2025-2026学年河南省青桐鸣高二（上）联考数学试卷（9月份）（人教版）（含解析）

这是一份2025-2026学年河南省青桐鸣高二（上）联考数学试卷（9月份）（人教版）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A={−1,0,2}，B={x||x−2|≤2}，则A∩B=( )
A. {0,2}B. {−1}C. {−1,0}D. {−1,1}
2.已知空间向量a=(2,m,1)，b=(2,4,n)共线，m，n∈R，则m+n=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.若f(x)=(x4+mx)tanx的图象关于原点对称，则实数m的值为( )
A. −4B. 1C. 2D. 0
4.为考察某植物幼苗的生长速度，将六个品种的幼苗在相同的环境下培养7天，得到它们的高度(单位：厘米)分别为33，36，32，38，42，40，则这组数据的上四分位数为( )
A. 37B. 38C. 40D. 41
5.若向量组{a,b,c}构成空间直角坐标系中的一组基底向量，则下列向量不共面的一组为( )
A. a+b，a−b，c B. a，a+b，a−b
C. a，a−c，c D. a−b，2a+b−c，3a−c
6.设甲：m3−n3>en−em，乙：lg(m−n)>0，且m，n∈R，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
7.设随机事件A，B满足P(A)=P(B)=0.75，P(AB)=0.6，则P(A−B−)=( )
A. 0.4B. 0.35C. 0.25D. 0.1
8.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsB=b(sinA+csA)，则cb的最大值为( )
A. 2B. 3C. 5D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(−1,x+1)，b=(2x,1)，x∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若a⊥b，则x=2 B. 不存在x∈R，使得a//b
C. 若x=0，则|a+b|=2 3 D. 若x=−1，则a在b上的投影向量的坐标为(−45,25)
10.n1，n2分别为空间内不重合的两平面α，β的一个法向量，AB为直线l的一个方向向量，A∈α，B∈β，已知n1+AB=n2，则下列说法正确的是( )
A. 当α⊥β时，n1⋅n2=0B. 当l⊥β时，n1⊥AB
C. 当α//β时，n1与AB共线D. 当l//β时，α与β相交
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，M为BC的中点.动点P满足AP=2xAB+xAD+zAA1，x∈[0,12]，z∈[0,1]，则下列说法正确的是( )
A. 点P一定在平面AA1C1C内
B. 当z=2x时，点P的轨迹长度为 3
C. 当A1，P，M三点共线时，2x+z=1
D. 当PA⋅PD=−14时，|PA1|的最大值为 112
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某圆柱与某圆锥的母线长均为6，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，若圆柱的体积为96π，则圆锥的体积为______．
13.已知z=3+4i2+i，其中i为虚数单位，则|z−2i|= ______．
14.已知某正方体的棱长为2，均不重合的N，P，Q三点都在此正方体的棱上，则NP⋅NQ的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在空间直角坐标系中，点M(1,0,−2)，已知直线l经过点P(2,−1,−2)，且l的方向向量n=(1,2,−1)．
(1)求|PM|；
(2)求点M到直线l的距离．
16.(本小题15分)
已知正方体ABCD−EFGH的棱长为2，且P，Q分别为线段AE与线段BC的中点，现以A为坐标原点，AB为x轴的正方向，AD为y轴的正方向，AE为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz．
(1)证明：PG⊥QH；
(2)判断直线PQ与直线DF是否相交？若相交，求出交点坐标；若不相交，请说明理由．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=csωx+cs(ωx+π3)，ω>0．
(1)若f(x)≤ωf(0)，求f(x)的最小正周期的最大值；
(2)若方程f(x)= 3在区间(0,2π)上有且仅有两个实根，求ω的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，BC//AD，AB⊥AD，△PAD是等边三角形.已知AB=AD=2，BC=1，M为线段PD上一点．
(1)证明：AD⊥PC；
(2)若M为靠近点P的三等分点，求M到平面PBC的距离；
(3)若M为PD的中点，求直线PB与平面MAC所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
如图，在棱长均为2的平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，设AB=e1，AD=e2，AA′=e3.点P，Q分别为线段AD′与线段CC′的中点．
(1)用e1，e2，e3表示向量AQ与BP；
