2025~2026学年度广东广雅中学九年级上学期月考数学试卷【附答案】

这是一份2025~2026学年度广东广雅中学九年级上学期月考数学试卷【附答案】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025 学年第一学期九年级阶段性评估试卷（1）
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，25 小题，满分 120 分，考试用时
120 分钟．注意事项：
1 ．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、 考号等相关信息填写在答题卡指定区域内．
2 ．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．
3 ．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4 ．考生必须保持答题卡的整洁．
5 ．不能使用计算器．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026 年）》，预计 2026 年广东省低空经济规模将超过 3000 亿元．数据 3000 亿用科学记数法表示为
( )
A ．3 × 109 B ．3 × 1010 C ．30 × 1010 D ．3 × 1011
2 ．计算 × 的结果是( )
A ．3 B ．6 C ． D ．
3 ．如图，点D ，E ，F 分别是 △ABC 各边上的中点，上A = 70° ,则 上EDF = ( )
A ．20° B ．40° C ．70° D ．110°
4 ．把抛物线y＝x2+1 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛
物线的解析式为( )
A．y＝（x+3）2+1 B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x -1）2+4 D．y＝（x+1）2+4
5 ．利用配方法解方程 时，应先将其变形为( )
A ． B ．
C ． D ．
6 ．方程 x2 -9x＋18 ＝0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长 为( )
A ．12 B ．15 C ．12 或 15 D ．不能确定
7 ．已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线 y=3x2+12x+m 上的点，则y1， y2，y3 的大小关系为( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3 ＜y1
8 ．某小区利用一块长方形空地建一个停车场，其布局如图所示．已知停车场的 长为52 米，宽为34 米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，要使 停车位占地面积为880m2 ，则通道宽应为多少米？设通道宽为x 米，可列方程为 ( )
A ．52 × 34 - 52x - 34x = 880 B ．(52 - 2x)(34 - 2x)+ 2x2 = 880
C ．(52 - 2x)(34 - 2x) = 880 D ．52 . 2x + 34 . x = 52 × 34 - 880
9 ．若一次函数y = (m + 1)x + m 的图像过第一、三、四象限,则函数y = mx2 - mx ( )
A ．有最大值 B ．有最大值 C ．有最小值 D ．有最小值
10．如图，抛物线y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 与x 轴交于点 ，与y 轴的交点B 在(0, 0) 和(0, -1) 之间（不包括这两点），对称轴为直线，则下列结论： ① x > 3时，
其中正确的个数是 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，直线l 分别与直线a ，b 相交，a P b ，若上1 = 71° , 则上2 的度数为 ．
12 ．若 ·在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．
13 ．分解因式：x3 - 25x = .
14 ．如图，直线y = x + m 和抛物线y = x2 + bx + c 都经过点A(1, 0), B(3, 2) ，不等式 x2 + bx + c < x + m 的解集 .
15 ．二次函数y = -x2 - 2x + 3 在-3 ≤ x ≤ 2 的范围内有最小值 ．
16 ．已知方程x2 + 2023x - 5 = 0 的两根分别是a 和β ,则代数式 a2 + β + 2024a 的值
为 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出文字说明和运算步骤）
17 ．解方程：
(1) x2 - 4x = 0
(2) 4x2 - 4x - 3 = 0
18 ．如图，将。ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE = DC ，连接AE ，交BC 于点F ， 连接AC, BE ．求证：四边形ABEC 是平行四边形．
19 ．二次函数y = -x2 + bx + c （b ，c 为常数）的图象经过点(2, 3), (3, 0) ．
(1)在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)根据图象，当-1 < x < 3时，求y 的取值范围．
20 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - (2m -1)x + m2 = 0 有两个实数根．
(1)求实数 m 的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个根x1 和x2 满足(x1 - 2)(x2 - 2) = 11，求实数 m 的值．
