2025-2026学年广西玉林市五校联考高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2025-2026学年广西玉林市五校联考高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(1,x,2)，b=(−4,4,y)，若a与b共线，则x+y=( )
A. 12B. 9C. −9D. −12
2.已知直线l1：2x−y+1=0与l2：x+ky−3=0垂直，则实数k的值为( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
3.过点P(−1,2)的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，且P恰好是AB的中点，则AB的斜率为( )
A. 12B. −12C. −2D. 2
4.已知四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是( )
A. 54B. 52C. 22D. 3 24
5.直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0, 3)为端点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围是( )
A. [− 3,1]B. (−∞,− 3]∪[1,+∞)
C. (−∞,− 3]D. [1,+∞)
6.若点A(−3,−4)，B(6,3)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为( )
A. 79B. −13C. 79或13D. −79或−13
7.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是A1D，D1B的中点，则下述结论中正确的个数为( )
①MN//平面ABCD；
②平面A1ND⊥平面D1MB；
③直线MN与B1D1所成的角为45°；
④直线D1B与平面A1ND所成的角为45°．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为( )
A. 2 B. 3
C. 3 22 D. 2 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：ax+y−3a=0，直线l2：2x+(a−1)y−6=0，则( )
A. 当a=3时，l1与l2的交点是(3,0)B. 直线l1与l2都恒过(3,0)
C. 若l1⊥l2，则a=13D. ∃a∈R，使得l1平行于l2
10.下列命题中正确的是( )
A. 若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0
B. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角等于50°
C. 已知{a,b,c}是空间的一个基底，则{a+b,b+c,a+b+c}也是空间的一个基底
D. 已知O为坐标原点，向量OA=−i+2j−k，OB=−3i+6j−3k，OC=−2i+4j−2k，则点A，B，C不能构成三角形
11.如图，平行六面体AC1中，∠A1AD=∠A1AB=45°，AD=AB，AC与BD交于点O，则下列说法不正确的有( )
A. 直线AA1⊥直线BD
B. 若|A1O|=|AO|，则A1C⊥平面B1BDD1
C. A1O=AB+AD+AA1
D. 若∠BAD=60°，则A1A与AC夹角的余弦值为 23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知OA=(5,1,3)，OB=(−2,1,x)，且OA⊥OB，则|AB|=______．
13.若直线2x+y−3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离为 32，则实数a的值为______．
14.如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF=13AD,AG=2GA1，AC1与平面EFG交于点M，则AMAC1= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(−2,6)，C(−8,0)，求：
①AC边上的中线所在直线的方程；
②AC边上的高所在直线的方程．
(2)已知直线l经过点P(−2,1)，若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
如图，已知棱长为1的正四面体OABC，E，F分别是AB，OC的中点．
(1)用OA,OB,OC表示向量EF，并求EF的模长；
(2)求OE与BF所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知直线l的方程为(m+3)x+(2m−1)y−7m=0(m∈R)．
(1)证明：直线l过定点，并求定点到直线3x+4y−7=0的距离；
(2)当m为何值时，点Q(3,4)到直线l的距离最大？最大距离是多少？
18.(本小题17分)
已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(Ⅰ)求证：D1N//平面CB1M；
(Ⅱ)求平面CB1M与平面BB1C1C的夹角余弦值；
(Ⅲ)求点B到平面CB1M的距离．
19.(本小题17分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．
