此方案费用较高，非最低费用；
当时， ，
∵，
∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700，此时，
即甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是9，2，1；
②当，时，，
当时，，不合题意；
当时，，，此方案费用较高，非最低费用；
当时， ，
∵，
∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700，此时，
即甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是6，4，1；
③当，时，，，或，，
当，，时，，此方案费用较高，非最低费用；
当，，时，；
即甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是3，6，1；
综上可知，甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是3，6，1或6，4，1或9，2，1．
故答案为：3，6，1（或6，4，1或9，2，1，写出一种即可）．
16．c或﹣6＜c≤﹣2
【分析】根据其在此范围内有一个交点，此时将两个值代入，分别大于零和小于零，进而求出相应的取值范围．
【详解】∵对称轴x，∴当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则分两种情况讨论：
①此公共点一定是顶点，∴△=4﹣16c=0，解得：c=；
②一个交点的横坐标小于等于﹣1，另一交点的横坐标小于1而大于，∴4﹣2+c≤0，4+2+c＞0，解得：﹣6＜c≤﹣2．
综上所述：c的取值范围是：c或﹣6＜c≤﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，同时还渗透了分类讨论的数学思想，是一道不错的二次函数综合题．
17．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）利用直接开平法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：，
，
解得，；
（3），
∵，
∴，
∴，
解得，．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出判别式，利用非负数的性质得△，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
【详解】（1）证明：依题意，得△．
，
方程总有两个实数根；
（2），
可得，
解得，，
若方程有一个根为负数，则，
故．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．
19．(1)
(2)，；
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
（1）利用配方法化简即可；
（2）分别令、，然后求解即可；
（3）用“五点法”取值描点连线即可求解；
（4）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：
（2）令，
∴或，
∴该抛物线与x轴的交点为，；
令，则，
∴该抛物线与y轴的交点为
故答案为：，，；
（3）如图，二次函数图象如下：
（4）由图可知，当时，的取值范围是，
故答案为：．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数与不等式（组，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
（1）把点和代入中列出方程组，解出和即可解答；
（2）根据函数图象即可得到结论；
（3）根据二次函数与一次函数的交点坐标即可得到结论．
【详解】（1）解：把点和代入得，
解得，
二次函数的解析式的解析式为；
（2）解：二次函数的图象如图所示，
当时，函数值的取值范围是；
故答案为：；
（3）解：不等式可化为，
即求抛物线在直线下方的部分对应的的取值范围，
二次函数与一次函数交于和两点，
关于的不等式的解集为，
故答案为：．
21．能够顺利行驶进入甬路
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
设甬路的宽为 ，先得出，即，再据题意列一元二次方程，解方程求出甬路的宽，与车宽比较即可．
【详解】解：设甬路的宽为 ，
∵矩形中，，，
∴四边形是正方形，
∵点为边中点， ，
∴，
∴，即，
即据题意列方程，得：．
整理，得．
解得 ，（不合题意，舍去）．
即甬路的宽为，
，
即能够顺利行驶进入甬路．
22．(1)
(2)
(3)对于，都有，的取值范围为或
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，增减性，对称轴，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）运用对称轴直线公式计算即可；
（2）根据题意得到，，，由此代入计算即可求解；
（3）根据对称轴，函数的增减性分类讨论：当时，二次函数图象开口向上，当时，随的增大而减小；当时，二次函数图象开口向下，当时，随的增大而增大；由此即可求解．
【详解】（1）解：抛物线，
∴对称轴直线为，
故答案为：1；
（2）解：当时，，抛物线解析式为，
∴，，
∴，
解得，，
当时，点重合，不符合题意，舍去，
∴；
（3）解：∵抛物线的对称轴直线为，
当时，二次函数图象开口向上，当时，随的增大而减小，
若对于，都有，
∴关于的对称 点为，
∴，
解得，，
∵，
∴；
当时，二次函数图象开口向下，当时，随的增大而增大，
∴关于的对称 点为，
∴或，
解得，或，
∵，
∴；
综上所述，对于，都有，的取值范围为或．
23．(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，能熟练利用“倍长中线法”构建全等三角形，并根据两点之间连线段最短找出线段取得最小值的条件是解题的关键．
（1）按要求补全图形，即可求解；
（2）延长至点，使，连接，证明得出相等的边和角，假设，表示出相关的角，证明，即可得出结论；
（3）取的中点，与的交点为，连接，得出当三点共线时，最小，画出图形，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：补全图形，如图所示；
（2）解：，证明如下：
如图，延长至点，使，连接，则，
∵点是线段的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
假设，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，取的中点，与的交点为，连接，
∴，
由（2）同理可证：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，如下图，
此时，，
∴的最小值为：，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
24．(1)②④
(2)①；②
【分析】本题考查了新定义问题，熟练掌握对称点计算方法，准确理解定义，运用数形结合思想求解是解题的关键．
（1）根据新定义逐项进行判断即可；
（2）①根据新定义，表示出来的坐标，然后得出，进行求解即可；
②记、关于直线的对称点分别为，，，根据新定义，列出不等式组，然后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，，，，，，
①当时，，，，，
解得，
即，
∵，
∴线段不在图形内，①不符合题意；
②当时，，，，，
解得，
即，
∵，
∴线段在图形内，②符合题意；
③当时，，，，，
解得，
即，
∵，
∴线段不在图形内，③不符合题意；
④当时，，，，，
解得，
即，
∵，
∴线段在图形内，④符合题意；
故答案为：②④；
（2）解：①由，，得，
，
解得，
即，
∵图形以点为中心作边长为6的正方形，
∴图形的横坐标范围：，
∴，代入得，
即，
解得，
当时，，
②记、关于直线的对称点分别为，，，
由对称的性质得，，
，
∵存在点是图形和线段的凸显差距点，
∴，，
即，，
∴，，，，
∴当时，存在点是图形和线段的凸显差距点，
∴，
解得，
∴．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
B
B
C
B
C
D
D