初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）第十六章 轴对称和中心对称16.3 角的平分线精品复习练习题

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）第十六章 轴对称和中心对称16.3 角的平分线精品复习练习题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，∠B=∠C=90∘，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110∘，则∠MAB=( )
A. 30∘B. 35∘C. 45∘D. 60∘
2.如图，在△ABC中，∠C=90∘，利用尺规在AC，AB上分别截取AE，AD，使AE=AD，分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交BC于点G.若CG=4，AB=8，则▵ABG的面积为 ( )
A. 12B. 16C. 24D. 32
3.如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：(1)PE=PF；(2)点P在∠COD的平分线上；(3)∠APB=90°−∠O，其中正确的有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC延长线上一点，FG⊥AE交AE的延长线于点M，交AD的延长线于点G，AC的延长线交FC于点H，连接BG，则下列结论：①∠BAG=∠F；②∠AGH=∠MEF；③S△AEB：S△AEC=AB：AC；④若GM=EM，则△AGM≌△FEM.其中正确的有( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
5.如图，射线OC是∠AOB的平分线，D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD=3，若Q是射线OB上一点，OQ=5，则阴影部分的面积为( )
A. 15
B. 5
C. 3
D. 152
6.如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90 ∘，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB=10，BC=6，则线段CD的长为( )
A. 3B. 103C. 83D. 165
7.如图，▵AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：(1)PE=PF；(2)点P在∠COD的平分线上；(3)∠APB=90 ∘−∠O，其中正确的有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
8.如图，在△ABC中，∠B=90°，依据尺规作图痕迹，给出结论：①∠CDE=∠CAB；结论②AB+EC=AC.下列判断正确的是( )
A. ①②都正确
B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确
D. ①②都错误
9.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，添加一个条件，使△ABC≌△ADC，下列条件不符合的是( )
A. AB=AD
B. ∠1=∠2
C. BC=CD
D. ∠B=∠D
10.(2分)如图，在▵ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD=DE，连接BE，若AB=3AC，▵BDE的面积为9，则▵ABC的面积是( )
A. 6B. 9C. 12D. 15
11.如图，AD是▵ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S▵ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是( )
A. 3B. 4C. 6D. 5
12.如图，△ABC为等边三角形，△ADE为等腰三角形，其中∠AED=120°，AE=DE，且B，C，D在同一直线上.连接BE和CE.则以下结论中正确的个数为( )
①∠BAE+∠CDE=180°；②BE为∠ABC的平分线；③AE=CE；④∠ECD=60°．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积是 ．
14.如图，AB=BE，∠DBC=12∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是： .(填序号)
①BC平分∠DCE；
②∠ABE+∠ECD=180°；
③AC=2BE+CE；
④AC=2CD−CE．
15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，DC=12AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为 ．
16.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，AC= 6.若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN+PC的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN.若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
(1)求证：OP平分∠AOB;
(2)若MN=8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．
18.(本小题8分)
如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点P．
(1)延长BA至点E，求证：AP平分∠CAE；
(2)若∠BPC=40°，求∠CAP的度数．
19.(本小题8分)
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．
求证：点F在∠DAE的平分线上．
20.(本小题8分)
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
21.(本小题8分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD,BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AC=10，BE=2，求AB的长．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．
求证：(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB．
23.(本小题8分)
如图，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，请你通过尺规作图找出这一点P(不写作法，保留作图痕迹)．
24.(本小题8分)
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.F是OC上的另一点，连接DF、EF.求证：DF=EF．
25.(本小题8分)
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF=EF．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】如图，作MN⊥AD于N．
∵∠B=∠C=90∘，
∴AB/​/CD，
∴∠DAB=180∘−∠ADC=70∘，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，