21 ．如图， 已知点M (x1, y1 ) ，N (x2, y2 ) 在二次函数y = a (x - 2)2 -1(a > 0) 的图象上， 图象经过点(3,1) 且x2 - x1 = 3．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若y1 = y2 ，求顶点到直线MN 的距离．
22．某水果店将标价为 10 元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为 8.1 元/斤， 并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第 1 天算起，第 x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费 用的相关信息如下表所示：
已知该水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第 x（天）的利润为 y（元），求 y 与 x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润 是多少？
23．如图，在Rt△ABC 中，ÐB = 90° , AB = 6cm ，BC = 3cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm / s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以1cm / s 的速度移 动，如果P, Q 两点同时出发，设运动时间为t 秒(0 < t < 3)．
(1)当t 为何值时， △BPQ 为等腰三角形？
(2)是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求此时t 的 值；若不存在，请说明理由．
时间（天）
x
销量（斤）
120 -x
储藏和损耗费用（元）
3x2 -64x+400
24．某数学小组在公园游玩时，发现公园管理方用多条形状近似成抛物线的绳子， 挂起多串小彩旗装饰，如图 1 所示．该数学小组的成员想知道不同位置的安全通 过高度，做了以下研究．设撑起绳子的树干为AB, CD ，如图 2 建立平面直角坐标 系，经过测量，发现点B 与点D 相距 8 米，且 A ，C 距离地面高度相等，其中一 条绳子的最低点离地面高1.4 米，绳结A 离地面高 3 米．
(1)求这条绳子所在抛物线的解析式．
(2)因实际需要，在离AB 为 3 米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图 3），使 左边抛物线F1 的最低点距MN 为 1 米，离地面 2 米，求MN 的长．
(3)将立柱MN 的长度提升为 3 米，通过调整MN 的位置，使抛物线F2 对应函数的 二次项系数始终为 ，设MN 离AB 的距离为m 米，抛物线F2 的顶点离地面距离为 k 米，当 时，求m 的取值范围．
25 ．平面直角坐标系xOy 中，抛物线 为实数）．
(1)求抛物线G 的对称轴；
(2)已知A (x1, y1 ) 和B (x2, y2 ) 是抛物线G 上的两点，若对于 都有 y1 < y2 ，求m 的取值范围；
(3)当1 < x < t 时（其中t 为实数且t > 1），抛物线G 的图象总在直线l : y = x 的下方， 求t 的最大值．
1 ．D
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中
1 ≤
a < 10 ，n 为整数，正确确定a 以及n 的值是解题的关键．确定n 的值时，要看把原数
变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：3000 亿= 3000 × 108 = 3 × 1011 ．
故选：D．
2 ．B
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法， 正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答 案．
故选：B．
3 ．C
【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到DE ，DF 是△ABC 的中位线，得到 DE∥AC ，DF P AB ，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】∵点D ，E ，F 分别是△ABC 各边上的中点， : DE ，DF 是△ABC 的中位线
: DE∥AC ，DF P AB : 上DEB = 上A = 70° ∵ DF P AB
: 上EDF = 上DEB = 70° .
故选：C．
4 ．D
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解： 由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+1 向左平移 1 个单位所得抛物线的 解析式为：y＝（x+1）2+1，
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x+1）2+1 向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式 为：y＝（x+1）2+1+3，即 y＝（x+1）2+4．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟悉掌握平移的规律是解题的关键．
5 ．B
【分析】先将常数项移项到等号右侧,再将二次项系数化为 1，左边跟右边同时加减同一个常 数,使能够写出完全平方的形式可得答案.
【详解】解: 用配方法解方程 的过程如下:
移项,得 ,
二次项系数化为 ,
两边同时时加上（- ）2 得：
可得： .
故答案为:B.
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次力程.
6 ．B
【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长． 【详解】解：方程变形得：(x - 3)(x - 6) = 0 ，
解得：x1 = 3 ，x2 = 6 ，
