（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习12 奇偶性问题（2份，原卷版+解析版）

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方法技巧一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1、函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．
诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）的等价形式为：，
的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；
（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．
2、奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．
3、用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．
若，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且，则既是奇函数，又是偶函数
方法技巧二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．
方法技巧三、关于函数奇偶性的常见结论
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
【题型归纳目录】
题型一：函数奇偶性的判断
题型二：求函数值与解析式
题型三：已知奇偶性求参数
题型四：利用性质解决不等式问题
题型五：性质的综合运用
【典型例题】
题型一：函数奇偶性的判断
例1．下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
例2．已知，且是定义在R上的奇函数，，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
例3．（多选题）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
例4．（多选题）下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是非奇非偶函数
例5．判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例6．设函数对任意，都有，证明：为奇函数．
题型二：求函数值与解析式
例7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________．
例8．已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
例9．已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
例10．已知函数的图象关于原点对称，且当时，
(1)试求在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
例11．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
题型三：已知奇偶性求参数
例12．若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
例13．已知函数是奇函数，则_____．
例14．定义在区间上的偶函数，最大值为，则__________.
例15．若函数在上为奇函数，则___________.
例16．已知函数是偶函数，则a＝______．
题型四：利用性质解决不等式问题
例17．函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
例18．已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．
例19．奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.
例20．已知奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为_________．
例21．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例22．定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A．B．
C．D．
题型五：性质的综合运用
例23．已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．
例24．已知函数的定义域是，对任意，都有：，且当时，．给出结论：
①是偶函数；
②是奇函数；
③在上是增函数；
④在上是减函数．
则正确结论的序号是________．
例25．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
例26．已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
例27．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出函数，剩余部分的图象，并根据图象写出函数，的单调增区间；
(2)求函数，的解析式；
(3)已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
例28．函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.
(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
例29．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n．
例30．设函数的定义域为，且满足：
①当时，；
②，．
则是_______函数（填“奇”或“偶”），在定义域上是_______函数（填“增”或“减”）．
【过关测试】
一、单选题
1．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数是奇函数B．函数的值域是
C．函数在R上是增函数D．方程有实根
2．函数的单调增区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506B．506C．2022D．2024
4．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．1
6．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
7．定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．下列图象中，不可能是的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数，其中，下列结论正确的是（ ）
A．存在实数a，使得函数为奇函数
B．存在实数a，使得函数为偶函数
C．当时，的单调增区间为，
D．当时，的单调减区间为
10．已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线x＝－1对称B．在上为增函数
C．D．
11．在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意，都有
12．已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ）
A．B．C．是奇函数D．若，则
三、填空题
13．设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是___________．
14．已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.
15．若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.
16．函数，若，则实数m的取值范围是____________．
四、解答题
17．设函数，．
(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．
(2)若是偶函数，求实数a的值．
(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．
18．已知函数．
(1)若，判断的奇偶性并加以证明．
(2)当时，先用定义法证明函数f（x）在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值．
(3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
19．已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
20．已知函数在区间上的最小值为．
（1）求函数的解析式．
（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．
21．已知______，且函数.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.