初中数学阅读与思考测试题

这是一份初中数学阅读与思考测试题，共42页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18754" 【题型1 利用数轴确定数的范围】 PAGEREF _Tc18754 \h 1
\l "_Tc17427" 【题型2 数轴与距离】 PAGEREF _Tc17427 \h 2
\l "_Tc31295" 【题型3 数轴与相反数】 PAGEREF _Tc31295 \h 3
\l "_Tc12818" 【题型4 数轴与绝对值】 PAGEREF _Tc12818 \h 3
\l "_Tc20742" 【题型5 利用数轴比较大小】 PAGEREF _Tc20742 \h 4
\l "_Tc24723" 【题型6 利用数轴的几何意义求最值】 PAGEREF _Tc24723 \h 4
\l "_Tc28058" 【题型7 数轴中的相遇问题】 PAGEREF _Tc28058 \h 5
\l "_Tc20654" 【题型8 数轴中的折返问题】 PAGEREF _Tc20654 \h 6
\l "_Tc4459" 【题型9 数轴中两线段和差倍分问题】 PAGEREF _Tc4459 \h 8
\l "_Tc14328" 【题型10 数轴动点中的定值问题】 PAGEREF _Tc14328 \h 8
【题型1 利用数轴确定数的范围】
【例1】（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点A，B，C，其中C是线段AB的中点，则原点O的位置（ ）
A．位于线段AC上，且靠近A点B．位于线段AC上，且靠近C点
C．位于线段BC上，且靠近B点D．位于线段BC上，且靠近C点
【变式1-1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）若数a在数轴上对应点的位置如图所示，则表示a+4的点在（ ）
A．线段AB上B．线段CD上C．线段DE上D．线段FG上
【变式1-2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，表示数a的点在线段AB上，则表示数a的相反数的点所在的线段是（ ）

A．AB B．BO C．OC D．CD
【变式1-3】（2023七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上有A，B两个点，如果点C也在数轴上，且AC+BC=3，那么点C所在的位置可能在（ ）
A．点A左侧B．点A和点B之间
C．点B右侧D．无法确定
【题型2 数轴与距离】
【例2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−5，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．−2B．−1C．3D．−3.2
【变式2-1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠数轴平移．点P平移的距离PP′为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点A是硬币圆周上一点，点A与数2所对应的点重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是（ ）
A．π−2B．−π+2C．−2π−2D．−2π+2
【变式2-3】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，数轴上两个相邻刻度的距离是一个单位长度，点A、B、C、D对应的位置如图所示，它们所表示的数分别是a、b、c、d，且d−b+c=10，则点C表示的数是（ ）
A．−6B．−3C．0D．3
【题型3 数轴与相反数】
【例3】（2025·河南商丘·二模）如图，数轴上点P与点N表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【变式3-1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为16个单位长度，点A沿数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C，设点A的运动速度为每秒2个单位长度，则点C在数轴上表示的数的相反数为 ．
【变式3-2】（2024七年级上·全国·专题练习）点A、B、D在数轴上的位置如图所示，点A、B表示的数互为相反数，若点B所表示的数为2，且AB=BD，则点D所表示的数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式3-3】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知数轴上M，N，P，Q四点所表示的数分别为m，n，p，q且m−cC．ba>−a>−bB．−a>−b>a>b
C．b>−a>a>−bD．−a>a>−b>b
【变式5-1】（24-25六年级上·山东淄博·期末）请在如图所示的“只有单位长度和正方向，还未标出原点”的数轴上表示下列各数，并按照从大到小的顺序将这些数用“>”号连接起来．
−4，512，−212，−1.5，−−2.5
【变式5-2】（24-25七年级上·广西柳州·期中）画出数轴，在数轴上标出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序用“>”号把这些数连接起来：
−−5.5,0,−−2,+317,−1201,−22．
【变式5-3】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、a、−b按从大到小的顺序排列，并用“>”号连接，结果为 ．
【题型6 利用数轴的几何意义求最值】
