【中考数学】2025年四川省泸州市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年四川省泸州市中考适应性模拟试卷（含解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题.等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．7和﹣7B．3和﹣2C．2和12D．﹣0.1和10
2．（3分）据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游314000000人次，将数据314000000用科学记数法表示为（ ）
A．31.4×107B．3.14×107C．3.14×108D．3.14×109
3．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝132°，则∠2＝（ ）
A．42°B．48°C．52°D．58°
4．（3分）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a﹣3a＝1B．（2a）﹣1=2a
C．（3a3）2＝9a6D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
6．（3分）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角相等
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．（3分）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程x+2y＝3恰有一个正整数解x＝1，y＝1．类似地，方程2x+3y＝21的正整数解的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（ ）
A．2a＝bB．b2﹣4ac＜0C．a﹣2b+4c＜0D．8a+c＞0
11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF＝DC，则AF的长为（ ）
A．2109B．2105C．41015D．4109
12．（3分）对于任意实数a，b，定义新运算：a※b=a(a≥b)−a(a＜b)，给出下列结论：
①8※2＝8；
②若x※3＝6，则x＝6；
③a※b＝（﹣a）※（﹣b）；
④若（2x﹣4）※2＜5x，则x的取值范围为x＞47．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）.
13．（3分）若点（1，a﹣2）在第一象限，则a的取值范围是 ．
14．（3分）一组数据3，2，6，7，4，6的中位数是 ．
15．（3分）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为 ．
16．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝10，⊙O与梯形ABCD的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B到CD的距离为 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）计算：（2+1）0+（﹣1）2025−4+3tan45°．
18．（6分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE．
19．（6分）化简：x2−1x÷（x2+3x+1x−1）．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分。
20．（7分）某市教育综合实践基地开设有A：巧手木艺；B：创意缝纫；C：快乐种植；D：美味烹任；E：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
根据图表信息，回答下列问题：
（1）b＝ ，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是 ；
（2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢A，B两门课程的学生人数；
（3）小明同学从B，C，D，E四门课程中随机选择两门，求恰好选中D，E两门课程的概率．
21．（7分）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分。
22．（8分）如图，一次函数y＝2x+b的图象与反比例函数y=mx的图象的一个交点为A（2，6）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）将一次函数y＝2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y=mx的图象相交于点B，C，求S△ABC的值．
23．（8分）如图，在水平地面上有两座建筑物AD，BC，其中BC＝18m．从A，B之间的E点（A，E，B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。
24．（12分）如图，AB，CD是⊙O的直径，过点C的直线与过点B的切线交于点E，与BA的延长线交于点F，且EB＝EC，连接DE交AB于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝10，sinF=13，求EG的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点C，D在直线y=12x+12上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第一象限的点，若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标；
（3）设点P（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，点Q（x1，y2）在抛物线y＝x2﹣（4m﹣2）x+4m2+2上，当1≤x1≤2时，y2﹣y1的最小值为3，求m的值．
2025年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．7和﹣7B．3和﹣2C．2和12D．﹣0.1和10
【分析】根据相反数的概念判断即可．
【解答】解：A、7和﹣7互为相反数，符合题意；
B、3和﹣2不互为相反数，不符合题意；