(1)如果PA与平面ABCD所成的线面角为π4，求证：PC⊥平面ADM；
(2)当BP与平面BDM所成角的正弦值最大时，求三棱锥D−BCM的体积．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.D
5.B
6.D
7.C
8.B
9.ABC
10.ACD
11.CD
12.7
13.−6+ 15或−6− 15
14.213
15.(1)①线段AC的中点D(−4,2)，
由两点式得BD所在直线方程为y−62−6=x+2−4+2，即2x−y+10=0．
②直线AC的斜率kAC=4−00−(−8)=12，B(−2,6)，
所以AC边上的高所在直线方程为y−6=−2(x+2)，即2x+y−2=0．
(2)当截距为0时，设直线方程为y=kx，
因为直线过点P(−2,1)，则1=−2k，解得k=−12，所以直线方程为y=−12x；
当截距互为相反数且不为0时，设直线方程为xa+y−a=1，
因为直线过点P(−2,1)，则代入直线方程得，a=−3，则直线方程为x−y+3=0．
所以直线方程为y=−12x或x−y+3=0．
16.(1)已知棱长为1的正四面体OABC，E，F分别是AB，OC的中点，所以EF=OF−OE=12OC−12OA−12OB，
故|EF|2=14(OC−OA−OB)2=12，所以|EF|= 22；
(2)设θ为异面直线OE与BF所成的角，所以OE⋅BF=(12OA+12OB)⋅(12OC−OB)=12(12OA⋅OC−OA⋅OB+12OB⋅OC−OB2)=−12；
又|OE|=|BF|= 32，所以异面直线OE与BF所成的角csθ=|OE⋅BF||OE||BF|=1234=23．
17.证明：(1)已知直线l的方程为(m+3)x+(2m−1)y−7m=0(m∈R)，
将直线l的方程整理得(x+2y−7)m+(3x−y)=0，
令x+2y−7=03x−y=0，解得x=1,y=3,所以直线l恒过点(1,3)，
根据点到直线的距离公式可得定点(1,3)到直线3x+4y−7=0的距离为|3+12−7| 32+42=85；
解：(2)由(1)可得直线l过定点，设定点为P(1,3)，
当PQ⊥l时，点Q到直线l的距离最大，且最大距离d=|PQ|= (1−3)2+(3−4)2= 5，
即点Q到直线l的最大距离为 5，
此时kPQ=4−33−1=12，而直线l的斜率k=−m+32m−1，
所以−m+32m−1=−2，解得m=53，
所以当m为53时，点Q(3,4)到直线l的距离最大为 5．
18.解：(Ⅰ)证明：取CB1的中点P，连接NP，MP，则NP//CC1且NP=12CC1，
又D1M//CC1且D1M=12CC1，所以NP//D1M且NP=D1M，
所以四边形D1MPN为平行四边形，得ND1//PM，
又ND1⊄平面CB1M，PM⊂平面CB1M，
所以ND1//平面CB1M.
(Ⅱ)建立如图空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(2,0,2)，M(0,1,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,2)，
有CB1=(1,−1,2),CM=(−1,0,1),BB1=(0,0,2)，
设平面CB1M与平面BB1C1C的一个法向量分别为m(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)，
则m⊥CB1m⊥CM，n⊥CB1n⊥BB1，
则m⋅CB1=x1−y1+2z1=0m⋅CM=−x1+z1=0,n⋅CB1=x2−y2+2z2=0n⋅BB1=2z2=0，
令x1=x2=1，得y1=3，z1=1，y2=1，z2=0，
所以m=(1,3,1),n=(1,1,0)，
则|cs|=|m⋅n||m||n|=4 11⋅ 2=2 2211，
即平面CB1M与平面BB1C1C所成角的余弦值为2 2211．
(Ⅲ)由BB1=(0,0,2)，平面CB1M的一个法向量为m=(1,3,1)，
得|BB1⋅m||m|=2 11=2 1111，
即点B到平面CB1M的距离为2 1111．
19.解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PA与平面ABCD所成的线面角为∠PAD=π4，
∴PD=AD=2,PA=2 2，
∴PD=CD=2，又M为PC的中点，
∴DM⊥PC，
又易知AD⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，
∴AD⊥PC，又DM⊥PC，AD∩DM=D，
∴PC⊥平面MAD；
(2)根据题意可得DA，DC，DP两两相互垂直，
∴分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
设DP=t，则D(0,0,0),B(2,2,0),P(0,0,t),M(0,1,t2)，
∴DB=(2,2,0),DM=(0,1,t2),BP=(−2,−2,t)，
设平面MBD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DM=0n⋅DB=0，∴y+tz2=02x+2y=0，取n=(1,−1,2t)，
∴BP与平面MBD所成角的正弦值为：
|cs|=|n⋅BP||n||BP|=2 8+t2× 2+4t2=2 20+32t2+2t2≤13，
当且仅当32t2=2t2，即t=2时，等号成立，
∴三棱锥D−MBC的体积VD−MBC=VM−DBC=14VP−ABCD=14×13×2×2×2=23．