当 3 为腰，6 为底时，三角形三边为 3 ，3 ，6，不能构成三角形，舍去； 当 3 为底，6 为腰时，三角形三边为 6 ，6 ，3，周长为 6＋6＋3 ＝15，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论．
7 ．B
【分析】根据二次函数图象上点的坐标的特征比较 y1，y2，y3 的大小，即可得到答案． 【详解】Q （-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线 y=3x2+12x+m 上的点
: y=3x2+12x+m 的对称轴为直线 开口向上
:x = -3 时与x = -1 时关于x = -2 对称
Q （-3，y1）在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小
:y1 > y2
Q （1，y3）在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，且1 > -1
:y3 > y1
: y2＜y1＜y3
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，利用二次函数图象上点的坐标关于对 称轴对称的特征是解题的关键．
8 ．C
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积 问题是解题的关键．利用平移的性质可得停车位组成一个边长为(52 - 2x)米，(34 - 2x)米的 长方形，再根据矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：利用平移的性质可得停车位形成一个边长为(52 - 2x)米，(34 - 2x)米的长方形， 则可列方程(52 - 2x)(34 - 2x) = 880 ．
故选：C．
9 ．B
【详解】解：∵一次函数 y=（m+1）x+m 的图象过第一、三、四象限， :m+1＞0 ，m＜0，即-1＜m＜0，
:函数 有最大值，
:最大值为 ， 故选 B．
10 ．D
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，对称性和特殊点判断①,对称轴判断 ②,对称轴和特殊点求出a, c 的关系，判断③,对称轴与特殊点判断④；掌握二次函数的 图象和性质，是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 与x 轴交于点 对称轴为直线 ， ,抛物线 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 与x 轴的另一个交点坐标为 ，
: b = -3a ，当x >3, y < 0 ，故①正确；
∵抛物线的开口向下， : a < 0 ，
: 4a + b = 4a - 3a = a < 0 ；故②正确；
∵抛物线y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 与x 轴交于点 ，
∵抛物线与y 轴的交点B 在(0, 0) 和(0, -1) 之间（不包括这两点），
故③正确；
由图象可知，当x =1 时，a + b + c > 0 ，
: a - 3a + c > 0 ，
: c > 2a ；故④正确；
综上：正确的有 4 个；
故选：D．
11 ．109°
【分析】本题考查的是平行线的性质， 邻补角的含义，先证明上1 = 上3 = 71° , 再利用邻补角 的含义可得答案．
【详解】解：如图，
∵ a P b ，上1 = 71° ,
: 上1= 上3 = 71° ,
: 上2 = 180° - 上3 = 109° ; 故答案为：109°
12 ．x ≥ 9
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得 x - 9 ≥ 0 ， 解得：x ≥ 9 ．
故答案为：x ≥ 9
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是 解题的关键．
13 ．x (x + 5)(x - 5)
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】x3 - 25x = x (x2 - 52 ) = x (x + 5)(x - 5)．
故答案为： x (x + 5) (x - 5)．
14 ．1 < x < 3
【分析】求关于 x 的不等式 x2+bx+c＜x+m 的解集，实质上就是根据图象找出函数y=x+m 的 值大于函数y=x2+bx+c 值时 x 的取值范围；由两个函数图象的交点及图象的位置，即可求得 范围.
【详解】依题意得求关于 x 的不等式 x2+bx+c＜x+m 的解集，
实质上就是根据图象找出函数y=x+m 的值大于函数 y=x2+bx+c 值时 x 的取值范围，而
y=x2+bx+c 的开口方向向上，且由两个函数图象的交点为 A（1，0），B（3，2），结合两个图 象的位置，可以得到此时 x 的取值范围：1＜x＜3.
故答案为：1＜x＜3.
【点睛】本题考查了利用函数图像解不等式，解答此题的关键是把解不等式的问题转化为比 较函数值大小的问题.
15 ．-5
【分析】本题考查二次函数的图像和性质， 二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关 键．先求出二次函数图像的对称轴为直线x = -1 ，对称轴在 -3 ≤ x ≤ 2 的范围内，利用二次 函数的增减性求得最小值即可．
【详解】解：y = -x2 - 2x + 3 ，
则二次函数图像的对称轴为直线 且开口向下，
在-3 ≤ x ≤ -1时，y 随 x 的增大而增大，
:当x = -3 时，y = - (-3)2 - 2× (-3) + 3 = 0 ， 在-1 < x ≤ 2 时，y 随 x 的增大而减小，
:当x = 2 时，y最小 = -22 - 2× 2 + 3 = -5 ， Q -5 < 0 ，
故在-3 ≤ x ≤ 2 范围内最小值为-5 ．
故答案为：-5 ．
16 ．-2018