(2)设e1与e3，e2与e3的夹角均为60°，且AC′在AC上的投影向量的模为3 2．
(ⅰ)求e1与e2的夹角的正弦值；
(ⅱ)求直线AQ与直线BP所成角的余弦值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：A={−1,0,2}，B={x||x−2|≤2}={x|0≤x≤4}，
故A∩B={0,2}．
故选：A．
先求出集合B，再根据交集的定义求解即可．
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题设有非零向量量a=(2,m,1)，b=(2,4,n)共线，
则存在实数λ，使得b=λa，
故2=2λm=4λn=λ，故λ=1m=4n=1，故m+n=5．
故选：C．
利用b=λa可求m，n的值，故可得正确的选项．
本题主要考查了空间向量共线定理的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，
则f(x)+f(−x)=0恒成立，又f(x)=(x4+mx)tanx，
所以[(−x)4+m(−x)]tan(−x)+(x4+mx)⋅tanx=0恒成立，
即(x4−mx)(−tanx)+(x4+mx)⋅tanx=0恒成立，
所以2mx⋅tanx=0恒成立，
解得m=0．
故选：D．
条件可转化为函数f(x)为奇函数，结合奇函数定义可得2mx⋅tanx=0恒成立，由此可求结论．
本题考查了函数奇偶性的应用，考查了函数思想，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：将六个品种的幼苗在相同的环境下培养7天，得到它们的高度分别为33，36，32，38，42，40，
从小到大的顺序排列为：32，33，36，38，40，42，
由6×75%=4.5，得该组数据的上四分位数第5个数为40．
故选：C．
根据给定条件，利用上四分位数的定义求解判断．
本题考查百分位数相关知识，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：对于A，假设a+b，a−b，c共面，则a+b=x(a−b)+yc=xa−xb+yc，
所以x=1−x=1y=0，可知该方程组无解，即三个向量不共面，故A正确；
对于B，因为a=12(a+b)+12(a−b)，所以a，a+b，a−b三个向量共面，故B错误；
对于C，因为a=(a−c)+c，故a，a−c，c三个向量共面，故C错误；
对于D，假设这三个向量共面，设3a−c=x(a−b)+y(2a+b−c)=(x+2y)a+(y−x)b−yc，
则3=x+2yy−x=0y=1，可得x=y=1，故a−b，2a+b−c，3a−c三个向量共面，故D错误．
故选：A．
由题意知a,b,c不共面，由此结合向量共面定理判断各选项中的向量是否共面，即可得答案．
本题考查向量共面的基本定理的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由m3−n3>en−em可得m3+em>n3+en，
令f(x)=x3+ex，则f(x)在R上单调递增，
若f(m)>f(n)，则m>n，即m−n>0，但lg(m−n)>0不一定成立，故充分性不成立；
当lg(m−n)>0时，m−n>1，则m−n>0一定成立，
则f(m)>f(n)，即有m3−n3>en−em，故必要性成立，
所以甲是乙的必要不充分条件．
故选：B．
构造函数f(x)=x3+ex，结合函数单调性、对数函数运算及充分条件与必要条件定义计算即可得．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：随机事件A，B满足P(A)=P(B)=0.75，P(AB)=0.6，
∴P(A−B−)+P(A−B)+P(AB−)+P(AB)=1，
P(A−B)+P(AB−)+P(AB)=P(A∪B)，
∵P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.75+0.75−0.6=0.9，
∴P(A−B−)=P(A∪B−)=1−0.9=0.1．
故选：D．
由P(A−B−)=P(A∪B−)，先求出P(A∪B)，再由对立事件概率计算公式求解．
本题考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsB=b(sinA+csA)，
由正弦定理，可知sinAcsB=sinB⋅sinA+sinBcsA，
又sinC=sin(A+B)=sinA⋅csB+sinBcsA=sinBsinA+2sinBcsA，
即sinC=sinB(sinA+2csA)，
根据正弦定理可得cb=sinCsinB=sinA+2csA= 5sin(A+φ)≤ 5，其中tanφ=2，
故cb的最大值为 5．
故选：C．
根据正弦定理边角互化，结合正弦的和角公式可得cb=sinCsinB=sinA+2csA，由辅助角公式即可求解最值．
本题考查了正弦定理和正弦的和角公式，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，因为向量a=(−1,x+1)，b=(2x,1)，x∈R，
若a⊥b，则a⋅b=0，即−2x+x+1=0，解得x=1≠2，故A错误；
对于B，若a/​/b，则−1×1=2x(x+1)，整理得2x2+2x+1=0，此方程无解，
故不存在x∈R，使得a//b，故B正确；
对于C，当x=0时，a=(−1,1)，b=(0,1)，所以a+b=(−1,2)，
所以|a+b|= (−1)2+22= 5，故C错误；
对于D，当x=−1时，a=(−1,0)，b=(−2,1)，
则a⋅b=2，|b|2=5，
