湖北省武汉市洪山区华中师大一附中光谷分校2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试卷

这是一份湖北省武汉市洪山区华中师大一附中光谷分校2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知点关于x轴的对称点为点，则的值为( )
A. 5B. 1C. D.
3.下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4.下列条件能判定≌的一组是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，的周长等于的周长
5.到三角形的三个顶点距离相等的点是( )
A. 三条角平分线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点D. 三条边的垂直平分线的交点
6.如图，在中，，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若的周长为35cm，则BC的长为( )
A. 5cmB. 10cmC. 15cmD.
7.在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上确定点P，使为等腰三角形，符合条件的点有( )
A. 4B. 6C. 8D. 9
8.如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接以DF为边作等边，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①；②；③；④当D在线段BG上不与G点重合运动时，其中正确的结论个数有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，中，，，，，，CE平分，DE与CE相交于点E，则AD的长为( )
A. 4B. 13C. D. 7
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.______；______；______.
12.已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是______.
13.如图，是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”图和梅花图案图图中的折扇无重叠则梅花图案中的五角星的五个锐角的度数均为______度.
14.如图，在等腰三角形中，，，点D为线段BC上一点，，，若，则的值为______.
15.在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则等于______.
16.如图，在中，，，，点O为AB的中点，点M为内一动点且，点N为OM的中点，当最小时，则的度数为______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
计算：
；
要求简便计算
18.本小题8分
分解因式：
；
19.本小题8分
如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上，且，BE与AD相交于点P，于点
求证：
求证：
20.本小题8分
如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、点请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹.
在图1中：①画出格点P，使；②在y轴上取一点Q，使得；
在图2中：①作出AB关于y轴的对称线段点A的对称点为点；②点M、N为线段AB上的任意两点，在y轴上找一点E，使的值最小.
21.本小题8分
如图，点P为等边的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，，PQ交AC于D，过P作于
求证：；
若，求DE的长.
22.本小题10分
先阅读材料，再解答下列问题：
材料：分解因式
解：令，
则
故
上述过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
分解因式：______；
分解因式：；
证明：若n为整数，则式子的值一定是某一个整数的平方.
23.本小题10分
点P为等边三角形所在平面内一点，且
如图1，点P在外部，若，，则AP的长为______；
点在内部，连接
①如图2，若，求证；
②如图3，D为BC边中点，连接PD，求证：
24.本小题12分
在平面直角坐标系中，已知点，与坐标原点O在同一直线上，且，其中m，n满足
求点A，B的坐标；
如图1，若点M，P分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的点，点P的纵坐标不等于2，点N在第一象限内，且，，，求证：；
如图2，作轴于点C，轴于点D，在CA延长线上取一点E，使，连结BE交AD于点F，恰好有，点G是CB上一点，且，连结FG，求证：
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：
根据轴对称概念可知，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，据此分析解答．
此题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，比较简单．
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出a，b的值，从而得出
【解答】
解：点关于x轴的对称点是，
，，
故选：
3.【答案】D
【解析】解：A、B、C结果不是积的形式，因而不是因式分解．
满足定义的只有
故选：
分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
4.【答案】A
【解析】解：A、，，符合ASA，能判定两三角形全等，故选项正确；
B、，，是SSA，不能判定两三角形全等，故选项错误；
C、，，是AAA，不能判定两三角形全等，故选项错误；
D、，的周长等于的周长，三边不可能相等，故选项错误．
故选：
判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，结合选项逐一检验．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是线段垂直平分线的性质有关知识，根据线段垂直平分线的性质进行解答即可.
