河南省信阳高级中学2025-2026学年高一上期9月考试数学试卷

这是一份河南省信阳高级中学2025-2026学年高一上期9月考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 Î R
1. 给出下列关系：① 2
；② 2  Q ；③
3  N
；④
 Q
；⑤ 0  N ．其中正确的个数为
（）．
A 1
2. 已知集合 A  
B. 2
x, y  | y  x
2 , B   x, y  |

C. 3D. 4
y  1 ，则下列结果错．误．的是（）
x2

A. A  B
B.
A  B
C.
ðA B  0, 0
D. A ∪ B  A

已知集合Q＝x x2  2x  0 , x  N，且 P  Q ，则满足条件的集合 P 的个数（）
A 8B. 9C. 15D. 16
已知集合 M  x  N x  3 ， N  x x  6  0 ，则 M ∩ N  （）
1
0,1
x  2



1, 2
0,1, 2
设集合 A  {x∣x  3k 1, k  Z}, B  {x∣x  3k  2, k  Z}，U 为整数集， ðU A ðU B  （）
{x | x  3k, k  Z}
{x∣x  3k 1, k  Z}
{x∣x  3k  2, k  Z}

已知命题 p : x (0, ), 3x  x3 ，则p 是（）
000
A. x (, 0], 3x  x3
000
B. x (, 0], 3x  x3
000
C x (0, ), 3x  x3
D. x (0, ), 3x  x3
已知 x  R ，则“ (x 1)(x  2)  0 成立”是“ | x 1|  | x  2 | 1成立”的（）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
若正实数 x ， y 满足2x  y  8xy  2 ，且存在实数 x ， y 使不等式3m2  2m  2x  y 成立，则实数m
的取值范围为（）
 1 ,1B. 1, 2
 3
C.  ,  1  ∪1, 
D. , 12, 
3

二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选的得部分分，有选错的得 0 分.
下列说法正确的是（）
若 a  b  0 ，则 1  1
ab
若 a  b  c ，则 ac  bc
若 a  b  c  0 ，则 ab  c2
若0  a  b  2 ， 2  a  b  4 ，则2  3a  b  8
给定集合 A ，若对于任意 a ， b  A ，有 a  b  A ，且 a  b  A ，则称集合 A 为闭集合，以下结论正确的是（）
集合 A＝0 为闭集合；
集合 A  4,  2，0，2，4 为闭集合；
集合 A  n | n＝3k，k  Z 为闭集合；
若集合 A1、A2 为闭集合，则 A1  A2 为闭集合．
下列说法中正确的为（）
已知 a, b  R ，则“ a  3b  0 ”是“ a  3 ”的必要不充分条件
x2  2
b
若 x  R ，则
1
的最小值为 2
x2  2
2
若正实数 x, y, 满足 x  y  xy  3 ，则 x  2 y 的最小值为4 3
若位于第一象限的点a, b 的坐标是方程 1  1  1的一组解，则 1  2
xya2b2
 1的最小值为 2
3
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
若x x  1或 x  4x m  x  2m  3  R ，则实数m 的取值范围为．
已知“ x R ，使得2x2  ax  1  0 ”是假命题，则实数的 a 取值范围为．
2
已知实数 a，b，c 0,1 ，设 2 
a
1
1 b
， 2 
b
1
1 c
， 2 
c
1
1 a
这三个数的最大值为 M ，则 M 的最小
值为.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知集合 A  {x∣ 2  x  4}, B  {x∣1  x  5} .
（1）求 A ∩ B, A ∪ B ；
（2）求ðR A ∩ B,ðR A ∪ B
已知集合 A  x a 1  x  3  2a，B  x x2  2x  8  0．
（1）若 a  0 ，求 A  B ;
若 A ∪ B  B ，求实数 a 的取值范围；
若 x  B 是 x  A 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
已知二次函数 f (x)  x2  2ax  2 ．
若1  x  5 时，不等式 f ( x)  3ax 恒成立，求实数 a 的取值范围．
解关于 x 的不等式(a  1)x2  x  f ( x) （其中 a  0 ）．
为发展空间互联网，抢占 6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有 100 人，年人均投入 a（ a  0 ）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有 x 名（ x  N 且45  x  75 ），调整后研发人员的年人均投入增加 4x%，技术人员的年人均
投入为 a  m  2x  万元.
25 

