2025~2026学年度江苏省南京市建邺区致远初级中学九年级上学期第一次月考数学模拟试卷【附答案】

这是一份2025~2026学年度江苏省南京市建邺区致远初级中学九年级上学期第一次月考数学模拟试卷【附答案】，共48页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学模拟试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1 ．下列方程中，关于 x 的一元二次方程的是( ).
A ．x + 2y = 1 B ．x2 + y = 2 C ．2x - x2 = 3 D ．
2 ．如图，AB 是直径，点C ，D 在半圆AB 上，若上BAC=40° ,则 Ð ADC 的度数是( )
A ．110° B ．120° C ．130° D ．140°
3 ．如图，eO 经过五边形OABCD 的四个顶点，若上AOD = 150° , 上A = 65° , 上D = 60° , 则 的度数为( )
A ．45° B ．40° C ．35° D ．30°
4 ．用配方法解方程x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变形为( )
A ．(x + 1)2 = 6 B ．(x -1)2 = 6
C ．(x + 3)2 = 9 D ．(x - 2)2 = 9
5 ．如图，在矩形 ABCD 中， AB = 4 ， AD = 5 ， AD 、 AB 、 BC 分别与 eO 相切于 E 、 F 、 G 三点，过点D 作eO 的切线交BC 于点M ，切点为 N ，则 DM 的长为( )
A ． B ． C ． D ．
6 ．关于 x 的方程(x -1)(x +2) = r2 （ r 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是( )
A ．两个正根 B ．两个负根
C ．一个正根，一个负根 D ．无实数根
7 ．如图，已知直线PA 交eO 于 A、B 两点，AE 是eO 的直径，点 C 为eO 上一点，且AC 平分上PAE ，过 C 作CD 丄 PA ，垂足为 D，且DC + DA = 12 ，eO 的直径为 20，则AB 的长 等于( )
A ．8 B ．12 C ．16 D ．18
8 ．如图，在等边 △ABC 中，AB = 6 ，点 D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD = CE ，连接 AD ，BE 交于点F ，连接CF ，则CF 的最小值是( )
A ．2 B ．3 C ． D ．
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．
9 ．已知m 是方程x2 - 5x - 1 = 0的一个根.则2m2 -10m + 2024 = ．
10 ．已知eO 的半径为2 ，点 O 到直线l 的距离为3 ，则l 与eO 的位置关系是 ．
11 ．在圆内接四边形ABCD 中， Ð A 、 Ð C 的度数之比为1: 2 ，则 上C = °.
12 ．已知 x1 ，x2 是方程x2 - 3x + 2 = 0 的实数根，则x1 + x2 - x1x2 = ．
13 ．如图，eO 与△ABC 的边AB ，AC ，BC 分别相切于点D ，E ，F ，如果 AB = 4 ， AC = 5 ，AD = 1 ，那么 BC 的长为 ．
14．某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度 为60cm ，污水水面至管道顶部的距离为10cm ，则圆形管道的直径为 cm ．
15．如图，由 4 个边长为 1 的小正方形组成的图形，若eO 经过其顶点A、B 、C，则圆心 O 到AB 的距离为 ．
16 ．若关于x 的一元二次方程a(x + h)2 + k = 0 的两个根为x1 = -1 ，x2 = 3 ，则关于x 的一元 二次方程a(x + h -1)2 + k = 0 的解为 ．
三、解答题：本题共 10 小题，共 94 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤．
17 ．解方程：
(1) x2 + 2x -1 = 0 ；
(2) (x - 3)2 = 2x - 6 ．
18 ．如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点 C、D．
(1)求证AC = BD ；
(2)若AC = 6 ，大圆和小圆的半径分别为 12 和 8，则CD 的长度是 ．
19 ．已知关于 x 的方程 mx2 -（m+2）x+2 ＝0．
（1）若方程有一个根是 2，求 m 的值；
（2）求证：不论 m 为何值，方程总有实数根．
20 ．如图，AB 、CD 是eO 的直径，弦CE Ⅱ AB ．求证：B 是弧DE 的中点．
21．如图，四边形ABCD 内接于eO ，上DAB = 90° , 点E 在BC 的延长线上，且上CED = 上CAB ．
(1)求证：DE 是eO 的切线；
(2)若AC∥DE ，当 AB = 4 ，DC = 2 时，求AC 的长．