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是 解决问题的关键．a2 + β + 2024a = a2 + 2023a + a + β ,根据一元二次方程根的意义和一元 二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：:方程x2 + 2023x - 5 = 0的两根分别是a 和 β , : a + β = -2023 ，a2 + 2023a = 5 ，
: a2 + β + 2024a ，
= a2 + 2023a + a + β ,
= 5 - 2023 ，
= -2018 ．
故答案为：-2018 ．
17 ．(1) x1 = 0 ，x2 = 4
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：x2 - 4x = 0 ，
x (x - 4) = 0 ，
x1 = 0 ，x2 = 4 ；
（2）解：4x2 - 4x - 3 = 0 ，
18 ．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定， 掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行 四边形的性质得出AB = CD ，AB∥CD ，可得出AB Ⅱ CE ，因为CE = DC ，可得出AB = CE ， 根据平行四边形的判定得出即可．
【详解】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形， : AB = CD ，AB∥CD ，
Q CE = CD ，
: AB Ⅱ CE ，AB = CE ，
: 四边形ABEC 是平行四边形．
19 ．(1)图象见解析
(2)0 < y ≤ 4
【分析】本题考查二次函数图象和二次函数的取值范围：
（1）待定系数法求出二次函数解析式，然后列表，描点，连线，即可得到图象；
（2）从图象观察在-1 < x < 3 之间图象的最低点函数值和最高点函数值，由此可得y 的取值 范围．
【详解】（1）解：Q 二次函数y = -x2 + bx + c 的图象经过点(2, 3), (3, 0) ，
解得 ，
:二次函数的解析式为y = -x2 + 2x + 3 ，
列表如下：
描点并连线得：
;
（2）由图可知，当 -1 < x < 3 时，0 < y ≤ 4 ．
20 ．
(2) -1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内 容是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1 + x2 = 2m -1 ，x1 . x2 = m2 ，再代入即可解答． 【详解】（1）解：∵关于 x 的一元二次方程x2 - (2m -1)x + m2 = 0 有两个实数根，
: Δ = - (2m -1)2 - 4× 1 × m2 = (2m -1)2 - 4m2 ≥ 0 ， 解得
即当m ≤ 时，方程有两个实数根；
（2）解：∵ x2 - (2m -1)x + m2 = 0 ，
:由根与系数的关系，得x1 + x2 = 2m -1 ，x1 . x2 = m2 ． Q(x1 - 2)(x2 - 2) = 11 ，
:x1x2 - 2(x1 + x2 ) + 4 = 11 ．
:m2 - 2(2m -1) + 4 = 11，
x
-1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
:m2 - 4m - 5 = 0 ．
解方程，得m1 = 5 或m2 = -1 ．
:m = -1 ．
21 ．(1) y = 2x2 - 8x + 7 (2)
【分析】（1）把点（3 ，1）代入二次函数的解析式求出 a 即可；
（2）判断出 M，N 关于抛物线的对称轴对称，求出点 M 的纵坐标，可得结论； 【详解】（1）解：将点 (3,1) 代入y = a (x - 2)2 -1(a > 0) 中，
:1= a (3 - 2)2 -1，解得: a = 2 ，
:二次函数的表达式为：y = 2(x - 2)2 - 1 = 2x2 - 8x +7 ；
（2）解：∵ y = 2 (x - 2)2 -1，
:二次函数图象的解析式为直线x =2 ，顶点坐标为(2, -1) ， ∵ y1 = y2
:点 M，N 关于对称轴x =2 对称， : x2 + x1 = 4
又Qx2 - x1 = 3 ，
即直线MN 为： 又Q 二次函数的顶点坐标为(2, -1) ，
2 2
:顶点(2, -1) 到MN 的距离为 7 + 1 = 9 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题， 考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是 理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
22 ．（1）10%；（2）y ＝ -3x2+60x+80，第 9 天时销售利润最大，最大利润是 377 元
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；
（2）根据题意和表格中的数据，可以求得 y 与 x（1≤x＜10）之间的函数解析式，然后利用 二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．
【详解】解：（1）设该水果每次降价的百分率为 x， 10（1 -x）2 ＝8.1，
解得，x1 ＝0.1 ，x2 ＝1.9（舍去），
答：该水果每次降价的百分率是 10%；
（2）由题意可得，
y＝（8.1 -4.1）×（120 -x） -（3x2 -64x+400）＝ -3x2+60x+80 ＝ -3（x -10）2+380， :1≤x＜10，
:当 x ＝9 时，y 取得最大值，此时 y ＝377，
由上可得，y 与 x（1≤x＜10）之间的函数解析式是 y ＝ -3x2+60x+80，第 9 天时销售利润最 大，最大利润是 377 元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、 一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利 用二次函数的性质和方程的知识解答．
23 ．(1) t = 2