【例6】（23-24七年级上·重庆·期中）点A、B在数轴上分别表示数a、b，若A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b．
①数轴上表示x、−2的两点之间的距离表示为x+2；
②若x−3+x+1=8，则x=−3；
③若存在整数x，使x−2+x+1的值最小时，则x=−1，0，2；
④若x−1+x+a的最小值是2，则a=−3．
则上述说法，正确的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【变式6-1】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道|5−(−2)|表示5与(−2)之差的绝对值，也可理解为5与−2两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，|x+1|+|x−1|+|x−2|取最小值时，相应的x的值是 ．
【变式6-2】（24-25七年级上·北京·期中）我们知道|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，x−a表示 x 与 a 在数轴上对应的点之间的距离．例：x−1=2表示数x与1在数轴上表示的点的距离是2个单位长度，如图所示，即可得出x的值为−1或3．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)若x−2=4，则x的值为__________；
(2)若数轴上表示数a的点位于表示−3与2的两点之间，则求a+3+a−2的计算结果；
(3)已知有理数b，则b+5+b−3的计算结果是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说出理由．
【变式6-3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上分别对应的数为a，b，则A、B两点间的距离表示为AB=a−b，根据以上知识解题：
①当代数式x+1+x−1取最小值时，x的取值范围是 ，最小值为 ．
②求x−1+x−2+x−3+⋯+x−24的最小值为 ．
【题型7 数轴中的相遇问题】
【例7】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知a是最大的负整数，b=−−5，c是−4的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数．
(1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C；
(2)在数轴上，若点D到点A的距离刚好是5，则点D叫做点A的“幸福点”．求点A的幸福点D所表示的数；
(3)若动点P从点B出发沿数轴向负方向运动，动点Q同时从点A出发也沿数轴向负方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？
【变式7-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−10，B点对应的数为90．
(1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ；
(2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ；
【变式7-2】（22-23七年级上·山东青岛·期末）数轴上点A表示−8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t= 时，M、N两点相遇（结果化为小数）．
【变式7-3】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）已知a是最大的负整数，b是−5的相反数，且a,b分别是点A,B在数轴上对应数．
(1)求a,b的值，并在数轴上标出点A,B；
(2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值．
【题型8 数轴中的折返问题】
【例8】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）四个点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示，已知CD=2，BC=3，AC=15，若点C为原点，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达C点后立即按原速向A折返；点Q以每秒1个单位长度的速度向左运动．当 P、Q都到达点A时运动停止，设运动时间为t（单位：秒）．
(1)当t=3时，求点P与点Q之间的距离；
(2)当t= 时，点P到达点B，此时点Q表示的数是 ；
(3)当t为何值时，P、Q两点相距2个单位？
【变式8-1】（23-24七年级上·湖北·期末）如图，A点在数轴上对应的有理数是24；动点M从原点O点出发以1单位/秒的速度向右运动，动点N从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，两个动点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)请用含t的式子表示：动点M对应的数为__________，动点N对应的数为__________；
(2)如果在运动过程中，M、N两点相距6个单位长，求t的值；
(3)M、N在运动过程中，又有一动点p从原点O点开始以3单位/秒的速度向右运动（与M、N同时出发），当相遇点N时立即返回，返回途中遇到M点时又立即折返，如此往返，当M、N相遇时点p停止，此时点p一共运动了__________个单位长度．
【变式8-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是−20，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离．