C、和12不互为相反数，不符合题意；
D、﹣0.1和10不互为相反数，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（3分）据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游314000000人次，将数据314000000用科学记数法表示为（ ）
A．31.4×107B．3.14×107C．3.14×108D．3.14×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：314000000＝3.14×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝132°，则∠2＝（ ）
A．42°B．48°C．52°D．58°
【分析】先根据邻补角的定义求出∠1的邻补角，然后根据两直线平行，同位角相等求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠1＝132°，
∴∠3＝180°﹣132°＝48°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝48°．
故选：B．
【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，求出∠2的同位角的度数是解题的关键．
4．（3分）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义依次判断即可．
【解答】解：在四个选项的图形中，只有选项C的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项C是轴对称图形，选项A、B、D不是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a﹣3a＝1B．（2a）﹣1=2a
C．（3a3）2＝9a6D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据合并同类项法则、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式分解计算判断即可．
【解答】解：A、4a﹣3a＝a，故此选项不符合题意；
B、(2a)−1=12a，故此选项不符合题意；
C、（3a3）2＝9a6，故此选项符合题意；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则及乘法公式是解题的关键．
6．（3分）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差和平均数的意义求解即可．
【解答】解：由表知，乙、丁跳绳成绩的平均数大于甲、丙，
所以乙、丁两名同学的成绩好，
又因为乙跳绳成绩的方差小于丁，
所以乙同学成绩好且发挥稳定，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差和平均数的意义．
7．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角相等
【分析】对于选项A，根据矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等即可对该选项进行判断；
对于选项B，根据矩形和菱形的对角线都互相平分即可对该选项进行判断；
对于选项C，根据菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直即可对该选项进行判断；
对于选项D，根据矩形和菱形的对角都相等即可对该选项进行判断；
综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
∵矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等；
∴该选项矩形具有而菱形不具有，
故选项A符合题意；
对于选项B，
∵矩形和菱形的对角线都互相平分，
∴该选项矩形和而菱形都具有，
故选项B不符合题意；
对于选项C，
∴菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直，
∴该选项菱形具有而矩形不具有，
故选项C不符合题意；
对于选项D，
∵矩形和菱形的对角都相等，
∴该选项矩形和而菱形都具有，
故选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形和菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解决问题的关键．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAC，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝40°、∠BCD＝90°，再根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°，
由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC＝40°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
9．（3分）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程x+2y＝3恰有一个正整数解x＝1，y＝1．类似地，方程2x+3y＝21的正整数解的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据二元一次方程的解的定义找出正整数解即可．
【解答】解：方程2x+3y＝21的正整数解是x=3y=5，x=6y=3，x=9y=1，共3组，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的正整数解是解题的关键．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（ ）
A．2a＝bB．b2﹣4ac＜0C．a﹣2b+4c＜0D．8a+c＞0
【分析】根据对称轴计算公式可得−b2a=1，即b＝﹣2a，据此可判断A；
根据题意可得当x＝0时，y＜0，再由当x＝﹣1时，y＞0，可得抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间，则抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间，据此可判断B；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，再由b＝﹣2a，即可判断D；