22．如果关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0满足a + b + c =0 ，那么称这样的方程为“美好 方程” ．例如，方程x2 - 4x + 3 = 0 ，1- 4 + 3 = 0 ，则这个方程就是“美好方程”．
(1)下列方程是“美好方程”的是 ；
① x2 + 2x - 3 = 0 ② x2 - 3x = 0 ③ x2 + 1 = 0 ④x (x -1) = 2 (x -1)
(2)求证：“美好方程” ax2 + bx + c = 0总有两个实数根；
(3)若美好方程(b - c )x2 + (c - a )x +(a - b) = 0 有两个相等的实数根，求证：a + c = 2b ．
23 ．如图，四边形 ABCD 是ΘO 的内接四边形，AC ^ BD ，OF 丄 AB ，垂足分别是 E、F．
（1）直接写出 OF 与 CD 的数量关系 ，并证明你的结论．
（2）若 AB = 2 ，CD = 1 ．求ΘO 的半径．
24 ．如图，AB 是ΘO 的直径，弦CD 丄 AB ，垂足为 E，K 为弧AC 上一动点，AK，DC 的 延长线相交于点 F，连接 CK，KD ．
(1)求证：上AKD = 上CKF ；
(2)已知 AB = 8，CD = 4 ，求 上CKF 的大小．
25 ．（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图①,四边形 ABCD 内接于Θ O ．
求证：上A＋上C = 上B＋上D = 180° .
（2）逆命题证明：
若四边形的一组对角上A＋上C = 180° ,则这个四边形的 4 个顶点共圆（图②) 可以用反证法证明如下：
在图②中，经过点A ，B ，D 画Θ O ．
假设点C 落在Θ O 外，BC 交Θ O 于点E ，连接 DE， Q 四边形ABED 内接于Θ O ，
:可得 = 180° ,
Q 上A＋上C = 180° ,
: 上BED = ，与 上BED > 上C 得出矛盾； 同理点C 也不会落在Θ O 内，
: A ，B ，C ，D 共圆．
（3）结论运用：如图 上BAC = 120° ,线段 ，点 D ，E 分别在射线AC 和线段AB 上 运动，以DE 为边在 ÐBAC 内部作等边 △DEF ，则 BF 的最小值为 ．
26 ．【问题提出】
如图 1 ，AB 为eO 的一条弦，点C 在弦AB 所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知 道Ð ACB 的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段AB 的长度已知， Ð ACB 的 大小确定，那么点C 是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】
为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图 2，若AB = 4 ，线段AB 上方 一点 C 满足上ACB = 45° , 为了画出点 C 所在的圆，小芳以 AB 为底边构造了一个Rt△AOB ， 再以点O 为圆心，OA 为半径画圆，则点C 在eO 上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，
得出一个一般性的结论．即：若线段AB 的长度已知， Ð ACB 的大小确定，则点C 一定在某 一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
若 ，平面内一点C 满足上ACB = 60° ,若点C 所在圆的圆心为O ，则
上AOB = ________，半径 OA 的长为________．
（2）如图 3，已知正方形ABCD 以AB 为腰向正方形内部作等腰 △ABE ，其中AB = AE ，过 点E 作EF 丄 AB 于点F ，若点 P 是△AEF 的内心．
①求上BPA的度数；
②连接CP ，若正方形 ABCD 的边长为6 ，求 CP 的最小值．
1 ．C
【详解】A 、x+2y=1，是二元一次方程，故此选项错误；
B 、x2+y=2，是二元二次方程，故此选项错误；
C 、2x-x2=3，是一元二次方程，故此选项正确；
D 、，是分式方程，故此选项错误；
故选 C．
2 ．C
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质， 连接 BC 并运用这两 个性质是解题的关键．
连接BC ，由直径所对的圆周角是直角可求得 上B 的度数，再由圆内接四边形的性质即可求 得上ADC 的度数．
【详解】解：连接 BC ，
Q AB 是直径，
:上ACB = 90° ,
Q 上BAC = 40° ,
:上B = 90° - 上BAC = 50° ,
Q 四边形ABCD 是圆的内接四边形，
:上ADC + 上B = 180° ,
上ADC = 180° - 50° = 130° , 故选：C．
3 ．B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接OB 、
OC ，如图，利用等腰三角形的性质得上OBA = 上A = 65° , 上OCD = 上D = 60° , 则根据三角 形内角和定理得到 上AOB = 50° , 上COD = 60° , 则 7BOC = 7AOD -7AOB -7COD = 40° ,
于是得到 的度数为40° .