【变式8-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足a+18+b−102=0，点C对应的数为14，点D对应的数为−10．
(1)求a，b的值；
(2)点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为4个单位/秒，点B的速度为1个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值；
(3)在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发，当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动．当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时经过的点在数轴上对应的数．
【题型9 数轴中两线段和差倍分问题】
【例9】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知数轴上A点代表−8，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当t= 时，2OP−OQ=3．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动）
【变式9-1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，点A和B在数轴上表示的数分别是−6和8，动点P从A出发，以1个单位每秒的速度沿射线AB的方向向右运动，同时动点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线BA的方向向左运动，运动时间为t秒t>0，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，t的值为 ．
【变式9-2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且a+6+b−42=0，若动点P在数轴上对应的数为x，当PA＋PB＝16时，x的值为 ．
【变式9-3】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三点为“中点关联点”．
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，5，此时点B是点A，C的中点．
(1)若点A表示数−2，点B表示数1，若点B是点A与点C的中点，求点C所表示的数；
(2)点A表示数−10，点B表示数15，P为数轴上一个动点，若点A、B、P是“中点关联点”，求此时点P表示的数．
【题型10 数轴动点中的定值问题】
【例10】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图，数轴上点A，B（点A在点B左边）所对应的数a，b满足a+3+(b−5)2=0．P为数轴上一动点，其对应的数为x，O为原点．
(1)若BP=1，求x的值；
(2)若PB=3PA，求x的值；
(3)若点C为线段AB的中点，当点P在线段AB的延长线上运动时，PA+PBPC的值是否为定值（即确定的值，不因点P位置的变化而变化）？如是，请求出这个定值；如不是，也请说明理由．
【变式10-1】（23-24七年级上·四川成都·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c,b是最大的负整数，且a,c满足a+3+c−5=0．

(1)a= ______，b= _______，c= ______；
(2)如果点P表示的数为x，当P点到B、C两点的距离之和为8时，x= ________．
(3)点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB=________，BC=________．（用含t的代数式表示）
(4)在（3）的条件下，3BC−AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【变式10-2】（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度），慢车长CD=4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且a+8+(b−16)2=0．
(1)a=_____；b=_____；此时刻快车头A与慢车头C之间相距______单位长度；
(2)从此时刻开始算起，再行驶多少秒钟两列火车的车头AC相距8个单位长度？
(3)此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这段时间的长度及定值；若不正确，请说明理由．
【变式10-3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足a−3+b+92=0，O为原点：
(1)a=______，b=______．
(2)若点C从O点出发向左运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点的距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析．）
(3)若在数轴上点C表示的数为−3，当点A，B，C开始在数轴上运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和1个单位长度的速度向左运动，同时点A以每秒0.5个单位长度的速度向左运动，点A到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请问当t>6时，3BC−2AC的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出这个定值．