当x=−12时，y=14(a−2b+4c)，当a＝1，b＝﹣2c＝﹣1时，则原函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1，则当x=−12时，y=14＞0，据此可判断C．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1，
∴b＝﹣2a，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方，
∴当x＝0时，y＜0，
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相同的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当x＝0时，y＜0，且当x＝﹣1时，y＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
∴4a+2•2a+c＞0，即8a+c＞0，故D选项中原结论正确，符合题意；
当x=−12时，y=14a−12b+c=14(a−2b+4c)，
当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1时，则原函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1，
当x=−12时，y=(−12)2−2×(−12)−1=14+1−1=14＞0，故C选项中原结论不正确，不符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF＝DC，则AF的长为（ ）
A．2109B．2105C．41015D．4109
【分析】过点D作DQ⊥CE交CE于点P，交BC于点Q，过点F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，先求出CE=5，证明△BCE和△CDQ全等得CE＝DQ=5，BE＝CQ＝1，证明△CPQ和△CBE相似得CP=255，PQ=55，则DP=455，FP＝CP=255，CF=455，EF=55，再证明四边形BCMN是矩形得MN＝BC＝2，由三角形的面积公式的FN=85，则FM=25，再由勾股定理求出EM=15，则AM=65，最后在Rt△AFM中，由勾股定理即可求出AF的长．
【解答】解：过点D作DQ⊥CE交CE于点P，交BC于点Q，过点F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠B＝∠DCB＝90°，CD∥AB，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE=12AB＝1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=BC2+BE2=5，
∴∠DCP+∠BCE＝90°，
∵DQ⊥CE，
∴∠CDQ+∠DCP＝90°，
∴∠BCE＝∠CDQ，
在△BCE和△CDQ中，
∠BCE=∠CDQBC=CD∠B=∠DCB=90°，
∴△BCE≌△CDQ（ASA），
∴CE＝DQ=5，BE＝CQ＝1，
∵DQ⊥CE，∠B＝90°，
∴∠CPQ＝∠B＝90°，
又∵∠PCQ＝∠BCE，
∴△CPQ∽△CBE，
∴CPBC=PQBE=CQCE，
∴CP2=PQ1=15，
∴CP=255，PQ=55，
∴DP＝DQ﹣PQ=5−55=455，
∵DF＝DC，DQ⊥CE，
∴FP＝CP=255，
∴CF＝FP+CP=455，
∴EF＝CE﹣CF=5−455=55，
∵CD∥AB，MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∴∠MNC＝∠DCB＝∠B＝90°，
∴四边形BCMN是矩形，
∴MN＝BC＝2，
由三角形的面积公式得：S△DCF=12CD•FN=12DP•CF，
∴12×2×FN=12×455×455，
∴FN=85，
∴FM＝MN﹣FN=2−85=25，
在Rt△EFM中，由勾股定理得：EM=EF2−FM2=(55)2−(25)2=15，
∴AM＝AE+EM=1+15=65，
在Rt△AFM中，由勾股定理得：AF=AM2+FM2=(65)2+(25)2=2105．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
12．（3分）对于任意实数a，b，定义新运算：a※b=a(a≥b)−a(a＜b)，给出下列结论：
①8※2＝8；
②若x※3＝6，则x＝6；
③a※b＝（﹣a）※（﹣b）；
④若（2x﹣4）※2＜5x，则x的取值范围为x＞47．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①根据新定义可得答案；②分x≥3和x＜3分别依据新定义求解即可；③分a≥b和a＜b两种情况求解即可；④分2x﹣4≥2和2x﹣4＜2两种情况列出相应不等式，解之可得答案．
【解答】解：①∵8＞2，∴8※2＝8，正确；
②若x≥3，则x＝6；
若x＜3，则﹣x＝6，此时x＝﹣6；错误；
③若a≥b，则﹣a≤﹣b，
∴a※b＝a，（﹣a）※（﹣b）＝a，
则a※b＝（﹣a）※（﹣b）；
若a＜b，则﹣a＞﹣b，
∴a※b＝﹣a，（﹣a）※（﹣b）＝﹣a；
所以a※b＝（﹣a）※（﹣b），正确；
④若2x﹣4≥2，即x≥3时，由（2x﹣4）※2＜5x得2x﹣4＜5x，解得x＞−43；此时x≥3；
若2x﹣4＜2，即x＜3时，由（2x﹣4）※2＜5x得﹣2x+4＜5x，解得x＞47；此时47＜x＜3；此结论错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查新定义下的解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）.
13．（3分）若点（1，a﹣2）在第一象限，则a的取值范围是 a＞2 ．
【分析】由点（1，a﹣2）在第一象限，知a﹣2＞0，解之即可．
【解答】解：∵点（1，a﹣2）在第一象限，
∴a﹣2＞0，
则a＞2，
故答案为：a＞2．
【点评】本题主要考查点的坐标、解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
14．（3分）一组数据3，2，6，7，4，6的中位数是 5 ．
【分析】将这组数据重新排列，再依据中位数的定义可得答案．