要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的 100 人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
是否存在实数 m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.
若集合 A 具有以下性质：① 0  A ，1 A ；②若 x ， y Î
集合 A 是“好集”.
A ，则 x  y  A ，且 x  0 时， 1  A .则称
x
分别判断集合 B  1, 0,1 ，有理数集Q 是不是“好集”，并说明理由；
设集合 A 是“好集”，求证:若 x ， y Î A ，则 x  y  A ；
对任意的一个“好集” A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题 p ：若 x ， y Î
命题 q ：若 x ， y Î
A ，则必有 xy  A ；
A ，且 x  0 ，则必有 y  A .
x
河南省信阳高级中学北湖校区
2025-2026 学年高一上期 09 月测试（二）数学试题
3
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 Î R
给出下列关系：① 2
；② 2  Q ；③
3  N
；④
 Q
；⑤ 0  N ．其中正确的个数为
（）．
B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数集，有理数集，自然数集的概念得到结果即可.
【详解】 1 Î R 和 2  Q 是正确的；①②正确；
3
2
因为 3  N ，故③是错误的；因为 
0  N 故⑤是错误的．故选：B.
 Q 故④是错误的；


已知集合 A   x, y  | y  x2 , B   x, y  | y
x2
 1 ，则下列结果错．误．的是（）


A  B
A  B
ðA B  0, 0
A ∪ B  A
【答案】B
【解析】
【分析】
分析集合 A 与集合 B 中元素的差异，即可得解.
y
【详解】因为
x2
 1 ，
所以 x  0 ，即 y
x2
 1 等价于 y  x2 (x  0) ，
所以集合 B   x, y  | y  1比集合 A   x, y  | y  x2  少一个元素0, 0 ，
x2

所以 A  B ， ðA B  0, 0 ， A ∪ B  A 正确， A  B 错误.
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的描述法，集合的包含关系，并集，补集运算，属于中档题.
已知集合Q＝x x2  2x  0 , x  N，且 P  Q ，则满足条件的集合 P 的个数（）
A. 8B. 9C. 15D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】先求得集合Q  0,1, 2 ，根据 P  Q ，结合集合子集个数的计算，即可求解.
【详解】由不等式 x2  2x  0 ，解得0  x  2 ，即Q  x|0  x  2, x  N  0,1, 2
又由 P  Q ，可得满足条件的集合 P 的个数为23  8 .
故选：A.
4 已知集合 M  x  N x  3 ， N  x x  6  0 ，则 M ∩ N  （）
1
0,1
x  2



1, 2
0,1, 2
【答案】B
【解析】
【分析】先求集合 M 和 N ，根据集合的交集运算即可求解.
【详解】m x  6  0 ， x  6 x  2  0, 解得6  x  2 ，

x  2
x  2  0,
 N  x 6  x  2 ．又 M  x  N x  3  0,1, 2, 3，
 M  N  0,1 ．故选:B．
设集合 A  {x∣x  3k 1, k  Z}, B  {x∣x  3k  2, k  Z}，U 为整数集， ðU A ðU B  （）
{x | x  3k, k  Z}
{x∣x  3k 1, k  Z}
{x∣x  3k  2, k  Z}