【详解】解：连接OB 、OC ，如图，
QOA = OB ，OC = OD ，
:上OBA = 上A = 65° , 上OCD = 上D = 60° ,
:上AOB = 180° - 2× 65° = 50° , 上COD = 180° - 2 × 60° = 60° , :上BOC = 上AOD - 上AOB - 上COD = 150° - 50° - 60° = 40° ,
∴ 的度数为40° .
故选：B．
4 ．B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右 两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式，再用完 全平方公式把等号左边的多项式分解因式即可．
【详解】解：x2 - 2x - 5 = 0 ， 移项得：x2 - 2x = 5 ，
方程两边同时加1得： x2 - 2x +1 = 6 ，
分解因式得：(x -1)2 = 6 ，
故选：B．
5 ．D
【分析】本题考查切线的性质，矩形的性质，勾股定理. 连接OE ，OF ，ON ，OG ，证明 四边形AFOE ，FBGO 是正方形，结合切线的性质和矩形的性质，得到MN = MG
CM = 3 - MN ，结合勾股定理求出 MN，即可得到 DM 的长. 【详解】解：连接OE ，OF ，ON ，OG ，如图所示，
在矩形ABCD 中，
: 上A = 上B = 90° , CD = AB = 4 ，
: AD ，AB ，BC 分别与ΘO 相切于E ，F ，G 三点， : 上AEO = 上AFO = 上OFB = 上BGO = 90° ,
:四边形AFOE ，FBGO 是正方形，
: AF = BF = AE = BG = 2 ， : DE = 3 ，
: DM 是ΘO 的切线，
: DN = DE = 3 ，MN = MG ， : CM = 5 - 2 - MN = 3 - MN
在Rt△DMC 中，DM2 = CD2 + CM2 ， : (3+ NM)2 = (3 - NM)2 + 42 ，
: NM = ，
故选：D．
6 ．C
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后 又根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】解：(x -1)(x +2) = r2 ，
整理得：x2 + x - 2 - r2 = 0 ，
: Δ = 12 - 4(-2 - r2 ) = 4r2 + 9 > 0 ， :方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为 x1 、x2 ，
: x1 + x2 = -1 ，x1x2 = -2 - p2
:两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△>0，方 程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△r ，直线与圆相离即 可求解，掌握直线和圆的位置与d 和r 之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵ΘO 的半径为2 ，点 O 到直线l 的距离为3 ，
: d >r ，
: l 与ΘO 的位置关系是相离， 故答案为：相离．
11 ．120
【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：设 Ð A 的度数为x ，则Ð C 的度数为2x ，
Q 四边形ABCD 是圆内接四边形，
:上A + 上C = 180° , : x + 2x = 180° ,
解得，x = 60° ,
: Ð C = 2x = 120° , 故答案为：120 ．
12 ．1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，若x1，x2 是该方程的两个实数根，则 据此求 出x1 + x2 和x1x2 的值即可得到答案．
【详解】解：Qx1 ，x2 是方程x2 - 3x + 2 = 0 的两个实数根，
:x1 + x2 = 3 ，x1x2 = 2 ，
:x1 + x2 - x1x2 = 3 - 2 = 1．
故答案为：1．
13 ．7
【分析】由切线长定理证明 AE = AD = 1 ，CE = CF ，BD = BF ，结合 AB = 4 ，AC = 5 ，可 得BF = BD = 4 -1 = 3 ，CF = CE = 5 -1 = 4 ，从而可得答案．
【详解】解：:ΘO 与△ABC 的边AB ，AC ，BC 分别相切于点D ，E ，F ，AD = 1 ， : AE = AD = 1 ，CE = CF ，BD = BF ，
: AB = 4 ，AC = 5 ，
: BF = BD = 4 -1 = 3 ，CF = CE = 5 -1 = 4 ，
: BC = BF + CF = 3 + 4 = 7 ； 故答案为 7
【点睛】本题考查的是切线长定理的应用，熟记切线长定理的含义是解本题的关键．
14 ．100
【分析】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，勾股定理.过O 作OC 丄 AB 于 C ， 连接AO ，在 Rt△AOC 运用勾股定理建立方程求解.