【解答】
解：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点.
故选
6.【答案】C
【解析】解：的周长已知，
又垂直平分AB，
线段垂直平分线的性质，
故，
已知，
故选：
利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件三角形的周长计算．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质．
7.【答案】C
【解析】解：若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，B是以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点，共有2个除O点；
当O是顶角顶点时，B是以O为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点，有4个；
若OA是底边时，B是OA的中垂线与坐标轴的交点，有2个．
以上8个交点没有重合的，故符合条件的点有8个．
故选：
对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底，哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
本题考查了等腰三角形的判定；分情况进行讨论，能够把各种情况能够讨论全是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：连接CE，如图所示，
线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故选：
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，证明≌，根据全等三角形的性质得到，然后由三角形内角和定理得，进而得出答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：是等边三角形，点F是AC中点，
，故①正确，
和是等边三角形，
，，
，
，
，故②正确；
如图，连接FG，
、G分别为AC和BC的中点，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，故③④正确，
故选：
由等边三角形的性质可得，可判断①，由等边三角形的性质可求，由四边形内角和定理可得，可判断②，由“SAS”可证≌，可得，，可判断③和④，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
10.【答案】D
【解析】
解：延长DE交AB于F，延长CE交AB于G，
，
，
是等边三角形，
，，
，CE平分，
，即，，
设，
在中，，，
，
由得，
，
，
故选：
由，延长DE交AB于F，作出等边三角形，由，CE平分，结合等腰三角形“三线合一”，延长CE交AB于G，然后解直角三角形
本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线，补出等边三角形和等腰三角形的“三线合一”．
11.【答案】
【解析】解：；
；
故答案为：；1；
根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、零指数幂法则进行解题即可．
本题主要考查了同底数幂乘法，零指数幂，积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
12.【答案】等边三角形
【解析】解：，
，
，
，，
，，
，
是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
首先分组因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是对原式正确的因式分解．
13.【答案】48
【解析】解：五边形的内角和，
连接图内五点成正五边形内角度数为，
扇形中心角度为，
另外两个角、度数是，
剩下顶角为
故答案为：
连接A、B、C、D、E，组成正五边形，求出正五边形的内角度数，减去五角星两旁锐角度数即可得五个锐角的度数．
此题考查了等腰三角形的性质和正五边形的性质，将原题转化为正五边形的内角减去相邻两个锐角的度数即可．
14.【答案】4
【解析】解：，，
，
，，
和是直角三角形，
，，
，
故答案为：
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质，熟知所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
15.【答案】或或
【解析】解：如下图，分三种情况：
①如图1，，，AD在三角形的内部，
由题意知，，
，
，，
；
②如图2，，，AD在三角形的外部，
由题意知，，
，
，
，
；
③如图3，，，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点，
由题意知，，
，均为等腰直角三角形，
，
，
的度数为或或，
故答案为：或或
本题要分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当AD在三角形的内部，②AD在三角形的外部以，③BC边为等腰三角形的底边．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理、三角形的外角的性质；本题要分三种情况讨论：前两种情况为为等腰三角形的底角，且AD在三角形内部还是外部；第三种为为等腰三角形的顶角，这是正确解答本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：取OB的中点F，连接BM、FM、CF，如图所示：
则，
，点O为AB的中点，点N为OM的中点，，
，，
，，
，
≌，
，
，
即当点M在线段CF上时，值最小，且最小值为线段CF的长；
，，，
是等腰直角三角形
故答案为：
取OB的中点F，连接BM、FM、CF，则可证明≌，则有，从而，即当点M在线段CF上时，值最小，且最小值为线段CF的长，则此时，由等腰直角三角形知可求得的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，两点间线段最短等知识，通过构造全等三角形把求的最小值转化为求的最小值，是解题的关键与难点．
17.【答案】解：原式
；
原式