专题03 与数轴有关的数形结合思想（举一反三专项训练）
【人教版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18754" 【题型1 利用数轴确定数的范围】 PAGEREF _Tc18754 \h 1
\l "_Tc17427" 【题型2 数轴与距离】 PAGEREF _Tc17427 \h 3
\l "_Tc31295" 【题型3 数轴与相反数】 PAGEREF _Tc31295 \h 5
\l "_Tc12818" 【题型4 数轴与绝对值】 PAGEREF _Tc12818 \h 7
\l "_Tc20742" 【题型5 利用数轴比较大小】 PAGEREF _Tc20742 \h 9
\l "_Tc24723" 【题型6 利用数轴的几何意义求最值】 PAGEREF _Tc24723 \h 10
\l "_Tc28058" 【题型7 数轴中的相遇问题】 PAGEREF _Tc28058 \h 14
\l "_Tc20654" 【题型8 数轴中的折返问题】 PAGEREF _Tc20654 \h 17
\l "_Tc4459" 【题型9 数轴中两线段和差倍分问题】 PAGEREF _Tc4459 \h 24
\l "_Tc14328" 【题型10 数轴动点中的定值问题】 PAGEREF _Tc14328 \h 27
【题型1 利用数轴确定数的范围】
【例1】（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点A，B，C，其中C是线段AB的中点，则原点O的位置（ ）
A．位于线段AC上，且靠近A点B．位于线段AC上，且靠近C点
C．位于线段BC上，且靠近B点D．位于线段BC上，且靠近C点
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上找原点，理解中点和数轴的定义是解答关键．
根据中点求出C点表示的数，再利用数轴的定义求解．
【详解】∵C是线段AB的中点，
∴C点表示的数是−7+52=−1，
∴原点O位于线段BC上，且靠近C点．
故选：D．
【变式1-1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）若数a在数轴上对应点的位置如图所示，则表示a+4的点在（ ）
A．线段AB上B．线段CD上C．线段DE上D．线段FG上
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，有理数的加法，根据数a在数轴上对应点的位置可得出−2−−5.5．
【变式5-3】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、a、−b按从大到小的顺序排列，并用“>”号连接，结果为 ．
【答案】b>a>a>−b
【分析】本题主要考查了数轴上点表示数，解题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的有理数越向右越大．
【详解】解：∵根据有理数a、b在数轴上的位置可知，aa>a>−b．
【题型6 利用数轴的几何意义求最值】
【例6】（23-24七年级上·重庆·期中）点A、B在数轴上分别表示数a、b，若A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b．
①数轴上表示x、−2的两点之间的距离表示为x+2；
②若x−3+x+1=8，则x=−3；
③若存在整数x，使x−2+x+1的值最小时，则x=−1，0，2；
④若x−1+x+a的最小值是2，则a=−3．
则上述说法，正确的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】本题考查了数轴、绝对值、一元一次方程的应用、整式加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质即可判断①正确；分x3三种情况，先化简绝对值，再解方程，计算整式的加减即可判断②错误；分x2三种情况，化简绝对值即可判断③错误；根据x−1+x+a≥a+1求解即可判断④错误．
【详解】解：①数轴上表示x、−2的两点之间的距离表示为x−−2=x+2，说法正确；
②当x3时，x−3+x+1=x−3+x+1=2x−2=8，解得x=5，符合题设，
综上，若x−3+x+1=8，则x=−3或x=5，原说法错误；
③当x3，
当−1≤x≤2时，x−2+x+1=2−x+x+1=3，
当x>2时，x−2+x+1=x−2+x+1=2x−1>3，
所以x−2+x+1的最小值是3，
所以若存在整数x，使x−2+x+1的值最小时，则x=−1，0，1，2，原说法错误；
④x−1+x+a≥x−1−x+a=x−1−x−a=a+1，
∵x−1+x+a的最小值是2，
∴a+1=2，
解得a=−3或a=1，原说法错误；
综上，说法正确的有1个，
故选：D．
【变式6-1】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道|5−(−2)|表示5与(−2)之差的绝对值，也可理解为5与−2两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，|x+1|+|x−1|+|x−2|取最小值时，相应的x的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解；
【详解】∵|x+1|+|x−2|=|−(−1)|+|x−2|，
∴由|x+1|+|x−2|表示的含义可得：
当−1≤x≤2时，|x+1|+|x−2|有最小值，最小值为2−(−1)=3，
∵|x−1|≥0，
∴当x=1时，|x−1|的最小值为0，
∴当x=1时，|x+1|+|x−1|+|x−2|有最小值为3，
故答案为：1.