【答案】A
【解析】
【分析】由整数可分成被 3 整除、被 3 除余 1 和被 3 除余 2，再结合补、并运算即可求解.
【详解】因为整数集Z  x | x  3k, k  Zx | x  3k 1, k  Zx | x  3k  2, k  Z，U  Z，所以ðU A ðU B  ðU  A  B  x | x  3k, k  Z ．
故选：A．
已知命题 p : x (0, ), 3x  x3 ，则p 是（）
000
x (, 0], 3x  x3
000
x (, 0], 3x  x3
000
x (0, ), 3x  x3
x (0, ), 3x  x3
【答案】D
【解析】
【分析】利用含有量词的命题否定的方法进行求解，改变量词，否定结论.
【详解】因为命题 p : x (0, ), 3x  x3 ，
000
所以p ： x (0, ), 3x  x3 .
故选：D.
已知 x  R ，则“ (x 1)(x  2)  0 成立”是“ | x 1|  | x  2 | 1成立”的（）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法、绝对值的性质进行判断即可．
【详解】充分性：若(x 1)(x  2)  0 ，则1  x  2 ，所以| x 1|  | x  2 | x 1 2  x  1；必要性：根据绝对值的性质：若| a |  | b || a  b | ，则 ab ≤ 0 ，
若| x 1|  | x  2 | 1，且| (x 1)  (x  2) | 1，则有(x 1)(x  2)  0 ．
所以“ (x 1)(x  2)  0 成立”是“ | x 1|  | x  2 | 1成立”的充要条件．故选：C．
若正实数 x ， y 满足2x  y  8xy  2 ，且存在实数 x ， y 使不等式3m2  2m  2x  y 成立，则实数m
的取值范围为（）
A.  1 ,1B. 1, 2
 3
C.  ,  1  ∪1, 
D. , 12, 
3

【答案】C
【解析】
【分析】由2x  y  8xy  2 结合基本不等式得到2x  y  1，解不等式3m2  2m  1即得解.
【详解】由2x  y  8xy  2 得2x  y  2  8xy ，
因为2x  y 
2
(2xy)22
,8xy  (2x  y) ,8xy  (2x  y) ，
4
所以2  8xy  2  (2x  y)2 ，所以2x  y  2  (2x  y)2 ,(2x  y)2  (2x  y)  2  0 ，所以(2x  y  2)(2x  y 1)  0, 2x  y  1或2x  y  2 （舍），
所以2x  y  1.
因为存在实数 x ， y 使不等式3m2  2m  2x  y 成立，所以3m2  2m  1，
所以3m2  2m 1  0 ，
所以 m  1或 m   1 .
3
所以实数m 的取值范围为 ,  1  ∪1,  .
3

故选：C
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选的得部分分，有选错的得 0 分.
下列说法正确的是（）
若 a  b  0 ，则 1  1
ab
若 a  b  c ，则 ac  bc
若 a  b  c  0 ，则 ab  c2
若0  a  b  2 ， 2  a  b  4 ，则2  3a  b  8
【答案】ACD
【解析】
【分析】作差比较即可判断A 的正误， c  0 时即可判断B 的正误，根据不等式的性质即可判断C 的正误，用 a  b 和 a  b 表示3a  b 即可判断 D 的正误．
【详解】m a  b  0 ，b  a  0 ，
 1  1  b  a  0 ， 1  1 ，A 正确；
ababab
c  0 时， ac  bc ，B 错误；
m a  b  c  0 ， ab  b2  c2 ，C 正确；
3a  b  （2 a  b）（a  b），
且0  （2 a  b） 4 ， 2  a  b  4 ，
则2  3a  b  8 ，D 正确．故选： ACD.
给定集合 A ，若对于任意 a ， b  A ，有 a  b  A ，且 a  b  A ，则称集合 A 为闭集合，以下结论
正确的是（）
集合 A＝0 为闭集合；
集合 A  4,  2，0，2，4 为闭集合；
集合 A  n | n＝3k，k  Z 为闭集合；
若集合 A1、A2 为闭集合，则 A1  A2 为闭集合．
【答案】AC
【解析】
【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断 a  b  A ,且 a  b  A 是否满足即可得到结论.
【详解】对于 A：按照闭集合的定义， 0  0  0, 0  0  0, 0  A. 故 A 正确;
对于 B：当 a  4, b  2 时, a  b  4  2  6  A .故 A  4,  2，0，2，4 不是闭集合.故 B 错误;对于 C：由于任意两个 3 的倍数,它们的和、差仍是 3 的倍数,故 A  n | n＝3k，k  Z 是闭集合.故 C 正确;
对于 D：假设 A1  n | n  3k, k  Z , A2  n | n  5k, k  Z .不妨取3 A1, 5  A2 ,但是,
3  5  8  A1  A2 ,则 A1  A2 不是闭集合.故 D 错误.
故选：AC
下列说法中正确的为（）
已知 a, b  R ，则“ a  3b  0 ”是“ a  3 ”的必要不充分条件
x2  2
b
若 x  R ，则
1
的最小值为 2
x2  2
2
若正实数 x, y, 满足 x  y  xy  3 ，则 x  2 y 的最小值为4 3
若位于第一象限的点a, b 的坐标是方程 1  1  1的一组解，则 1  2
xya2b2
 1的最小值为 2
3
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，根据必要不充分条件的意义即可判断；对于 B，利用基本不等式即可判断；对于 C，由已
知可得 x 1 y 1  4 ，进而利用基本不等式即可判断；对于 D 选项，根据条件，得到 1  1 1  0 ，
ab
12 11 22


