【中考数学】2025年山东省烟台市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年山东省烟台市中考适应性模拟试卷（含解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）|﹣3|的倒数是（ ）
A．3B．13C．﹣3D．−13
2．（3分）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x2+x3＝3x5B．2x2•x3＝2x5
C．2x3÷（﹣x2）＝2xD．（2x2）3＝2x6
4．（3分）如图是社团小组运用3D打印技术制作的模型，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．20°
6．（3分）求一组数据方差的算式为：s2=1n×[(6−x)2+(8−x)2+(8−x)2+(6−x)2+(7−x)2]．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．n的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
7．（3分）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（ ）
A．350元B．320元C．270元D．220元
8．（3分）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为（ ）
A．4B．42C．2D．22
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，顶点P的坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≥0；③3b＜2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n=−3a．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①③④
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是角平分线．点E从点A出发，沿AB方向向点B运动，连接CE，点F在BC上，且∠CEF＝45°．设AE＝x，FD＝y，若y关于x的函数图象过点（0，2−2），则该图象上最低点的坐标为（ ）
A．（12，32−2）B．（22，32−2）
C．（12，3﹣22）D．（22，3﹣22）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地 共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）实数32的整数部分为 ．
13．（3分）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝ ．
14．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（6，32），△ABC的顶点A的坐标为（4，3）．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧…，按照以上规律作图，点A3的坐标为 ．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6cm．点M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以3cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 cm．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（6分）先化简，再求值：（2+m+4m−2）÷m3m−6，其中m＝（﹣1）2025．
18．（7分）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．
②乙社团的平均成绩为6×8+7×12+8×6+9×10+10×48+12+6+10+4=7.75（分）．
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）成绩为8分的学生在 社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
19．（7分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：
（1）利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长．
20．（8分）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
（1）求甲、乙两种路灯的单价；
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的13，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
21．（9分）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及⊙O的半径．
23．（11分）【问题呈现】
如图1，已知P是正方形A1A2A3A4外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，探究PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造△QA3A2与△PA1A2全等，从而得出PA1+PA3与PA2的数量关系；
思路二：如图3，构造△MA1A2与△NA3A2全等，从而得出PA1+PA3与PA2的数量关系．
（1）请参考小颖的思路，直接写出PA1+PA3与PA2的数量关系 ；
【类比探究】
（2）如图4，若P是正五边形A1A2A3A4A5外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，PA1＝11，PA3＝49，求PA2的长度（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，sin72°≈0.95，cs54°≈0.59，cs72°≈0.31）；
【拓展延伸】
（3）如图5，若P是正十边形A1A2⋯A10外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，则PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系为 （结果用含有锐角三角函数的式子表示）．
24．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F，连接CD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值．
2025年山东省烟台市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）
1．（3分）|﹣3|的倒数是（ ）
A．3B．13C．﹣3D．−13
【分析】首先运用绝对值的定义去掉绝对值的符号，然后根据倒数的定义求解．
【解答】解：∵|﹣3|＝3，3的倒数是13，
