2025-2026学年广东省深圳市宝安区富源学校九年级上学期9月月考数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省深圳市宝安区富源学校九年级上学期9月月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在菱形中，连接，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，菱形菜圃的周长为28，对角线交于点O，从点O处拉一根水管至的中点E，则水管的长等于（ ）

A．B．7C．14D．2
5．某公园有A，B，C，D四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（ ）

A．B．
C．D．
7．如图，在长、宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是，若设路宽为，则x应满足的方程是
A．B．
C．D．
8．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
9．已知关于的方程的一个根是，则的值为 ．
10．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ．
11．如图所示，直线l过正方形的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是3和5，则正方形的边长为 ．
12．如图，菱形的顶点在轴上，顶点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．

13．如图，在菱形中，，，点E是的中点，连接交于点G，若点F是的中点，则的长为 ．
三、解答题
14．用合适的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
15．小明在解关于x的方程时，过程如下：
解：原方程变形为，， 第①步
两边同除以，得：， 第②步
原方程的解为：． 第③步
你认为小明的做法从第______步开始出现错误，错误的原因是_______．
请你在下面写出正确的解答过程．
16．某校开展以“新时代深圳精神”为主题的演讲比赛．“新时代深圳精神”概括凝结为16个字：“敢闯敢试、开放包容、务实尚法、追求卓越”，这四个主题依次用字母A，B，C，D表示．将A，B，C，D分别写在四张完全相同的不透明卡片上，然后背面朝上洗匀．每位选手随机从中抽出一张卡片，并按照抽到的主题进行演讲．
(1)小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是______；
(2)小颖从中抽出一张卡片，记下字母后放回．重新洗匀后，小亮再从中抽出一张卡片，求他们演讲主题相同的概率．
17．如图，在平行四边形中，E是边的中点，过点E的直线交的延长线于点 F，延长线于点G，连接，， ．
请从“①，②”这两个条件中任选一个作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解下列问题：
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若与交于点H， ，求的长．
18．根据以下素材，探索完成任务
19．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”．
例如：，
即，
解得，，
∵，
是差积方程．
(1)方程__________（填是或不是）“差积方程”；
(2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值．
(3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________．
20．综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，分别将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图，若点F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°；△AEF的周长＝_____； _____．
(2)如图，若点F为矩形的边的中点，平分，，，求的度数及的长．
(3)如图，当，时，若F为边的三等分点，请直接写出的长．
素材1
泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑件，同年9月份制作泥塑件．
素材2
泥塑的制作成本为元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为元/件时，月销售量为件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件．
问题解决
任务1
求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率；
任务2
为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件?
《广东省深圳市宝安区富源学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷》参考答案
1．B
【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．对各选项逐一判断即可．
【详解】解：选项A：方程中含有两个未知数和，不符合“一元”条件，排除．
选项B：方程可整理为，仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义．
选项C：方程中含分式，不是整式方程，排除．
选项D：方程为一次方程，最高次数为1，排除．
故选：B．
2．A
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【详解】解：
移项得，
配方得，即．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查菱形的性质、三角形内角和定理，根据菱形的性质可得，，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】本题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，由菱形的性质得，，则，求得，由，E为的中点，得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，对角线交于点O，
∴，
∵菱形的周长为28，
∴，
∴，
∵，E为的中点，
∴，
故选：A．
5．B
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中确定出甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果数，再利用概率公式计算可得．
【详解】画树状图如下：
由树状图知共有16种等可能结果，其中甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果有4种，
所以甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式求事件A的概率．
6．D
【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案．
【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意；
B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意；
C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意；
D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