【变式6-2】（24-25七年级上·北京·期中）我们知道|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，x−a表示 x 与 a 在数轴上对应的点之间的距离．例：x−1=2表示数x与1在数轴上表示的点的距离是2个单位长度，如图所示，即可得出x的值为−1或3．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)若x−2=4，则x的值为__________；
(2)若数轴上表示数a的点位于表示−3与2的两点之间，则求a+3+a−2的计算结果；
(3)已知有理数b，则b+5+b−3的计算结果是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说出理由．
【答案】(1)−2或6；
(2)5
(3)有最小值，最小值为8．
【分析】本题考查数轴，绝对值，掌握数轴的应用是解题的关键．
（1）根据题意即可解答；
（2）根据题意知a+3+a−2表示在数轴上表示数a的点到表示−3与2的点的距离之和，即可解答；
（3）根据题意知b+5+b−3表示在数轴上表示数b的点到表示5与3的点的距离之和，当−5≤b≤3时，这个距离之和最小，最小值就是表示−5与3的两点之间的距离，为8个单位长度，即可解答．
【详解】（1）(1) 如图，在数轴上与2对应的点的距离为4个单位长度的点表示的数为−2或6．
故答案为：−2或6；
（2）a+3+a−2表示在数轴上表示数a的点到表示−3与2的点的距离之和，
∵表示数a的点位于表示−3与2的两点之间，如图，
即a+3+a−2的计算结果为5；
（3）b+5+b−3的计算结果有最小值，
∵b+5+b−3表示在数轴上表示数b的点到表示−5与3的点的距离之和，
∴当−5≤b≤3时，这个距离之和最小，最小值就是表示−5与3的两点之间的距离，为8个单位长度，
即|b+5|+|b−3|的计算结果有最小值为8．
【变式6-3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上分别对应的数为a，b，则A、B两点间的距离表示为AB=a−b，根据以上知识解题：
①当代数式x+1+x−1取最小值时，x的取值范围是 ，最小值为 ．
②求x−1+x−2+x−3+⋯+x−24的最小值为 ．
【答案】 −1≤x≤1 2 144
【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算，①由题意得，x+1+x−1表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数−1的点的距离之和，设点A，点B，点C表示的数分别为−1，1，x，则x+1+x−1=AC+BC，分点C在点A左侧，点C在点A和点B之间时（包括A和B），点C在点B右侧，三种情况结合数轴可得当点C在点A和点B之间时（包括A和B），AC+BC有最小值，最小值为AB的长；则当−1≤x≤1时，x+1+x−1取最小值，据此求解即可；②同①可知当1≤x≤24时，x−1+x−24有最小值，当2≤x≤23时，x−2+x−23有最小值，当3≤x≤22时，x−3+x−22有最小值，……，当12≤x≤13时，x−12+x−13有最小值，则当12≤x≤13时，x−1+x−2+x−3+⋯+x−24有最小值，据此求解即可．
【详解】解：①由题意得，x+1+x−1表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数−1的点的距离之和，
设点A，点B，点C表示的数分别为−1，1，x，则x+1+x−1=AC+BC，
当点C在点A左侧时， AC+BC=2AC+AB>AB；
当点C在点A和点B之间时（包括A和B），则AC+BC=AB；
当点C在点B右侧时，则AC+BC=AB+2BC>AB；
综上所述，当点C在点A和点B之间时（包括A和B），AC+BC有最小值，最小值为AB的长；
∴当−1≤x≤1时，x+1+x−1取最小值，最小值为1−−1=2，
故答案为：−1≤x≤1；2；
②同①可知当1≤x≤24时，x−1+x−24有最小值，
当2≤x≤23时，x−2+x−23有最小值，
当3≤x≤22时，x−3+x−22有最小值，
……，
当12≤x≤13时，x−12+x−13有最小值，
综上所述，当12≤x≤13时，x−1+x−24，x−2+x−23，x−3+x−22，…，x−12+x−13能同时取得最小值，即当12≤x≤13时，x−1+x−2+x−3+⋯+x−24有最小值，最小值为24−1+23−2+22−3+21−4+⋯+13−12=144，
故答案为：144．
【题型7 数轴中的相遇问题】
【例7】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知a是最大的负整数，b=−−5，c是−4的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数．
(1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C；
(2)在数轴上，若点D到点A的距离刚好是5，则点D叫做点A的“幸福点”．求点A的幸福点D所表示的数；
(3)若动点P从点B出发沿数轴向负方向运动，动点Q同时从点A出发也沿数轴向负方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？
【答案】(1)a=−1，b=−5，c=4，数轴见解析