从而有 a2  b2  3 b 
 ，再利用二次函数的性质，即可求解判断 D.
3
3
【详解】对于 A 选项，当b  0 时，由 a  3b  0 ，得不出 a  3 ，
b
所以“ a  3b  0 ”是“ a  3 ”不充分条件，
b
由 a  3 ，可得 a  3b ，所以 a  3b  0 ，
b
所以“ a  3b  0 ”是“ a
b
 3 ”的必要条件，
所以“ a  3b  0 ”是“ a  3 ”的必要不充分条件，故 A 正确；
x2  2
x2  2 
1
x2  2
b
x2  2
对于 B 选项，
1 2
 2 ，
x2  2
当且仅当
1
时取“=”，但此时 x2  2  1在实数范围内无解，
故等号不成立，所以
1
x2  2
的最小值不为 2，故 B 错误；
x2  2
x2  2
对于 C 选项，因为 x  y  xy  3 ，所以 x 1 y 1  4 ，
 x 1 2  y 1
则 x  2 y   x 1  2  y 1  3  2
 3  4
 3 ，
2
2
当且仅当 x 1  2  y 1 时，即 x  2
1, y 1时，取“=”，
2
2
所以 x  2 y 的最小值为4
 3，故 C 正确；
对于 D 选项，由题得 1  1  1a  0, b  0 ，故 1  1 1  0 ，故0  1  1 ，
ababb
12
1 2
232
 11 22
则 a2  b2  1 b 
 b2  b2  b 1  3
  ，
3
 b3 

又0  1  1 ，所以当 1  1 时， 1
22

的最小值为 ，故 D 正确
b
故选：ACD.
3a2b23
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
若x x  1或 x  4x m  x  2m  3  R ，则实数m 的取值范围为．
【答案】 1 ,1
 2 

【解析】
【分析】根据并集的运算进行求解即可.
【详解】由x x  1或 x  4x m  x  2m  3  R ，
m  1

则2m  3  4
，解得 1  m  1 ，
2
故答案为：  1 ,1 .
 2

已知“ x R ，使得2x2  ax  1  0 ”是假命题，则实数的 a 取值范围为．
2
【答案】(2, 2)
【解析】
【分析】由题可得命题“∀x∈R，使2x2  ax  1  0 ”是真命题，再利用二次函数的性质即得．
2
【详解】∵“ x R ，使得2x2  ax  1  0 ”是假命题，
2
∴命题“∀x∈R，使2x2  ax  1  0 ”是真命题，
2
∴判别式  a2  4  2  1  0 ，
2
∴ 2  a  2 .
故答案为： (2, 2) ．
已知实数 a，b，c 0,1 ，设 2 
a
1
1 b
， 2 
b
1
1 c
， 2 
c
1
1 a
这三个数的最大值为 M ，则 M 的最小
值为.
2
【答案】3  2
【解析】
【分析】先把 2 
1    2 
1    2 
1  化成 2 
1    2 
1    2 
1 
，再利用
 a1 b  b1 c  c1 a 
 a1 a  b1 b  c1 c 

基本不等式求其最小值，即可得到 M 的最小值.