又∵MN⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB，
∴∠MAB=12∠DAB=35∘.故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作GM⊥AB于M，根据角平分线的性质得到GM=CG=4，再根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：如图，作GM⊥AB于M，
由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，
∵∠C=90∘，GM⊥AB，
∴GM=CG=4，
∴△ABG的面积=12×AB×GM=12×4×8=16，
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
(1)作PH⊥AB于H，证明△PEA≌△PHA，得到PE=PH，同理可证PF=PH即可得到结论；
(2)根据角平分线的判定定理解答即可；
(3)根据全等三角形的性质证得∠EPA=∠HPA，∠FPB=∠HPB，再根据四边形内角和即可证得∠APB和∠O关系．
【解答】
解：(1)证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE=∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
∠PEA=∠PHA=90°∠PAE=∠PAHPA=PA，
∴△PEA≌△PHA(AAS)，
∴PE=PH，
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF=PH，
∴PE=PF，
∴(1)正确；
(2)与(1)可知：PE=PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴(2)正确；
(3)∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP=360°，
又∵∠OEP+∠OFP=90°+90°=180°，
∴∠O+∠EPF=180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB=180°，
由(1)知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA=∠HPA，
同理：∠FPB=∠HPB，
∴∠O+2(∠HPA+∠HPB)=180°，
即∠O+2∠APB=180°，
∴∠APB=90°−∠O2，
∴(3)错误；
正确的结论有(1)(2)，共2个．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：∵AD⊥BC，FG⊥AE，∠AED=∠FEM，
∴∠ADE=∠FME=90°，
∴∠DAE=∠F，
∵从现有条件无法得出，
∴∠DAE=∠BAG，
∴无法得出∠BAG=∠F，
故①错误，不符合题意；
∵AG⊥BF，AM⊥GF，
∴∠GDF=∠EMF=90°，
∴∠AGH+∠F=90°，∠MEF+∠F=90°，
∴∠AGH=∠MEF，
故②正确，符合题意；
∵AE平分∠BAC，
∴点E到AB，AC的距离相等，都设为ℎ，
∴S△AEB：S△AEC=12AB⋅ℎ：12AC⋅ℎ=AB：AC，
故③正确，符合题意；
在△AGM和△FEM中，
∠DAE=∠F∠AMG=∠FMEGM=EM，
∴△AGM≌△FEM(AAS)，
故④正确，符合题意；
故选：C．
根据直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的平分线性质进行求解判断即可．
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的平分线性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图，过D作DE⊥OB于H，
根据角平分线的性质可得：
∴DE=PD=3，
∴S△OQD=12OQ⋅DE=12×5×3=152；
故选：D．
角平分线上一点到角的两边的距离相等，根据此性质过D作DE⊥OB于H，则得DE=PD=3，由三角形面积公式即可求解．
本题考查了角平分线的性质定理，正确记忆角平分线上一点到角的两边的距离相等是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，
在Rt△ABC中，AC=AB2−BC2=102−62=8，
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，
∴12⋅DE×10+12⋅CD×6=12×6×8，
即5DE+3CD=24，
∴CD=3.
故选：A.
利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=8，然后利用面积法得到12⋅DE×10+12⋅CD×6=12×6×8，最后解方程即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线).也考查了角平分线的性质．
7.【答案】C
【解析】解：过点P作PG⊥AB，如图：∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，PE⊥OC，
PF⊥OD，PG⊥AB，∴PE=PG=PF；故(1)正确；∴点P在∠COD的平分线上；故(2)正确；∵∠APB=∠APG+∠BPG=12∠EPF，又∠EPF+∠O=180 ∘，∴∠APB=12×180 ∘−∠O=90 ∘−12∠O；故(3)错误；∴正确的选项有2个；故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：由尺规作图痕迹可知：AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∵∠B=90°，
∴BD=DE，
∵DE⊥AC，∠B=90°，
∴∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠CAB，故结论①正确；
在Rt△ABD和Rt△AED中，
AD=ADBD=ED，
∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AB，
∴AC=AE+EC=AB+EC，故结论②正确，
∴①②正确，
故选：A．
由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC，由角平分线的性质定理可得BD=DE，由∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90°即可判断①；证明Rt△ABD≌Rt△AED(HL)即可判断②．
本题考查了尺规作图—基本作图、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，得到Rt△ABD≌Rt△AED是解决本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
对于选项A，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
AB=ADAC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴该选项A中的条件能够使△ABC≌△ADC，
故该选项不符合题意；
对于选项B，
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2∠B=∠D=90°AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(AAS)，
∴该选项B中的条件能够使△ABC≌△ADC，
故该选项不符合题意；
对于选项C，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