【解答】解：将这组数据重新排列为2，3，4，6，6，7，
所以这组数据的中位数为4+62=5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15．（3分）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为 10 ．
【分析】将x＝α代入原方程，可得出2α2﹣6α＝1，利用根与系数的关系，可得出α+β＝3，再将其代入原式＝（2α2﹣6α）+3（α+β）中，即可求出结论．
【解答】解：将x＝α代入原方程得：2α2﹣6α﹣1＝0，
∴2α2﹣6α＝1．
∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，
∴α+β＝3，
∴2α2﹣3α+3β＝（2α2﹣6α）+3（α+β）＝1+3×3＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出2α2﹣6α＝1及α+β＝3是解题的关键．
16．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝10，⊙O与梯形ABCD的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B到CD的距离为 645 ．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，连接BD，过点B作BH⊥DC于H，根据圆的面积公式求出⊙O的半径，根据勾股定理求出BE，进而求出BC，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，连接BD，过点B作BH⊥DC于H，
则四边形AEFD为矩形，
∴AD＝EF，
∵⊙O的面积为16π，
∴⊙O的半径为4，
∴AE＝8，
由勾股定理得：BE=AB2−AE2=102−82=6，
∵⊙O与梯形ABCD的各边都相切，AB＝CD＝10，
∴AD+BC＝AB+CD＝20，
∴AD＝EF=12×（20﹣6×2）＝4，
∴BC＝6+4+6＝16，
∵S△BDC=12BC•AE=12CD•BH，
∴BH=16×810=645，
故答案为：645．
【点评】本题考查的是切线的性质、梯形的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）计算：（2+1）0+（﹣1）2025−4+3tan45°．
【分析】根据零指数幂、实数的乘方、算术平方根、特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：（2+1）0+（﹣1）2025−4+3tan45°
＝1﹣1﹣2+3×1
＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌握零指数幂、实数的乘方、算术平方根、特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．（6分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE．
【分析】由菱形的性质得AB＝BC，再证明BE＝BF，然后证明△ABF≌△CBE（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝BC﹣CF，
即BE＝BF，
在△ABF和△CBE中，
AB=CB∠B=∠BBF=BE，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．（6分）化简：x2−1x÷（x2+3x+1x−1）．
【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得出答案．
【解答】解：原式=(x+1)(x−1)x÷（x2+3x+1x−xx）
=(x+1)(x−1)x÷x2+2x+1x
=(x+1)(x−1)x•x(x+1)2
=x−1x+1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分。
20．（7分）某市教育综合实践基地开设有A：巧手木艺；B：创意缝纫；C：快乐种植；D：美味烹任；E：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
根据图表信息，回答下列问题：
（1）b＝ 15 ，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是 54° ；
（2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢A，B两门课程的学生人数；
（3）小明同学从B，C，D，E四门课程中随机选择两门，求恰好选中D，E两门课程的概率．
【分析】（1）用表格中“快乐种植”的人数除以扇形统计图中C的百分比可得抽取的人数，用抽取的人数乘以扇形统计图中D的百分比可得b的值；用360°乘以“巧手木艺”的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）根据用样本估计总体，用480乘以样本中A，B的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中D，E两门课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，抽取的人数为12÷20%＝60（人），
∴b＝60×25%＝15．
扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是360°×60−6−12−15−1860=54°．
故答案为：15；54°．
（2）480×60−12−15−1860=120（人）．
∴估计该校八年级最喜欢A，B两门课程的学生人数约120人．
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中D，E两门课程的结果有：（D，E），（E，D），共2种，
∴恰好选中D，E两门课程的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、统计表、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
21．（7分）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，利用乙种商品2024年每件的进价＝乙种商品2022年每件的进价×（1﹣乙种商品每件进价的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过7800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
