人教版（2024）九年级上册圆周角学案

这是一份人教版（2024）九年级上册圆周角学案，共12页。
教学目标：
1、理解圆周角的概念．
2、掌握圆周角定理及其推论．
3、理解圆内接四边形的性质，探究四点不共圆的性质．
教学重难点：圆的性质的综合应用．
知识点一：圆周角的定义
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
例题.下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
变式.下列图形中，是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
知识点二：圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
例题1．如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ ）
A．26°B．30°C．32°D．64°
例题2．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
变式1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（ ）
A．75°B．65°C．60°D．50°
变式2．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（ ）
A．80°B．50°C．40°D．20°
变式3．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠A=35°，则∠BCD的度数是（ ）
A．55°B．65°C．70°D．75°
变式4．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=20°，∠D=15°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30°B．45°C．20°D．35°
知识点三：圆周角定理的推论
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（1）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（2）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
例题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．AD=DCB．C．∠ADB=∠ACBD．∠DAB=∠CBA
例题2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADB=28°，则∠AOC的度数为（ ）
A．14°B．28°C．56°D．84°
变式2．如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个点，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．15°B．30°C．60°D．75°
变式3．如图，AB是半圆O的直径，C、D、E是半圆的四等分点，CH⊥AB于H，连接BD、
EC相交于F点，连接AC、EH，下列结论：
①CE=2CH；②∠ACH=∠CEH；③∠CFD=2∠ACH，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．只有①②C．只有①③D．只有③
知识点四：圆内接多边形及圆内接四边形的性质
四个顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形，且圆内接四边形对角互补
例题．如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD等于（ ）
A．105°B．90°C．75°D．60°
变式1．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．不能确定
变式2．如图，AB是⊙O的直径，D为的中点，∠B=40°，则∠C的度数为（ ）
A．80°B．100°C．110°D．140°
变式3．如图，以AC为斜边在异侧作Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，BD=4，则AC的长度为（ ）
A．8B．4C．6D．
拓展点一：与圆周角有关的计算
例题1．如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的角平分线．
（1）求证：△ABD为等腰三角形；
（2）若∠DCE=45°，BD=6，求⊙O的半径．
例题2．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE，EC．
（1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度数；
（2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半径．
变式1．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=80°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=8，AC=6，求DE的长．
变式2．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D是上一点，且∠DAC=∠DBA，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连结AD．
（1）求证：DB平分∠CBA；
（2）连接CD，若CD=5，BD=12，求⊙O的半径．

拓展点二：与圆周角有关的证明
例题1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD=∠FGC；
（2）若AG•AF=48，CD=4，求⊙O的半径．
例题2．如图，已知⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°
（1）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？并求出最大面积；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
变式1．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求AD的长．
（2）求CD的长．
变式2．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于点Q；
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）若∠ABP=15°，△ABC的面积为4，求PC的长．
拓展点三：与圆内四边形性质相关的证明题
例题1．如图，⊙O的直径AB=10m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD、BD．
（1）判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）若弦AC=6cm，求BC的长．
例题2．已知：A、B、C、D四点均在⊙O上，点E在CD的延长线上，AB=AC．求证：DA平分∠BDE．
变式1．已知点A、B、C、D四点在O上；
（1）若∠ABC=∠ADB，求证：AB=AC；
（2）若∠CAD=∠ACD，求证：BD平分∠ABC．
变式2．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和AD的长．
拓展点四：与圆内接四边形性质相关的计算题
例题1．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC= 27 °．
例题2．如图，已知A、B、C是⊙O上的三个点，∠ACB=110°，则∠AOB= ．
变式1．如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若∠DCB=32°，则∠BAC= ．
变式2．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，DB=DC，DA、CB的延长线相交于点E，若∠BDC=a，则∠EAB= （用含a的式子表示）
拓展点五：圆有关性质的综合应用
易错点：在求弦所对的圆周角的角度时，容易漏解
例题．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．80°或100°C．100°D．160°或20°
变式1．若圆的一条弦把圆分成度数比为1：4的两段弧，则弦所对的圆周角等于（ ）
A．36°B．72°C．36°或144°D．72°或108°
变式2．∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°