【详解】由题意可得 2 
a
1
1 b
≤ M ， 2 
b
1
1 c
≤ M ， 2 
c
1
1 a
≤ M ，
即有3M ≥ 2 1 2  1  2 1  2 1    2 1    2  1  ，
a1 bb1 cc1 a a1 a  b1 b  c1 c 

由0  a  1，
2 1 a  a
a1 a
可得 2  1  a  1 a  2  1   3  2 1 a  a  3  2
2
 3  2
，当且
a1 a
 a1 a 
a1 a

2
2
仅当 a 2 1 a ，即 a  2 时，取得最小值3  2；
同理可得 2 
b
1
1 b
在b  2 时，取得最小值3  2；
2
2

21
2
2
1 c
在c  2 时，取得最小值3  2.
2
2
则3M  33  2 2 ，即 M ≥ 3  2.可得 M 的最小值为3  2.
2
故答案为： 3  2
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知集合 A  {x∣ 2  x  4}, B  {x∣1  x  5} .
（1）求 A ∩ B, A ∪ B ；
（2）求ðR A ∩ B,ðR A ∪ B
【答案】（1） A ∩ B  {x∣1  x  4}, A ∪ B  {x∣ 2  x  5}
（2）ðR A  B  x∣4  x  5, ðR A  B  x x  2 或 x  1}
【解析】
【分析】（1）由交集、并集运算即可求解；
（2）由交并补的混合运算即可求解.
【小问 1 详解】
由条件可得： A ∩ B  {x∣1  x  4}, A ∪ B  {x∣ 2  x  5}；
【小问 2 详解】
ðR A  x x  2 或 x  4}
所以ðR A  B  {x∣4  x  5}, ðR A ∪ B  x x  2 或 x  1}
已知集合 A  x a 1  x  3  2a，B  x x2  2x  8  0．
（1）若 a  0 ，求 A  B ;
若 A ∪ B  B ，求实数 a 的取值范围；
若 x  B 是 x  A 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）{x | 1  x  3}
（2）  1 ,  ；

 2
（3）{a | a  1} ．
【解析】
【分析】1
利用交集运算即可；
2 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；
3 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.
【小问 1 详解】
当 a  0 时， A  x 1  x  3，B  x x2  2x  8  0  x  2  x  4，所以 A ∩ B  {x | 1  x  3} ；
【小问 2 详解】
因为 A  x a 1  x  3  2a，B  x  2  x  4，
所以由 A ∪ B  B ，得 A  B ，
① 当 A   时， a 1  3  2a ，解得 a  4 ，满足题意；
3
a 1  3  2a

② 当 A   时，则


a 1  2 3  2a  4
，解得 1  a  4 ，
23
综上， a   1 ，故实数 a 的取值范围为 1 ，  ；

2 2
【小问 3 详解】

由 x  B 是 x  A 的充分不必要条件，可得 B  A ，又 A  x a 1  x  3  2a，B  x  2  x  4，
a 1  3  2a①

则 a 1  2② ，且②③ 式等号不同时成立，解得 a  1 ，

 3  2a  4③
故实数 a 的取值范围是, 1．
已知二次函数 f (x)  x2  2ax  2 ．
若1  x  5 时，不等式 f ( x)  3ax 恒成立，求实数 a 的取值范围．
解关于 x 的不等式(a  1)x2  x  f ( x) （其中 a  0 ）．
2
【答案】（1） a  2
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）等价变形给定不等式，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可.
（2）分类讨论求解含参数的不等式.
【小问 1 详解】
不等式 f (x)  3ax  x2  2ax  2  3ax  ax  x2  2 ，
x  2
x
当 x [1, 5] 时， f (x)  3ax  a  x  2 恒成立，而 x  2  2
2
 2，
xx
2
2
当且仅当 x 时取等号，则 a  2，
2
所以实数 a 的取值范围是 a  2.
【小问 2 详解】
不等式(a 1)x2  x  f (x)  (a 1)x2  x  x2  2ax  2  (x  2)(ax 1)  0 ，
当 a  0 时，不等式为 x  2  0 ，解得 x  2 ；
当 a  0 时，不等式为(x  2)(x  1 )  0 ，解得 x   1 或 x  2 ；
aa
所以当 a  0 时，原不等式解集为(2, ) ；
当 a  0 时，原不等式解集为(,  1 ) ∪ (2, ) .
a
为发展空间互联网，抢占 6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有 100 人，年人均投入 a（ a  0 ）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有 x 名（ x  N 且45  x  75 ），调整后研发人员的年人均投入增加 4x%，技术人员的年人均
投入为 a  m  2x  万元.
25 