【详解】解：如图，过 O 作OC 丄 AB 于C ，连接 AO ，
在Rt△AOC 中，AO2 = AC2 + OC2 ，
AO2 = 302 + (AO -10)2
解得AO = 50cm
:直径为2× 50=100cm 故答案为：100．
15 ．
【分析】取AB 的中点 D，过点 D 作DE ^ AB 交AB 于点 D，交CF 于点E，则圆心 O 在DE 上，在取DE 上取圆心 O，连接OB, OC ，根据题意可得DE 丄 CF ， DE = 3 ，OB = OC ，再由勾股定理可得 OD2 + BD2 = OE2 + CE2 ，即可求解．
【详解】解：如图，取 AB 的中点，过点 D 作DE ^ AB 交AB 于点 D，交CF 于点 E，则圆 心 O 在DE 上，在取DE 上取圆心 O，连接OB, OC ，
根据题意得：DE 丄
∵ OB2 = OD2 + BD2 , OC2 = OE2 + CE2 ， : OD2 + BD2 = OE2 + CE2 ，
解得：
即圆心 O 到AB 的距离为 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得到圆心的位置是解题的关键．
16 ．x1 = 0 ，x2 = 4
【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法和步骤是解 题关键．
令m = x -1，代入 a(x + h -1)2 + k = 0 ，根据题意可得 x -1= -1 或x -1 = 3，即可求解．
【详解】解：令 m = x -1，代入 a(x + h -1)2 + k = 0 ，
则a(m + h)2 + k = 0 ，
则由题意得，m = -1 或m = 3
: x -1= -1 或x -1 = 3
解得x = 0 或x = 4 ，
:一元二次方程a(x + h -1)2 + k = 0 的解为x1 = 0 ，x2 = 4 ，
故答案为：x1 = 0 ，x2 = 4 ．
17 ．(1) x1 = -1+ ，x2 = -1-
(2) x1 = 3 ，x2 = 5
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平 方法、因式分解法、公式法、配方法， 并结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关 键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：x2 + 2x -1 = 0 ，
x2 + 2x = 1，
x2 + 2x +1 = 1+1 ， (x +1)2 = 2 ，
x +1= ± ,
:x1 = -1+ ，x2 = -1- ；
（2）解：(x - 3)2 = 2x - 6 ， (x - 3)2 = 2 (x - 3)，
(x - 3)2 - 2(x - 3) = 0 ， (x - 3)(x - 3 - 2) = 0 ， :x - 3 = 0 或x - 5 = 0 ， :x1 = 3 ，x2 = 5 ．
18 ．(1)见解析
【分析】本题考查了垂径定理， 圆与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加 辅助线是解题的关键．
（1）过点 O 作OE 丄 CD 于点E ，利用垂径定理及等式的性质即可求证；
（2）连接OC ，设CE = x ，在Rt△AOE 中，由勾股定理得：OE2 = 122 - (6 + x )2 ，在Rt△COE 中，由勾股定理得：OE2 = 82 - x2 ，即可建立方程122 - (6 + x )2 = 82 - x2 ，解方程即可，利用 CD = 2CE 求解．
【详解】（1）证明：过点 O 作OE 丄 CD 于点E ，
∵ OE 过圆心，
: CE = DE, AE = BE ， : AE - CE = BE - DE ， : AC = BD ；
（2）解：连接OC ，
设CE = x ，
在Rt△AOE 中，由勾股定理得：OE2 = 122 - (6 + x )2 ， 在Rt△COE 中，由勾股定理得：OE2 = 82 - x2 ，
: 122 - (6 + x )2 = 82 - x2 ，