(2)点A的幸福点D所表示的数为−6或4；
(3)运动2秒后，点Q可以追上点P．
【分析】（1）根据最大的负整数是−1，−5=5，−4的相反数是4，解答即可．
（2）根据平移思想解答即可．
（3）根据题意，点P表示的数为−5−t，点Q表示的数为−1−3t，结合点Q可以追上点P，列方程解答即可．
【详解】（1）解：根据最大的负整数是−1，−5=5，−4的相反数是4，
得a=−1，b=−−5=−5，c=4．
数轴表示如下：
．
（2）解：根据题意，得点D表示的数为−1+5=4或−1−5=−6，
点A的幸福点D所表示的数为−6或4；
（3）解：根据点P和点Q分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左运动，t秒过后，点P表示的数为−5−t，点Q表示的数为−1−3t，
根据题意，得−1−3t=−5−t，
解得t=2．
【点睛】本题考查了最大的负整数，绝对值，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，一元一次方程的应用，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键．
【变式7-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−10，B点对应的数为90．
(1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ；
(2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ；
【答案】(1)40
(2)27.5
【分析】此题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程式的实际运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可．
（1）求−10与90和的一半即是点M表示的数；
（2）先求出AB的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相遇时点P移动的距离，进而可得出C点对应的数；
【详解】（1）解：M点对应的数是：−10+90÷2=40；
故答案为：40；
（2）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−10，B点对应的数为90，
∴AB=90+10=100，
设t秒后P、Q相遇，
∴5t+3t=100，解得t=12.5，
∴此时点P走过的路程为5×12.5=62.5，
∴此时C点表示的数为90−62.5=27.5．
即：C点对应的数是27.5．
故答案为：27.5．
【变式7-2】（22-23七年级上·山东青岛·期末）数轴上点A表示−8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t= 时，M、N两点相遇（结果化为小数）．
【答案】4.4/225
【分析】求出2秒时两点的位置，表示出两点所表示的数，根据M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得额2t−4=18−3t，可解得答案．
【详解】解：由题意可得：
8÷4=6÷3=2，即2秒后，点M到达点O，点N到达点C，
此时开始，M表示的数是42×(t−2)=2t−4，N表示的数是12−3(t−2)=18−3t，
∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，
∴2t−4=18−3t，
解得t=4.4，
故答案为：4.4．
【点睛】本题考查数轴、一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．
【变式7-3】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）已知a是最大的负整数，b是−5的相反数，且a,b分别是点A,B在数轴上对应数．
(1)求a,b的值，并在数轴上标出点A,B；
(2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值．
【答案】(1)a=−1，b=5，数轴见解析
(2)t=3
【分析】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上点表示有理数，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，根据题意列出方程．
（1）根据有理数的分类求出a=−1，根据相反数的定义可得b=5，进而根据数轴上的点所表示数的特点在数轴上标出即可；
（2）根据数轴上点所表示数的特点分别表示出点P、Q运动t秒后所表示的数，进而根据点P追上点Q，则两点所表示的数相同，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：因为a是最大的负整数，b是−5的相反数，
所以a=−1，b=5，
∵a，b分别是点A，B在数轴上对应数，
∴将A，B标注在数轴如下图，
（2）解：由题意得t秒后点P所表示的数为−1+5t，点Q所表示的数为5+3t，
根据题意得−1+5t=5+3t，
解之得：t=3，
∴运动3秒后点P可以追上点Q．
【题型8 数轴中的折返问题】