所以a在b上的投影向量的坐标为a⋅b|b|⋅b|b|=25b=(−45,25)，故D正确．
故选：BD．
对于A，根据向量垂直的坐标表示列方程求x即可判断，对于B，根据向量平行的坐标表示列方程，求x即可判断，对于C，先求a+b的坐标，再根据向量的模的坐标公式求|a+b|即可判断，对于D，根据投影向量的坐标公式求a在b上的投影向量的坐标即可判断．
本题考查向量的运算性质的应用，一个向量在另一个向量上的投影向量的坐标的求法，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，n1，n2分别为空间内不重合的两平面α，β的一个法向量，
因为α⊥β，所以n1⊥n2，即n1⋅n2=0，故A正确；
对于B，n2为空间内不重合的两平面β的一个法向量，AB为直线l的一个方向向量，
因为l⊥β，所以AB//n2，故AB与n2共线，
由n1=n2−AB，知n1与AB共线，故B错误；
对于C，因为α/​/β，所以n1//n2，故可设n2=λn1，
故AB=n2−n1=(λ−1)n1，可知n1与AB共线，故C正确；
对于D，因为l/​/β，所以AB⋅n2=0，显然AB与n2不共线，
于是n1=n2−AB与n2不共线，故显然两平面不平行，
故二者只能相交，故D正确．
故选：ACD．
根据空间中线面的位置关系，结合向量运算关系，逐一分析各个选项，即可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及直线与平面的位置关系，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于选项A，易得AB+12AD=AM，因此AP=2xAM+zAA1，
那么AP,AM,AA1共面，又因为AP,AM,AA1有公共点A，因此点P在平面AA1M内，因此选项A错误；
对于选项B，取B1C1的中点N，连接A1N，MN，
那么MN//BB1，AA1//BB1，AA1=BB1，MN=BB1，那么MN//AA1，MN=AA1，
那么四边形AA1NM为平行四边形，
那么当z=2x时，AP=2xAM+2xAA1=2xAN，x∈[0,12]，
可知此时点P的轨迹为线段AN，其长度为 AA12+BM2+AB2= 1+1+1= 3，因此选项B正确；
对于选项C，根据AP=2xAM+zAA1，与A1，P，M三点共线，可知2x+z=1，因此选项C正确；
对于选项D，显然{AB,AD,AA1}为一组正交基底，
因为DP=AP−AD=2xAB+xAD+zAA1−AD=2xAB+(x−1)AD+zAA1，
因此PA⋅PD=AP⋅DP=(2xAB+xAD+zAA1)⋅[2xAB+(x−1)AD+zAA1]
=4x2AB2+x(x−1)AD2+z2AA12=8x2−4x+z2=−14，
又因为A1P=AP−AA1=2xAB+xAD+(z−1)AA1，
因此|A1P|= 4x2AB2+x2AD2+(z−1)2AA12= 8x2+z2−2z+1= 4x−14+1−2z，
由于x∈[0,12]，z∈[0,1]，因此当x=12，z=0时，|PA1|最大为 2−14+1= 112，
此时不满足方程8x2−4x+z2=−14，因此|PA1|的最大值不为 112，因此选项D错误．
故选：BC．
A：利用AB+12AD=AM及平面向量基本定理即可；
B：取B1C1的中点N，即可得出AP=2xAN，计算AN长度即可；
C：由共线性质即可；
D：利用{AB,AD,AA1}基底化简PA⋅PD=−14得出8x2−4x+z2=−14，再化简得出|A1P|= 4x−14+1−2z，当x=12，z=0时，|PA1|取最大值，但此时不满足8x2−4x+z2=−14．
本题考查轨迹方程问题，属于中档题．
12.【答案】16 23π
【解析】解：圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，
可设圆锥的底面半径为r，则圆柱的底面半径为2r．
圆柱的母线长为6，则圆柱的高为6.而圆柱的体积为96π，因此96π=6π(2r)2，解得r=2．
故圆锥的高ℎ= 62−r2=4 2，可知其体积V=13πr2ℎ=16 23π．
故答案为：16 23π．
根据圆柱的体积，求出圆柱的底面半径，进而求得圆锥的半径，最后由圆锥的体积公式求解．
本题考查圆柱，圆锥的体积公式，属于中档题．
13.【答案】 5
【解析】解：由z=(3+4i)(2−i)(2+i)(2−i)=10+5i5=2+i，
得z−2i=2+i−2i=2−i，
所以|z−2i|= 4+1= 5．
故答案为： 5．
根据给定条件，利用复数除法求出z，再利用复数模的意义求解．
本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数模的求法，是基础题．
14.【答案】[−1,12)
【解析】解：正方体的棱长为2，故正方体的体对角线长度为2 3，
故|NP|≤2 3，|NQ|≤2 3，则NP⋅NQ≤|NP|⋅|NQ|≤12，
又P，Q不重合，故等号无法取到，故NP⋅NQ0，
所以f(x)=csωx+12csωx− 32sinωx=32csωx− 32sinωx= 3cs(ωx+π6)，
f(0)= 3csπ6=32，
因f(x)≤ωf(0)，即f(x)≤32ω，
而f(x)的最大值为 3，
所以 3≤32ω，可得ω≥2 33，
可得f(x)的最小正周期T=2πω≤ 3π，
可得其最小正周期的最大值为 3π；
(2)由于 3cs(ωx+π6)= 3，
可得cs(ωx+π6)=1，
令t=ωx+π6，由x∈(0,2π)，可得t∈(π6,2ωπ+π6)，
因方程f(x)= 3在区间(0,2π)上有且仅有2个实根，得4π