解得： ，
故答案为： ．
19 ．（1）1；（2）证明见解析．
【分析】（1）将 x=2 代入方程计算即可得出答案；
（2）当 m ＝0 时，原方程为一次方程，有实数根；当 m≠0 时，判断 Δ ≥0 即可．
【详解】解：（1）将 x ＝2 代入原方程，得：4m -2（m+2）+2 ＝0， 解得：m ＝1．
故 m 的值为 1；
（2）当 m ＝0 时，原方程为一次方程，此时 x ＝1； 当 m≠0 时， Δ =（m+2）2 -4×2m＝（m -2）2≥0，
:当 m≠0 时，方程有实数根．
综上所述：不论 m 为何值，方程总有实数根．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式，当 Δ = b2 - 4ac > 0时，有两个不相等 的实数根；当 Δ = b2 - 4ac = 0时，有两个相等的实数根；当 Δ = b2 - 4ac < 0时，没有实数根．
20 ．证明见解析
【分析】连接 BC ，根据两直线平行，内错角相等，得出 上BCE = 上CBO ，再根据等边对等 角，得出上CBO = 上BCO ，再根据等量代换，得出 上BCO = 上BCE ，进而得出
上BCD = 上BCE ，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接 BC ，
: CE Ⅱ AB ，
: 上BCE = 上CBO ， : OB = OC ，
: 上CBO = 上BCO ，
: 上BCO = 上BCE ， 即上BCD = 上BCE ，
: B 是弧DE 的中点．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等边对等角、圆周角定理， 解本题的关键在熟练掌握相 关的性质、定理．
21 ．(1)见解析
【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质， 勾股定理，求出BC = 4 是解本题的关键．
（1）先判断出 BD 是圆O 的直径，再判断出BD 丄 DE ，即可得出结论；
（2）先判断出AC ^ BD ，进而求出BC = AB = 4 ，再用勾股定理求出BD ，根据三角形的面
积公式即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接 BD ，
Q上BAD = 90° ,
: 点O 必在BD 上，即：BD 是直径， :上BCD = 90° ,
:上DEC + 上CDE = 90° ,
Q 上DEC = 上BAC ，
:上BAC + 上CDE = 90° ,
∵ BC = BC ，
:上BAC = 上BDC ，
:上BDC + 上CDE = 90° ,
:上BDE = 90° ,即： BD 丄 DE ， Q 点D 在eO 上，
:DE 是eO 的切线；
（2）解：Q DE Ⅱ AC ， Q 上BDE = 90° ,
:上BFC = 90° , 即BF ^ AC ，
在Rt△BCD 中
: CF = BC . CD = 2 × 4 = 4 ，
BD 2 5
22 ．(1)①④
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了新定义方程，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式，
（1）根据美好方程的定义，看出，当a + b + c =0 时，方程有一个根为x =1 ，分别代入计算 即可．
（2）根据美好方程的定义，看出，当a + b + c =0 时，方程有一个根为x =1 ，利用根的判别 式计算判断即可．
（3）根据美好方程的定义，计算判断即可．
【详解】（1）方程x2 + 2x - 3 = 0 ，1+ 2 - 3 = 0 ，方程①是美好方程； 方程x2 - 3x = 0 ，1- 3 = -2 ≠ 0 ，方程②不是美好方程；
方程x2 + 1 = 0 ，1+1 = 2 ≠ 0 ，方程③不是美好方程；
方程x (x -1) = 2 (x -1)，整理，得 x2 - 3x + 2 = 0 ，1- 3 + 2 = 0 ，方程④ 是美好方程；
故答案为：①④.