BC=CDAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(AAS)，
∴该选项C中的条件能够使△ABC≌△ADC，
故该选项不符合题意；
对于选项D，
在△ABC和△ADC中，∠B=∠D，AC=AC，不符合全等三角形的判定条件，
∴该选项D中的条件不能使△ABC≌△ADC，
故该选项符合题意，
故选：D．
根据AB⊥BC，AD⊥DC得∠B=∠D=90°，对于选项A，根据AB=AD，AC=AC可依据“HL”判定Rt△ABC和Rt△ADC全等，由此可对该选项进行判断；对于选项B，根据∠1=∠2，∠B=∠D=90°，AC=AC可依据“AAS”判定△ABC和△ADC全等，由此可对该选项进行判断；对于选项C，根据BC=CD，AC=AC可依据“HL”判定Rt△ABC和Rt△ADC全等，由此可对该选项进行判断；对于选项D，根据∠B=∠D，AC=AC不能判定△ABC和△ADC全等，由此可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】过点 D 作 DM⊥AC ， DN⊥AB ，根据题意可以得到 S▵BDE=S▵ABD ，再根据边长关系求得 S△ADC 的面积，即可求解．
【详解】
解：过点 D 作 DM⊥AC ， DN⊥AB ，如下图：
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线
∴ DM=DN
∵ AD=DE
∴ S▵BDE=S▵ABD=9
又∵ S△ADC=12AC×DM ， S△ADB=12AB×DN ， AB=3AC
∴ S▵ADB=3S▵ADC=9
∴ S▵ADC=3
∴ S▵ABC=S▵ADC+S▵ADB=12
故选C
【点睛】
此题考查了三角形面积的有关计算，根据题意找到三角形面积之间的关系是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质定理即可求出DE=DF=2，再计算出S▵ADB，最后根据S▵ADC=S▵ABC−S▵ADB=12AC⋅DF，即可求出AC的值．
【详解】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是▵ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∵S▵ADB=12AB⋅DE=12×4×2=4，
∵▵ABC的面积为7，
∴S▵ADC=S▵ABC−S▵ADB=12AC⋅DF
即12AC×2=7−4，
解得：AC=3，
故选：A．
12.【答案】C
【解析】解：①∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=CB，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠CDA=60°，
∵△ADE为等腰三角形，∠AED=120°，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA=1/2(180°−∠AED)=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠EAD=60°+∠CAD+30°=90°+∠CAD，
而∠CDE=∠CDA+∠EDA=∠CDA+30°，
∴∠BAE+∠CDE=90°+∠CAD+∠CDA+30°=90°+60°+30°=180°，
故结论①正确；
②过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，EH⊥CD于点H，如图所示：
∴∠F=∠EHD=90°，
∵∠BAE+∠EAF=180°，∠BAE+∠CDE=180°
∴∠EAF=∠CDE，
在△EAF和△EDH中，
∠F=∠EHD=90°∠EAF=∠CDEAE=DE，
∴△EAF≌△EDH(AAS)，
∴EF=EH，
又∵EF⊥BA，EH⊥CD，
∴点E在∠ABC的平分线上，
即BE为∠ABC的平分线，
故结论②正确；
③∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
在ABE和△CBE中，
AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，
故结论③正确；
④∵AE=CE，AE=DE，
∴CE=DE，
∴△ECD是等腰三角形，
当△ECD是等边三角形时，∠ECD=60°，
根据已知条件无法判定CD=CE=DE，
即无法判定△ECD是等边三角形，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②④，共3个．
故选：C．
①根据等边三角形和等腰三角形性质得∠BAC=∠ACB=60°，AB=CB，AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，再根据三角形外角性质得∠ACB=∠CAD+∠CDA=60°，进而得∠BAE+∠CDE=180°，由此可对结论①进行判断；
②过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，EH⊥CD于点H，证明∠EAF=∠CDE，进而依据“AAS”判定△EAF和△EDH全等得EF=EH，再根据角平分线的性质即可对结论②进行判断；
③证明ABE和△CBE全等得AE=CE，由此可对结论③进行判断；
④根据AE=CE，AE=DE得CE=DE，则△ECD是等腰三角形，根据已知条件无法判定△ECD是等边三角形，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质是解决问题的关键．
13.【答案】15
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=3，∴△ABD的面积=12×AB×DE=12×10×3=15， 故答案为：15．
14.【答案】①②④
【解析】【分析】
根据已知∠DBC=12∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF=BC，就得到∠FBC=2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CEB就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△BDA≌R△BGE，即可判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据已知结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【解答】
解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF=BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵FB=BC，BD⊥AC，
∴DF=DC，∠DBC=∠DBF=12∠FBC，
∵∠DBC=12∠ABE，
∴∠FBC=∠ABE，
∴∠FBA=∠CBE，
在△FAB和△CEB中
AB=EB∠FBA=∠CBEBF=BC
∴△FAB≌△CEB(SAS)，
∴∠F=∠BCE，AF=CE
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCD，
∴∠BCD=∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正确；
∵∠FBC+∠F+∠BCD=180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠ABE+∠DCE=180°，
故②正确；
在△BGC和△BDC中，
∠BGC=∠BDC=90°∠BCG=∠BCDBC=BC,
∴△BGC≌△BDC(AAS)，
∴BD=BG，CD=CG，
在Rt△BDA和Rt△BGE中，