【解析】根据积的乘方，同底数幂相乘，合并同类项即可得；
将2023化为，将2021化为，运用平方差公式进行计算即可得．
本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，合并同类项，平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点，掌握运算法则和运算顺序．
18.【答案】解：
；

【解析】先提公因式，然后再用平方差公式进行因式分解；
用平方差公式和十字相乘法进行因式分解即可．
本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．
19.【答案】证明：
为等边三角形，
，，
在和中：
≌，
；
≌，
为外角，
，
，

【解析】利用等边三角形的性质，结合条件可证明≌，可证得；
利用中的≌，结合外角的性质，可求得，再利用直角三角形的性质可证得
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法即SSS、SAS、ASA、AAS和和全等三角形的性质即全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
20.【答案】解：取格点P，连接BP，AP，则；取格点C，连接BC、PC，AC，设AC，BP交于点D，AB、FG交于点E，连接ED并延长交x轴于一点，该点即为点Q；
，，
，
为等腰直角三角形，，
；
在和中，
，
≌，
，
，
四边形ABCP为菱形，
，
四边形ABCP为正方形，
，
垂直平分AB，
解：作点A、B关于y轴的对称点C、D，连接CD，则CD即为所求作的线段，连接MD交y轴于点F，连接BF并延长交CD于点，连接，交y轴于点E，则点E即为所求作的点；
与CD关于y轴对称，
，，
，
，
≌，
，
点与点M关于y轴对称，
，
，
两点之间线段最短，
此最小，即最小．
【解析】取格点P，连接BP，AP，则；取格点C，连接BC、PC，AC，设AC，BP交于点D，AB、FG交于点E，连接ED并延长交x轴于一点，该点即为点Q；
先作点A、B关于y轴的对称点C、D，然后再连接CD即可；连接MD交y轴于点F，连接BF并延长交CD于点，连接，交y轴于点E，则点E即为所求作的点．
本题主要考查了复杂作图，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，作轴对称图形，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法和三角形全等的判定方法．
21.【答案】证明：如图，过点P作，则，
为等边三角形，
是等边三角形，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
；
解：为等边三角形，，
，
由知，≌
，
，
，
，
，

【解析】过P作，可得为等边三角形，得出，再证≌，即可得；
根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，代入数据进行计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：；
故答案为：；
解：令，
则原式变为，
；
证明：
为正整数，
也为正整数，
代数式的值一定是某一个整数的平方．
将看作一个整体进行因式分解；
将看作一个整体进行因式分解；
先计算得，再将看作整体因式分解得原式，继而由为正整数可得答案．
本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和完全平方公式因式分解．
23.【答案】10
【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
将绕点A逆时针旋转，得到，点P的对应点为F，
则，，，，，
，
点C在线段PF上，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：10；
证明：①，
，
将绕A逆时针旋转，得到，点P的对应点为E，连接PE，
则，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
②如图，延长PD到点F，使，连接CF，将绕点A逆时针旋转，得到，点P的对应点为点E，连接PE，
同理可知，是等边三角形，
，
是BC的中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
将绕点A逆时针旋转，得到，点P的对应点为F，首先证明点C在线段PF上，再证明是等边三角形，从而得出答案；
①将绕A逆时针旋转，得到，点P的对应点为E，连接PE，首先证明是等边三角形，从而得出，，再利用含角的直角三角形的性质，可得答案；
②延长PD到点F，使，连接CF，将绕点A逆时针旋转，得到，点P的对应点为点E，连接PE，同理得是等边三角形，再利用SAS证明≌，得，，再证明≌，得，从而解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．
24.【答案】解：，
，
，
，，
，，
，；
如图1，在x轴负半轴上取点Q，使，连接QA，QP，QM，
，，
≌，
，
，
又，，
，
又，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
；
证明：如图2，过点B作交AF延长线于点H，连接EH，
点A的坐标为，点B的坐标为，
，
，，
又，
，，
轴，轴，，
，
≌，
，，
，，
，
，
又，
，
，
在与中，
，，，
≌，

【解析】将关于m，n的关系式变形成完全平方公式，利用非负性即可求出m，n的值，可得出A，B的坐标；
如图1，在x轴负半轴上取点Q，使，连接QA，QP，QM，证≌，≌，为等腰直角三角形，即可推出，可得出结论；
证明：如图2，过点B作交AF延长线于点H，连接EH，证≌，≌，即可得出结论．
本题考查了完全平方公式及非负性的运用，全等三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握并能灵活运用完全平方公式及全等三角形的判定与性质等．