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质， 一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握相关知 识．
（1）依题意得：AP = 2tcm ，BQ = tcm ，当 △BPQ 为等腰三角形时，只有BP = BQ ，列出 方程即可求解；
（2）PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则可知S△ △ABC ，由此列方程解题即可 【详解】（1）解：依题意得：AP = 2tcm ，BQ = tcm ，
:BP = (6 - 2t)cm ，
当 △BPQ 为等腰三角形时，BP = BQ ， :6 - 2t = t ，
解得：t = 2 ，
: 当t = 2 时， △BPQ 为等腰三角形；
（2）解：不存在某时刻 t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分；理由如下：
依题意得 △ABC ，
2t2 - 6t + 9 = 0 ，
Q Δ = 36 - 72 < 0 ，
:方程无实根，
:不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．
24 ．
(2) 2.25 米
(3) 4 ≤ m ≤ 8 - 2
【分析】本题考查确定二次函数的解析式， 二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问 题的关键．
（1）由题意，抛物线过A(0, 3) ，且顶点坐标为(4,1.4) ，设解析式为y = a (x - h)2 + k ，带入 求解即可；
（2）利用顶点式求出抛物线F1 的解析式，进而得出x =3 时y 的值，则得出MN的长；
（3）根据题意得出抛物线F2 的顶点坐标，因为抛物线F2 对应函数的二次项系数始终为 ， 可得到抛物线F2 的解析式，又因为抛物线过C(8,3) ，代入可得出 k 是关于 m 的二次函数， 由 ，根据二次函数的增减性可得 m 的取值范围．
【详解】（1）解：:绳结A 离地面高 3 米， : A (0, 3) ，
:A ，C 距离地面高度相等，
:A ，C 关于抛物线对称轴对称，
: BD = 8 米，绳子的最低点离地面高1.4 米， :顶点坐标(4,1.4) ，
设抛物线解析式为y = a (x - h)2 + k ，
∵顶点坐标(4,1.4) ，
:解析式为y = a (x - 4)2 +1.4 ， ∵抛物线过A(0, 3) ，代入得：
3 = a (0 - 4)2 +1.4 ， 解得： ，
故解析式为
（2）解： 由题意可得：BN = 3 米，
∵左边抛物线F1 的最低点距MN 为 1 米，离地面 2 米， :抛物线F1 的顶点坐标为：(2, 2)，
设F1 的解析式为：y = a (x - 2)2 + 2 ，
将A(0, 3) 代入得：4a + 2 = 3 ，
解得：a = 0.25 ，
:抛物线F1 为：y = 0.25 (x - 2)2 + 2 ， 当x = 3 时，y = 0.25 × 1+ 2 = 2.25 米， :MN 的长度为：2.25 米；
（3）解：∵将立柱MN的长度提升为 3 米， :MN = DC = 3 ，
:根据抛物线的对称性可知抛物线F2 的顶点在ND 的垂直平分线上，
∵ MN 离AB 的距离为m 米，抛物线F2 的顶点离地面距离为k 米， :抛物线F2 的顶点坐标为
:可设抛物线F2 的解析式为 把C(8,3) 代入得
解得： 且m < 8 ，
解得：m1 = 4 ，m2 = 12 （不符合题意，舍去），
解得：m1 = 8 - 2 ，m2 = 8 + 2 （不符合题意，舍去）， Qk 是关于m 的二次函数，且抛物线开口向下，
而由已知m < 8 ，
:k 随 m 的增大而增大
:m 的取值范围是：4 ≤ m ≤ 8 - 2 ．
25 ．(1) x = m
(2) m > 4 或m < (3)9
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质， 与一次函数图象的交点问题，利用数形结合 的思想求解是解决本题的关键．
（1）由抛物线对称轴公式求解即可；
（2）分三种情况讨论，m > 0 或m < 0 或m = 0 ，分别画出图形，利用二次函数的性质分析即 可；
联立 消y 得x2 - x + m2 = 0 ，结合图象知关于x 的方程 x2 - (2m + 4)x + m2 = 0 的两个根为x1 = 1 ，x2 = t ，将 x =1 代入方程得，解得m1 = -1，
m2 = 3 ，当 m1 = -1 时，方程为x2 - 2x +1 = 0 ，解得 x1 = =x2 1，舍去；当 m1 = 3 时，方程为
x2 - 10x + 9 = 0 ，解得 x1 = 1 ，x2 = 9 ，故 t = 9 ．
【详解】（1）解：抛物线G 的对称轴为直线
解：点 关于抛物线对称轴的对称点为
3 1
①当m > 0 时， m > m > m > 0 ，
2 2
: A(x1, y1 ) 在对称轴右侧，
:对于 都有y1 < y2 ，
: m > 4 或0 < m < ，
②当m < 0 时
: A(x1, y1 ) 在对称轴左侧 在对称轴右轴， B (x2, y2 ) 在对称轴右侧，
: y1 < y2 恒成立；
1 2
③当m = 0 时，y = 4 x ，y1 < y2 成立，
综上，m > 4 或m < ；
解：联立 消y 得x2 - (2m + 4)x + m2 = 0 ，
:当1 < x < t时（其中t 为实数且t > 1），抛物线G 的图象总在直线y= x 的下方，且t 最大， 结合图象知关于x 的方程x2 - (2m + 4)x + m2 = 0 的两个根为x1 = 1 ，x2 = t ，
将x =1 代入方程得， 1- (2m + 4) + m2 = 0 ，
解得m1 = -1 ，m2 = 3 ，
当m1 = -1 时，方程为x2 - 2x +1 = 0 ，
解得x1 = =x2 1， ∵ t > 1，
:不符合题意，舍去；
当m1 = 3 时，方程为x2 - 10x + 9 = 0 ， 解得x1 = 1 ，x2 = 9 ，
: t = 9 ；
综上，t 的最大值为 9．