【例8】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）四个点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示，已知CD=2，BC=3，AC=15，若点C为原点，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达C点后立即按原速向A折返；点Q以每秒1个单位长度的速度向左运动．当 P、Q都到达点A时运动停止，设运动时间为t（单位：秒）．
(1)当t=3时，求点P与点Q之间的距离；
(2)当t= 时，点P到达点B，此时点Q表示的数是 ；
(3)当t为何值时，P、Q两点相距2个单位？
【答案】(1)5
(2)4，−2
(3)当t=154或t=194或t=112或t=152或t=15时，P、Q两点相距2个单位．
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，数轴上表示一个数，读懂题意，按照分类情况，列出正确的式子，是解答本题的关键．
（1）根据题意，当t=3时，分别求出点P，点Q运动的距离，根据图中已知的线段关系，由此求出答案．
（2）根据题意，得到AB=AC−BC=15−3=12，由此得到运动的时间，点C为原点，进而得到答案．
（3）根据题意，分五种情况讨论：当点P向右运动，点Q向左运动时；当点P到达点C之前；当点P到达点C时，CQ=3，变成追赶问题，分两种情况，当追上之前两点相距2个单位；当追上之后两点相距2个单位；最后点P先到达点A时运动停止，点Q继续运动，直到相距点A 2个单位，综上五种情况，分别计算，得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
当t=3时，
点P运动了：3×3=9，
点Q运动了：3×1=3，
AD=AC+CD=17，
点P与点Q之间的距离为：17−9−3=5．
（2）根据题意得：
AB=AC−BC=15−3=12，
∴ t=123=4时，点P到达点B；
∵ t=4时，
点Q运动了：1×4=4，
∵点C为原点，
∴此时点Q表示的数是−2．
故答案为：4，−2．
（3）根据题意得：
当点P向右运动，点Q向左运动时，如图，
AP=3t，DQ=t，
P、Q两点相距2个单位，
∴ 17−3t−t=2，
解得：t=154；
当点P到达点C之前，如图所示，
AP=3t1，DQ=t1，
3t1+t1−2=17，
解得：t1=194，
当点P到达点C时，如图所示，
点P运动了：t2=153=5，
当t2=5时，
DQ=5，CQ=5−2=3，
即此时P、Q两点相距3个单位，
之后点Q从B点运动，点P从C点开始追赶Q点，到距离为2个单位用时t′，
则t′+3−3t′=2，解得：t′=12，
即t3=t2+t′=112时，P、Q两点相距2个单位；
如图，点Q从B点运动，点P从C点开始追赶Q点，到超过Q点距离为2个单位用时t″，
当3t″−t″−3=2，解得：t″=52时，
即t4=t2+t″=152时，P、Q两点相距2个单位；
如图，此后点P先到达点A时运动停止，点Q继续运动，直到两点距离2个单位，
则17−t5=2，解得：t5=15，
综上，当t=154或t=194或t=112或t=152或t=15时，P、Q两点相距2个单位．
【变式8-1】（23-24七年级上·湖北·期末）如图，A点在数轴上对应的有理数是24；动点M从原点O点出发以1单位/秒的速度向右运动，动点N从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，两个动点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)请用含t的式子表示：动点M对应的数为__________，动点N对应的数为__________；
(2)如果在运动过程中，M、N两点相距6个单位长，求t的值；
(3)M、N在运动过程中，又有一动点p从原点O点开始以3单位/秒的速度向右运动（与M、N同时出发），当相遇点N时立即返回，返回途中遇到M点时又立即折返，如此往返，当M、N相遇时点p停止，此时点p一共运动了__________个单位长度．
【答案】(1)t，24−2t
(2)t=6或10
(3)24
【分析】（1）利用速度乘以时间求出点M表示的数，用24−点N的路程，求出点N对应的数即可；
（2）根据两点间的距离公式，列出方程，进行求解即可；
（3）求出M、N相遇时所用时间，利用点p的速度乘以时间，求出路程即可．
【详解】（1）解：由题意，得：点M表示的数为：t，点N表示的数为：24−2t；
故答案为：t，24−2t
（2）M、N相遇前，24−2t−t=6
解得t=6，
M、N相遇后，t−24−2t=6
解得t=10，
∴综上t=6或10．
（3）M,N相遇时：2t+t=24，
解得：t=8，
∴点p一共运动了3×8=24个单位长度．
故答案为：24．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，两点间的距离．掌握两点间的距离公式，正确的列出代数式和方程，是解题的关键．
【变式8-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是−20，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离．
【答案】12或36
【分析】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键．分0≤x≤20，206时，3BC−2AC的值不会随着t的变化而变化，其值为定值18．