∴|﹣3|的倒数是13．
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值和倒数的定义．
绝对值的定义：如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x2+x3＝3x5B．2x2•x3＝2x5
C．2x3÷（﹣x2）＝2xD．（2x2）3＝2x6
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法与积的乘方的计算法则进行计算即可．
【解答】解：A．2x2和x3不是同类项，不能进行计算，故选项A不符合题意；
B．2x2•x3＝2x5，故选项B符合题意；
C．2x3÷（﹣x2）＝﹣2x，故选项C不符合题意；
D．（2x2）3＝8x6，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决问题的关键．
4．（3分）如图是社团小组运用3D打印技术制作的模型，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形解答即可．
【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中间有一条横向的虚线，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从左边看得到的图形．
5．（3分）如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．20°
【分析】首先根据平行线的性质得出∠A＝∠1＝30°，再根据三角形外角的性质可求出∠3的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝30°，
∴∠A＝∠1＝30°，
∵∠2＝∠A+∠3，∠2＝70°，
∴∠3＝∠2﹣∠A＝70°﹣30°＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质与三角形的外角性质，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解决问题的关键．
6．（3分）求一组数据方差的算式为：s2=1n×[(6−x)2+(8−x)2+(8−x)2+(6−x)2+(7−x)2]．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．n的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
【分析】根据已知的方差计算公式得出这组数据为6、6，7、8、8，再根据众数、平均数以及方差的概念求解即可．
【解答】解：∵这组数据为6、6，7、8、8，
∴n的值是5，故选项A说法正确，不符合题意；
该组数据的平均数是6×2+7+8×25=7，故选项B说法正确，不符合题意；
众数为6，8，故选项C说法错误，符合题意；
若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小，故选项D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查方差、样本容量、众数及平均数的定义，解题的关键是掌握方差的计算公式．
7．（3分）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（ ）
A．350元B．320元C．270元D．220元
【分析】利用成本价＝售价﹣利润，结合成本价不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这款风扇每台的标价为x元，
根据题意得：0.6x+10＝0.9x﹣95，
解得：x＝350，
∴这款风扇每台的标价为350元．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（3分）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为（ ）
A．4B．42C．2D．22
【分析】先证明AM＝CM，OC＝OA＝BC＝AB＝3，设C（x，y），可得M(x+32，y2)，xy=x+32⋅y2求解x＝1，过C作CH⊥AO于H，再进一步求解即可．
【解答】解：∵菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，
∴AM＝CM，OC＝OA＝BC＝AB＝3，
∴A（3，0），
设C（x，y），
∴M（x+32，y2），
∴xy=x+32⋅y2，
解得：x＝1，
过C作CH⊥AO于H，
∴OH＝1，CH=32−12=22，
∴C(1，22)，
∴k=1×22=22；
故选：D．
【点评】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，顶点P的坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≥0；③3b＜2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n=−3a．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①③④
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，a＜0，b＞0，c＞0，可得①符合题意；
结合当x＝1时，n＝a+b+c最大，当x＝m时，y＝am2+bm+c，可得②不符合题意；
由−b2a=1，a﹣b+c＞0，可得3b＜2c，可得③符合题意；
由PH＝tan60°•AH，记A，B的横坐标分别为x1，x2，可得n=32⋅4a−4ca=3⋅a−ca=3a−3ca=−3a2−3aca，结合n＝a+b+c＝c﹣a，可得a（a﹣c）＝3，可得④符合题意．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①符合题意；
∵顶点P的坐标为（1，n），
∴当x＝1时，n＝a+b+c最大，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴am2+bm﹣a﹣b≤0，故②不符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和 （﹣1，0）之间，对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1，a﹣b+c＞0，
∴a=−12b，−12b−b+c＞0，
∴3b＜2c，故③符合题意；
如图，△PAB为等边三角形，
∴PA＝AB＝PB，PH⊥AB，HA＝HB，∠PAB＝60°，
∴PH＝tan60°•AH，
记A，B的横坐标分别为x1，x2，
∴n=3（x2﹣1）=3（1﹣x1），
∴2n=3(x2−x1)，
当y＝ax2+bx+c＝0，则x1+x2=−ba=2，x1x2=ca，
∴x2−x1=(x1+x2)2−4x1x2=4−4ca，
∴n=32⋅4a−4ca=3⋅a−ca=3a−3ca=−3a2−3aca，
∵n＝a+b+c＝c﹣a，
∴c−a=−3a2−3aca，
∴a（a﹣c）＝3，