（2）:一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ， : a + b + c = 0 ，
:-b = a + c ，
: Δ = b2 - 4ac = (a + c)2 - 4ac = (a - c)2 ≥ 0 ， :美好方程ax2 + bx + c = 0总有两个实数根．
（3）方法 1 :美好方程(b - c )x2 + (c - a )x +(a - b) = 0 有两个相等的实数根， :(b - c ) + (c - a ) + (a - b) = 0 ，
: Δ = b2 - 4ac = (c - a )2 - 4(b - c )(a - b) = 0 ， : c2 - 2ac + a2 - 4ab + 4b2 + 4ac - 4bc = 0 ，
: c2 + 2ac + a2 - 4ab - 4bc + 4b2 = 0 ，
: (c + a )2 - 2(a + c).(2b) + (2b)2 = 0 ， : (c + a - 2b)2 = 0 ，
故c + a - 2b = 0 ， 故a + c = 2b ．
方法 2 将x = 1 代入美好方程(b - c )x2 + (c - a )x +(a - b) = 0 ，得 左边= (b - c ) + (c - a ) + (a - b) ，右边 = 0
∵美好方程(b - c )x2 + (c - a )x +(a - b) = 0 有两个相等的实数根， :(b - c ) + (c - a ) + (a - b) = 0 ，
: x = 1 是美好方程(b - c )x2 + (c - a )x +(a - b) = 0 的一个根， :方程的另一个根也是x = 1 ，
: a - b = b - c ， : a + c = 2b ．
证明见解析；（2）⊙O 的半径为
【分析】（1）连接 AO 并延长交ΘO 于点 G，连接 CB、BG，根据点 OF 分别是 AGAB 中点， 得到 OF 是△ABG 的中位线，则有OF = BG ，再根据同弧所对的圆周角相等可得
上AGB = 上ECB ，直径所对的圆周角是直角可得上ABG = 90° ,则有 上BAG + 上AGB = 90° , 根据AC ^ BD ，上ECB + 上EBC = 90° ,从而可得 上BAG = 上EBC ，BG = CD ，继而可得
（2）在 Rt△AOF 中，根据勾股定理可求得ΘO 的半径． 解 理由如下：
连接 AO 并延长交ΘO 于点 G，连接 CB 、BG，
∵ OF 丄 AB ， : AF = BF ，
∵ AO = GO ，
:OF 是△ABG 的中位线，
∵AG 是ΘO 的直径， : 上ABG = 90° ,
: 上BAG + 上AGB = 90° , ∵ AC ^ BD ，
: 上CEB = 90° ,
: 上ECB + 上EBC = 90° , ∵ 上AGB = 上ECB ，
: 上BAG = 上EBC ， 即上BAG = 上EBC ， : BG = CD ，
由 得 在Rt△AOF 中
:ΘO 的半径为 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理， 圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系， 解题的 关键是能够作辅助线构造以 OF 为中位线的三角形．
24 ．(1)见解析
(2) 60°
【分析】（1）连接 AD 、AC ．根据“圆内接四边形对角互补”以及同角的补角相等，推知
上CKF = 上ADC ；然后由垂径定理以及等弧所对的圆周角相等证得上ADC = 上AKD ；最后根 据等量代换证得结论；
1
（2）连接OD ．利用垂径定理知DE = CE = CD = 2， 然后在Rt△ODE 中根据勾股定理
2
求得OE = 2 ，最后在 Rt△ADE 中利用三角函数的定义求得tan上ADE = ，由等量代换知
上CKF = 60° .
【详解】（1）证明：连接 AD 、AC ，
∵ 上CKF 是圆内接四边形ADCK 的外角，
: 上CKF + 上AKC = 180° , 上AKC + 上ADC = 180°
: 上CKF = 上ADC ，
∵ AB 为ΘO 的直径，弦CD 丄 AB ，
: AD = AC ，
: 上ADC = 上AKD ， : 上AKD = 上CKF ；
（2）解：连接OD ，
∵ AB 为ΘO 的直径，AB = 8 ， : OD = OA = 4 ，
∵弦CD 丄 AB ，CD = 4 ，
在Rt△ODE 中 : AE = OA + OE = 6 ，
在Rt△ADE 中，tan上 : 上ADE = 60° ,
∵ 上CKF = 上ADC = 上ADE = 60° .