AB=EBBD=BG,
∴Rt△BDA≌Rt△BGE(HL)，
∴AD=GE，
∵AC=AD+DC，
∴AC=AD+CG
=AD+GE+CE
=2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③错误；
∵AC=CF−AF，
∴AC=2CD−CE，
故④正确；
故答案为：①②④．
15.【答案】2
【解析】略
16.【答案】3 22
【解析】【分析】
本题考查了轴对称和角的平分线的性质及垂线段最短，根据角的平分线的性质理解CE的长是PN+PC的最小值是关键.作CE⊥AB于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在直角△ACE中利用三角函数求解．
【解答】
解：作CE⊥AB于点E，根据AD是∠BAC的平分线，点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，
则PN+PC的最小值是CE，
在直角△ACE中，AC= 6，
CE=AC⋅sin∠BAC= 6× 32=3 22．
故答案为3 22．
17.【答案】解：(1)过P作PC⊥MN，PD⊥OA，PE⊥OB，
∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，
∴PC=PD，PC=PE
∴PD=PE
∵PD⊥AO，PE⊥BO
∴OP平分∠AOB
(2)因为MN=8，S△PMN=16，
所以PC=4
即PD=PE=PC=4
连接OP，
∵S△PMN=16，S△OMN=24
∴S四边形ONPM=40．
∴S四边形ONPM=SΔOPM+S△ONP=12OM⋅PD+12ON⋅PE
∴40=12OM×4+12ON×4
∴OM+ON=20．

【解析】本题考查角平分线的性质和判定，割补法求图形的面积．
(1)过P作PC⊥MN，PD⊥OA，PE⊥OB，根据角平分线的性质得出PD=PE，即可得出结论;
(2)连接OP，先求出PD=PE=PC=4，求出S四边形ONPM=40，再根据面积法得出S四边形ONPM=SΔOPM+S△ONP=12OM⋅PD+12ON⋅PE，即可解答．
18.【答案】【小题1】
证明：如图，过点P作PF⊥BE于点F，PN⊥BD于点N，PM⊥AC于点M．
∵CP平分∠ACD，
∴PM=PN．
∵BP平分∠ABC，
∴PF=PN．
∴PF=PM，
又∵PF⊥AF，PM⊥AC，
∴AP平分∠CAE．
【小题2】
解：设∠ACP=∠PCD=x．
由(1)，易得∠FAP=∠PAC．
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=x−40°，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=2x−(x−40°)−(x−40°)=80°．
∴∠CAF=100°．
∴ ∠CAP=12∠CAF=50∘．

【解析】1. 略
2. 略
19.【答案】证明：如图所示，过点F作FM⊥BC于点M，
FN⊥AD于点N，FH⊥AE于点H．
∵BF平分∠DBC，FM⊥BC，FN⊥AD，
∴FM=FN(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理FM=FH．
∴FN=FH．
∵FN⊥AD，FH⊥AE，
∴点F在∠DAE的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)．

【解析】见答案
20.【答案】证明：如图，作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G，
∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM=FN，
同理，FG=FN，
∴FM=FG，
又FM⊥AB，FG⊥AC，
∴点F在∠DAE的平分线上．

【解析】略
21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
BD=CD BE=CF ，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
(2)解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，BE=2，
∴CF=BE=2，
∵AC=10，
∴AF=AC−CF=10−2=8，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
AD=AD DE=DF ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF=8，
∴AB=AE−BE=8−2=6．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
(1)求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线判定即可证明；
(2)证明Rt△ADE≌Rt△ADF，根据全等三角形的性质得出AE=AF，由线段的和差关系求出答案．
22.【答案】证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
DF=BDDC=DE,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．
∴CF=EB；
(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
CD=EDAD=AD,
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB，
即AB=AF+2EB．
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．
(1)根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF=EB；
(2)利用角平分线性质证明Rt△ADC≌Rt△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化即可得到结论．
23.【答案】解：如图所示：
P点即为所求．
【解析】本题主要考查了作图与应用设计作图，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
分别作出MN的中垂线和∠BAC的角平分线，两线的交点就是P点位置．
24.【答案】证明：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠DOP=∠EOP，PD=PE．
在Rt△POD和Rt△POE中，PD=PEOP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，
∴OD=OE．
在△ODF和△OEF中，OD=OE∠DOF=∠EOFOF=OF，
∴△ODF≌△OEF(SAS)，
∴DF=EF．
【解析】根据角平分线的性质可得出PD=PE，结合OP=OP可证出Rt△POD≌Rt△POE(HL)，根据全等三角形的性质可得出OD=OE，结合∠DOF=∠EOF、OF=OF可证出△ODF≌△OEF(SAS)，再利用全等三角形的性质即可证出DF=EF．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，利用全等三角形的判定定理证出△ODF≌△OEF(SAS)是解题的关键．
25.【答案】证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠DOF=∠EOF.∵OP=OP，∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)，∴OD=OE. 在△ODF和△OEF中，OD=OE,∠DOF=∠EOF,OF=OF,∴△ODF≌△OEF(SAS)，∴DF=EF．
【解析】略