设路宽为，则所剩下的空白部分的宽为，长为，根据空白部分面积是列出方程即可．
【详解】解：设路宽为，根据题意可得：
，
故选A．
8．C
【分析】根据菱形的性质可知，过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据的面积求解即可．
【详解】解：连接，
菱形中，，，
，
是等边三角形，
对角线，
，
，
过点作，交的延长线于点，
是等边三角形，
，
，
，
的面积，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵关于的方程的一个根是，
∴
解得：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式且进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴且，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理及三角形全等的性质应用，根据点A、C到直线l的距离分别是3和5，得到，，即可得到，从而得到，结合勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：∵点A、C到直线l的距离分别是3和5，
∴，
又，
∴,
又，
∴
∵四边形是正方形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】连接，相交于点E，根据点A的坐标和点C的坐标，可求出、的长，根据菱形的对角线互相平分且垂直可求出、的长，即可求出D点的坐标.
【详解】解：连接，相交于点E，
∵四边形是菱形，
∵点B在x轴上，点A的坐标为，点C的坐标为，
∴点E的坐标为：，
∴点D的坐标为：.
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标，以及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
13．
【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，连接，由菱形的性质得，，证明是等边三角形，求出，，，，证明，得到，由勾股定理可得出的长．
【详解】解：连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∵点E是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵点F为的中点，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：
14．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）方程运用配方法求解即可；
（2）方程运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴，
即：或，
∴，；
（2）解：，
这里，
∵，
∴，
即：，．
15．②，错误的原因是方程两边同除以，需要，见解析
【分析】本题主要考查解一元二次方程，正确运用因式分解法即可解一元二次方程．
【详解】解：从第②步开始出现错误，错误的原因是方程两边同除以，需要．
正确的解法：
∴或
即：，
16．(1)；
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题的关键．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能的结果数和他们演讲主题相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是，
故答案为：；
（2）由题意，列表为：
共有16种等可能的结果，他们演讲主题相同的有4种结果，
所以他们演讲主题相同的概率为
17．（1）证明见解析；（2）
【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理；
（1）先根据平行四边形和中点证明，得到，选择①时，得到垂直平分，即可得到，四边形是菱形；选择②时，则，结合，得到四边形是菱形；
（2）由，得到，， ，再证明，利用和勾股定理求出的长．
【详解】解：（1）∵平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵E是边的中点，
∴，
∴，
∴，
选择①时，
∵E是边的中点，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形；
选择②时，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）∵，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
18．任务：；任务：元/件
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．任务：设7月份到9月份的月平均增长率为，由题意得：，据此即可求解；任务：设该泥塑的售价应定为元/件，由题意得：，据此即可求解；
【详解】解：任务：设7月份到9月份的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：（舍）
答：7月份到9月份的月平均增长率为.
任务：设该泥塑的售价应定为元/件，
由题意得：，
解得：
∵要尽可能让顾客得到实惠，则，
答：该泥塑的售价应定为元/件
19．(1)不是
(2)或
(3)2
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）先解方程得出，，根据新定义得出，求出，根据它的一个实数根为，得出，整体代入求出结果即可．
【详解】（1）解：，
即，
解得：，
，
∴不是差积方程；
（2）解：，
即，
解得：，，
∵是差积方程，
，
即或．
解得：或；
（3）解：，
解得：，
，，
∵是差积方程，
，
即，
即，
∵它的一个实数根为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
20．(1)45，12，2
(2)，
(3)或
【分析】（1）证明四边形是正方形，由正方形的性质得出，，由勾股定理及折叠的性质可得出答案；
（2）延长，交于点M，证明和均为等腰直角三角形，得出，，则可求出的长，由折叠的性质得出，∠DCF=∠GCF，则可得出答案；
（3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，证明，由全等三角形的性质得出，设，，，得出，则可得出答案；②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，设，，，由勾股定理得出，求出b则可得出答案．
【详解】（1）解：∵，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∵将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴的周长；
∵将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：45；12；2；
（2）解：如图2，延长，交于点M，
∵平分，
∴∠2=∠4．
由折叠的性质可知，，．
∴，
∴．
∵，，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
解得．
（3）解：分两种情况：①当时，
如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，，，
∴，
解得，
∴．
②当时，
如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，
∴，
∵，
∴．
设，
∵，
∴，
解得，
∴．
综上可知，的长为4或．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
A
B
A
B
D
A
C


A
B
C
D
A
B
C
D