【点睛】此题考查了等弧所对的圆周角相等、圆内接四边形的性质、垂径定理、勾股定理以
及解直角三角形等知识，熟练运用有关知识是解题的关键．
25 ．（1）见解析；（2）上A＋上AED = 180° , Ð C ；（3） ．
【分析】（1）连接OB 、OD ，由 上1 和 Ð C 、上2 和 Ð A 为同弧所对的圆心角和圆周角， 得出：上 上上1，已知 上1+ 上2 = 360° ,即可得出 上A + 上C = 180° ,
同理上ABC + 上ADC = 180° ;
（2）由圆内接四边形对角互补、等量代换即可求解；
（3）由 △DEF 是等边三角形得出上EDF = 上EFD = 60° ,已知 上BAC = 120° ,所以
上BAC + 上EFD = 180° , 从而得出：A 、D 、F 、E 四点共圆，由同圆或等圆中，同弧所对 的圆周角相等得：上BAF = 上EDF = 60° ；作上BAM = 60° , 点F 始终在射线AM上运动， 由 垂线段最短可知，当BF 丄 AM ，即点 F ¢ 处时，BF 最小，最后用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如下图，连接OB 、OD ， Q 上 上上1，且 上1+ 上2 = 360° ,
同理上ABC + 上ADC = 180° ,
: 上A＋上C = 上B＋上D = 180° ;
（2）上A + 上BED = 180° , Ð C ；
（3）Q △DEF 是等边三角形， : 上EDF = 上EFD = 60° ,
Q 上BAC = 120° ,
: 上BAC + 上EFD = 180° ,
: A 、D 、F 、E 四点共圆，
: 上BAF = 上EDF = 60° （同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）
:作上BAM = 60° ,点 F 始终在射线AM上运动，
由垂线段最短可知，当BF 丄 AM ，即点 F ¢ 处时，BF 最小，
在Rt△ABF ¢ 中，上1 = 30° ,
故BF 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的定义， 等边三角形，含30° 的直角三角形定理，圆内接四边形 对角互补，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟知圆内接四边形对角互补和同圆 或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
26 ．（1）120°,6 ；（2）①135° ；@ 3 - 3
【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过O 作OM 丄 AB ,求得上AOB = 120° ,
进而求得上OAM = 30° , 根据 即可求得AO ；
（2）①根据已知条件可得上APE = 180° - (上PAE + 上PEA) = 180° - (上EAF + 上AEF) ，证明
△APE≌△APB ，即可求得 上BPA；
@如图，作△APB 的外接圆，圆Q，连接 AQ, BQ, CQ，过Q 作QN 丄 BC 交的CB 延长线于 点N ，由题意的由“定弦定角”模型，可知上APB = 135° , AB = 6 ,作出△APB 的外接圆，圆Q ， 设圆的半径为r ，则PC 的最小值即为CQ - r ，根据勾股定理即可求得r ，CQ ，从而求得最 小值．
【详解】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过O 作OM 丄 AB ,
Q 上AOB = 2上ACB ，上ACB = 60° ,
:上AOB = 120° ,
QOA = OB, OM 丄 AB ，
:上OAM = 30°
故答案为：120°,6 ；
（2）① Q EF 丄 AB ， :上EFA = 90° ,
:上EAF + 上AEF = 90° ,
Q 点P 是△AEF 的内心，
\ PA, PE 平分上EAF, 上AEF ，
Q AE = AB, 上EAP = 上BAP, AP = AP ， : △APE≌△APB ，
: 上BPA = 上APE = 135° ;
@如图，作△APB 的外接圆，圆Q，连接 AQ, BQ, CQ，过Q 作QN 丄 BC 交的CB 延长线于 点N ，
由题意的由“定弦定角”模型，可知上APB = 135° , AB = 6 ,
作出△APB 的外接圆，圆心为Q，设圆的半径为 r ，则 PC 的最小值即为CQ - r ， Q 上APB = 135° ,
设优弧 所对的圆心角优角为a ，
则a = 270° ,
:上AQB = 90° , Q QA = QB ，
:上ABQ = 上BAQ = 45° ,
Q AB = 6 ，
QQN 丄 BC ，四边形 ABCD 是正方形，
:AB ^ BC ，
: AB//QN ，
:上BQN = 上ABQ = 45° ,
:QN = NB = 3，
: CN = BC + BN = 9 ，
: PC 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定 理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键．