根据题意得：125（1﹣x）2＝80，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）．
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
（2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，
根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800，
解得：y≥40，
∴y的最小值为40．
答：最少购进40件甲种商品．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分。
22．（8分）如图，一次函数y＝2x+b的图象与反比例函数y=mx的图象的一个交点为A（2，6）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）将一次函数y＝2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y=mx的图象相交于点B，C，求S△ABC的值．
【分析】（1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案；
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线BC解析式为y＝2x﹣10，则可求出B（﹣1，﹣12），C（6，2），过点A作ATⅡy轴交直线BC于T，则T（2，﹣6），再根据S△ABC＝S△ABT+S△ACT列式求解即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过A（2，6），
∴6＝2×2+b，
∴b＝2，
∴一次函数解析式为 y＝2x+2；
∵反比例函数y=mx的图象经过A（2，6），
∴6=m2，
∴m＝12，
∴反比例函数解析式为y=12x；
（2）将一次函数y＝2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y=12x的图象相交于点B，C，
∴直线BC解析式为y＝2x+2﹣12＝2x﹣10，
联立y=2x−10y=12x，
解得x=−1y=−12或x=6y=2，
∴B（﹣1，﹣12），C（6，2），
如图所示，过点A作AT∥y轴交直线BC于T，
∵A（2，6），
∴点T的横坐标为2，
在y＝2x﹣10中，当x＝2时，y＝2×2﹣10＝﹣6，
∴T（2，﹣6），
∴AT＝6﹣（﹣6）＝12，
∴S△ABC＝S△ABT+S△ACT
=12×12×[2−(−1)]+12×12×(6−2)
＝18+24
＝42．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键．
23．（8分）如图，在水平地面上有两座建筑物AD，BC，其中BC＝18m．从A，B之间的E点（A，E，B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
【分析】（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F，根据题意可得：CF∥AB，从而可得∠FCE＝∠CEB＝30°，进而可得：∠DCE＝60°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点E作EG⊥CD，垂足为G，根据题意可得：AF＝BC＝18m，在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出CE的长，再在Rt△CEG中，利用锐角三角函数的定义求出CG和EG的长，然后在Rt△BEG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而求出CD的长，最后Rt△DFC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出DF的长，从而进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F，
由题意得：CF∥AB，
∴∠FCE＝∠CEB＝30°，
∵∠DCF＝30°，
∴∠DCE＝∠DCF+∠FCE＝60°，
∵∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝45°；
（2）过点E作EG⊥CD，垂足为G，
由题意得：AF＝BC＝18m，
在Rt△ABC中，BC＝18m，∠CEB＝30°，
∴CE＝2BC＝36（m），
在Rt△CEG中，∠ECD＝60°，
∴CG＝CE•cs60°＝36×12=18（m），EG＝CE•sin60°＝36×32=183（m），
在Rt△BEG中，∠EDG＝45°，
∴DG=EGtan45°=183（m），
∴CD＝CG+DG＝（18+183）m，
在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，
∴DF=12CD＝（9+93）m，
∴AD＝AF+DF＝18+9+93=（27+93）m，
∴建筑物AD的高度为（27+93）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。
24．（12分）如图，AB，CD是⊙O的直径，过点C的直线与过点B的切线交于点E，与BA的延长线交于点F，且EB＝EC，连接DE交AB于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝10，sinF=13，求EG的长．
【分析】（1）连接OE，由切线的性质可得∠OBE＝90°，证明△OEC≌△OEB（SSS），可得∠OCE＝∠OBE＝90°，据此由切线的判定定理可证明结论；
（2）过点C作CH⊥BF于H，过点D作DM⊥BF于M，设OA＝OC＝r，则OF＝OA+AF＝r+10，解Rt△OCF，得到3OC＝OF，则3r＝r+10，解方程可得OA＝OC＝5，则 AB＝CD＝2OA＝10，OF＝15，BF＝OF+OB＝20，由勾股定理得CF=102，则csF=223，解Rt△BEF，得到EF=152，则CE=52，BE=52，由勾股定理得DE=56，由等面积法可得CH=1023，证明△DOM≌△COH（AAS），得到DM＝CH=1023，证明△DGM∽△EGB，可得EGDG=521023=32，则EG=32+3DE=36．