要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的 100 人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
是否存在实数 m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）75 人（2）存在，7
【解析】
【分析】（1）由题意列不等式(100  x)[1 (4x)%]a  100a, (a  0) ，求解即可；
（2）由技术人员的年人均投入始终不减少得 a  m  2x   a ，调整后研发人员的年总投入始终不低于调整
25 

后技术人员的年总投入得(100  x)[1 (4x)%]a  x  m  2x  a ，综合得 2x 1  m  100  x  3 ，根据
25 25
x25

x 的范围由不等式恒成立求得m 值.
【小问 1 详解】
依题意可得调整后研发人员人数为100  x ，年人均投入为1 4x% a 万元，则(100  x)[1 (4x)%]a  100a, (a  0) ，
解得0  x  75 ，
又45  x  75, x  N ， 所以调整后的技术人员的人数最多 75 人;
【小问 2 详解】
假设存在实数m 满足条件.
由技术人员年人均投入不减少得 a  m  2x   a , 解得 m  2x 1.
25 25

由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
(100  x)[1 (4x)%]a 

x  m
 2x  a ,

25

两边同除以 ax 得 100 11 x   m  2x ,
 x25 25

整理得 m  100 
x
x  3 ,
25
故有 2x 1  m  100  x  3 ,
25
因为100 
x
x25
100  x
x25
x  3  2
25
 3  7 , 当且仅当 x  50 时等号成立, 所以m  7 ,
又因为45  x  75, x  N , 所以当 x  75 时, 2x 1取得最大值 7, 所以 m  7 ,
25
7  m  7 ，即存在这样的 m 满足条件，其值为 7.
若集合 A 具有以下性质：① 0  A ，1 A ；②若 x ， y Î
集合 A 是“好集”.
A ，则 x  y  A ，且 x  0 时， 1  A .则称
x
分别判断集合 B  1, 0,1 ，有理数集Q 是不是“好集”，并说明理由；
设集合 A 是“好集”，求证:若 x ， y Î A ，则 x  y  A ；
对任意的一个“好集” A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题 p ：若 x ， y Î
命题 q ：若 x ， y Î
A ，则必有 xy  A ；
A ，且 x  0 ，则必有 y  A .
x
【答案】（1）集合 B 不是“好集”， 有理数集Q 是“好集”，理由见解析
（2）证明见解析（3）命题 p 、 q 均为真命题，理由见解析
【解析】
【分析】（1）按照新定义，判断 B 、Q 是否符合条件即可；
根据条件进行推导，先判断 y  A ，进而可证 x  y  A ；
类似（2）根据“好集”的性质进行推导即可.
【小问 1 详解】
集合 B 不是“好集”.
理由：假设集合 B 是“好集”.
因为1 B ，1 B ，所以2  B ，这与2  B 矛盾，所以集合 B 不是“好集”.
有理数集Q 是“好集”.
理由：
因为0  Q ，1 Q ，
对任意的 x ， y  Q ，有 x  y  Q ，且 x  0 时， 1  Q ，
x
所以有理数集Q 是“好集”.
【小问 2 详解】
证明:因为集合 A 是“好集”，所以0  A ，
若 x ， y Î A ，则0  y  A ，即 y  A .
所以 x   y  A ，即 x  y  A .
【小问 3 详解】
命题 p 、 q 均为真命题，理由如下：
对任意一个“好集” A ，任取 x ， y Î A ，
若 x ， y 中有 0 或 1 时，显然 xy  A .
若 x ， y 均不为 0，1，由定义可知 x  1， 1
x 1
， 1  A ， x
所以 1 1  A ，即 1  1  A ，所以 x  x 1 A .

x 1xx 1 x
由（2）可得 x  x 1  x  A ，即 x2  A
同理可得 y2  A .
若 x  y  0 或 x  y  1，则 x  y 2  A .
若 x  y  0 且 x  y  1，则 x  y 2  A .

所以2xy  x  y 2  x2  y2  A ，所以 1
2xy
 A .
1
由（2）可得 xy
 1
2xy
 1
2xy
 A ，所以 xy  A .
综上可知， xy  A ，即命题 p 为真命题.
若 x ， y Î
A ，且 x  0 ，则 1  A ，所以 y  y  1  A ，即命题 q 为真命题.
xxx