【解答】（1）证明；如图所示，连接OE，
∵BE是⊙O的切线，
∴OB⊥BE，即∠OBE＝90°，
在△OEC和△OEB中，
OC=OBOE=OCCE=BE，
∴△OEC≌△OEB（SSS），
∴∠OCE＝∠OBE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：如图所示，过点C作CH⊥BF于H，过点D作DM⊥BF于M，
设OA＝OC＝r，则OF＝OA+AF＝r+10，
由（1）可得∠OCF＝90°，
在Rt△OCF中，sinF=OCOF=13，
∴3OC＝OF，
∴3r＝r+10，
∴r＝5，
∴OA＝OC＝5，
∴AB＝CD＝2OA＝10，OF＝15，
∴BF＝OF+OB＝20，
在Rt△OCF中，
由勾股定理得CF=OF2−OC2=152−52=102，
∴csF=CFOF=10215=223，
在Rt△BEF中，EF=BFcsF=20223=152，
∴CE=EF−CF=52，BE＝EF⋅sinF=52，
在Rt△CDE中，由勾股定理得DE=CE2+CD2=(52)2+102=56，
∵S△OCF=12CH⋅OF=12OC⋅CF，
∴CH=OC⋅CFOF=5×10215=1023，
∵∠CHO＝∠DMO＝90°，∠COH＝∠DOM，OC＝OD，
∴△DOM≌△COH（AAS），
∴DM＝CH=1023，
∴DMG＝∠EBG＝90°，∠DGM＝∠EGB，
∴△DGM∽△EGB，
∴EGDG=BEDM，即EGDG=521023=32，
∴EG=32+3DE=36．
【点评】本题主要考查了切线的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点C，D在直线y=12x+12上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第一象限的点，若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标；
（3）设点P（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，点Q（x1，y2）在抛物线y＝x2﹣（4m﹣2）x+4m2+2上，当1≤x1≤2时，y2﹣y1的最小值为3，求m的值．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过F作FH⊥x轴于H，设直线CD交y轴于K，求出K（0，12），直线y=12x+12与x轴交点为A（﹣1，0），得tan∠KAO=OKOA=12，设FH＝t，则EH＝2t，得DE＝EF=5t，AD＝2DE＝25t，AE＝5t，从而求出F（7t﹣1，t），把F（7t﹣1，t）代入y＝﹣x2+2x+3得：t＝﹣（7t﹣1）2+2（7t﹣1）+3，解出t值可得F（207，2749）；
（3）由点P（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，点Q（x1，y2）在抛物线y＝x2﹣（4m﹣2）x+4m2+2上，可得y2﹣y1=x12−（4m﹣2）x1+4m2+2﹣（−x12+2x1+3）＝2x12−4mx1+4m2﹣1＝2（x1﹣m）2+2m2﹣1，再分三种情况讨论可得答案．
【解答】解：（1）把（2，3），A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：−4+2b+c=3−1−b+c=0，
解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过F作FH⊥x轴于H，设直线CD交y轴于K，如图：
在y=12x+12中，令x＝0得y=12，令y＝0得x＝﹣1，
∴K（0，12），直线y=12x+12与x轴交点为A（﹣1，0），
∴tan∠KAO=OKOA=12，
∵四边形CDEF是正方形，
∴EF∥CD，DE＝EF，
∴∠FEH＝∠KAO，
∴tan∠FEH=FHEH=12，
设FH＝t，则EH＝2t，
∴EF=FH2+EH2=5t，
∴DE＝EF=5t，
∵tan∠KAO=DEDA=12，
∴AD＝2DE＝25t，
∴AE=DE2+AD2=(5t)2+(25t)2=5t，
∴AH＝AE+EH＝5t+2t＝7t，
∴OH＝AH﹣OA＝7t﹣1，
∴F（7t﹣1，t），
把F（7t﹣1，t）代入y＝﹣x2+2x+3得：t＝﹣（7t﹣1）2+2（7t﹣1）+3，
解得t＝0（舍去）或t=2749，
∴F（207，2749）；
（3）∵点P（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，点Q（x1，y2）在抛物线y＝x2﹣（4m﹣2）x+4m2+2上，
∴y1=−x12+2x1+3，y2=x12−（4m﹣2）x1+4m2+2，
∴y2﹣y1=x12−（4m﹣2）x1+4m2+2﹣（−x12+2x1+3）＝2x12−4mx1+4m2﹣1＝2（x1﹣m）2+2m2﹣1，
当m≤1时，若1≤x1≤2，则x1＝1时，y2﹣y1的值为3，
∴2（1﹣m）2+2m2﹣1＝3，
解得m=1+32（大于1，舍去）或m=1−32，
∴m=1−32；
当1＜m＜2时，若1≤x1≤2，则x1＝m时，y2﹣y1的值为3，
∴2m2﹣1＝3，
解得m=2或m=−2（舍去），
∴m=2；
当m≥2时，若1≤x1≤2，则x1＝2时，y2﹣y1的值为3，
∴2（2﹣m）2+2m2﹣1＝3，
解得m1＝m2＝1（舍去）；
综上所述，m的值为1−32或2．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，正方形性质及应用，解直角三角形，二次函数的最值问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
甲
乙
丙
丁
平均数
205
217
208
217
方差
4.6
4.6
6.9
9.6
课程名称
巧手木艺
创意缝纫
快乐种植
美味烹饪
爱心医护
人数
a
6
12
b
18
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C．
B
C
C
B
A
B
C
D
B
题号
12
答案
B
甲
乙
丙
丁
平均数
205
217
208
217
方差
4.6
4.6
6.9
9.6
课程名称
巧手木艺
创意缝纫
快乐种植
美味烹饪
爱心医护
人数
a
6
12
b
18
B
C
D
E
B
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，B）
（C，D）
（C，E）
D
（D，B）
（D，C）
（D，E）
E
（E，B）
（E，C）
（E，D）