∴n=−3a(a−c)a=−3a，故④符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是角平分线．点E从点A出发，沿AB方向向点B运动，连接CE，点F在BC上，且∠CEF＝45°．设AE＝x，FD＝y，若y关于x的函数图象过点（0，2−2），则该图象上最低点的坐标为（ ）
A．（12，32−2）B．（22，32−2）
C．（12，3﹣22）D．（22，3﹣22）
【分析】证明∠CAD＝∠BAD＝22.5°，设AC＝BC＝m，可得AB=AC2+BC2=2m如图，在AC上取点Q，使AQ＝DQ，求解：CD=CQ=(2−1)m，证明△ACE∽△BEF，可得m2m−x=xBFDF=y=m−(2−1)m−(2m−x)xm=(2−2)m−(2m−x)xm，结合y关于x的函数图象过点(0，2−2)，求解：m＝1，再进一步利用二次函数的性质解题即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是角平分线，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＝∠BAD＝22.5°，
设AC＝BC＝m，
∴AB=AC2+BC2=2m，
如图，在AC上取点Q，使AQ＝DQ，
∴∠QAD＝∠QDA＝22.5°，
∴∠CQD＝45°＝∠CDQ，
CQ＝CD=22QD=22AQ’，
∴2CQ+CQ=m，
解得：CD=CQ=(2−1)m，
∠CEF＝45°＝∠CAB，∠CEF+∠BEF＝∠ACE+∠CAE，
∴∠BEF＝∠ACE，
∴△ACE∽△BEF，ACBE=AEBFm2m−x=xBFBF=(2m−x)xm，
∴DF=y=m−(2−1)m−(2m−x)xm=(2−2)m−(2m−x)xm，
∵y关于x的函数图象过点(0，2−2)，
∴(2−2)m=2−2，
解得：m＝1，
∴y=2−2−(2−x)x=x2−2x+2−2，
当x=−−22=22时，y=32−2，
∴该图象上最低点的坐标为(22，32−2)；
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地 共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为 5.635×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：56350000＝5.635×107．
故答案为：5.635×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）实数32的整数部分为 4 ．
【分析】将32化为18，然后利用夹逼法进行估算即可．
【解答】解：32=18，
∵16＜18＜25，
∴4＜18＜5，
则32的整数部分为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
13．（3分）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝ 2（x﹣3y）2 ．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3）2，
故答案为：2（x﹣3y）2．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是关键．
14．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为 16π3−83 ．
【分析】连接OA、OE、OF，过点O作OM⊥AF于点M，根据正六边形的性质得出OA＝OE＝OF，∠AOF=∠EOF=360°6=60°，∠BAF＝120°，证明△OAF和△OEF为等边三角形，求出S△OAF=12AF×OM=12×4×23=43，证明△GOA≌△HOE，得出S△GOA＝S△EOH，得出S五边形AGOHF=S四边形AOEF=2S△AOF=83，根据S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF，求出结果即可．
【解答】解：连接OA、OE、OF，过点O作OM⊥AF于点M，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴OA＝OE＝OF，∠AOF=∠EOF=360°6=60°，∠BAF＝120°，
∴△OAF和△OEF为等边三角形，∠AOE＝60°+60°＝120°，
∴∠OEF＝∠OAF＝60°，
∵OM⊥AF，
∴AM＝FM=12AF＝2，
∴OM=42−22=23，
∴S△OAF=12AF×OM=12×4×23=43，
∵∠BAF＝120°，
∴∠OAG＝120°﹣60°＝60°，
∴∠OAG＝∠OEH，
∴∠GOA+∠AOH＝∠AOH+∠EOH＝120°，
∴∠GOA＝∠EOH，
∴△GOA≌△HOE，
∴S△GOA＝S△HOE，
∴S△GOA+S四边形AOHF＝S△HOE+S四边形AOHF，
∴S五边形AGOHF＝S四边形AOEF=2S△AOF=83，
∴S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF
=120π×42360−83
=16π3−83，
答案为：16π3−83．
【点评】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（6，32），△ABC的顶点A的坐标为（4，3）．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧…，按照以上规律作图，点A3的坐标为 （﹣10，272） ．
【分析】利用待定系数法求出直线AP的解析式，利用两点间的距离公式求出AP，根据位似变换的性质求出AP3，再根据两点间的距离公式列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设直线AP的解析式为：y＝kx+b，
则6k+b=324k+b=3，
解得：k=−34b=6，
则直线AP的解析式为y=−34x+6，
AP=(6−4)2+(32−3)2=52，
由题意得：AP1＝2AP＝5，AP2＝2AP1＝10，AP3＝2AP2＝20，
设A3的坐标为（m，−34m+6），
则（m﹣6）2+（−34m+6−32）2＝202，
解得：m1＝﹣10，m2＝22（舍去），
当m＝﹣10时，−34m+6=272，
∴点A3的坐标为（﹣10，272），
故答案为：（﹣10，272）．
【点评】本题考查的是位似变换，图形的变化规律，熟记两点间的距离公式是解题的关键．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6cm．点M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以3cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 23π3 cm．
【分析】如图，连接BD交AC于J．求解∠DAC＝30°＝∠DCA，AJ＝CJ＝3，DJ=BJ=AJ⋅tan30°=3，AD＝AB＝BD＝23=CD，设运动时间为t，则AM＝t，CN=3t，证明△ADM∽△CAN，可得∠APD＝180°﹣30°＝150°，作等边三角形ADO，以O为圆心，OD为半径作圆，取点K，连接AK，DK，证明P在⊙O上，且在弧AD上，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6cm，连接BD交AC于J，
∴∠DAC＝30°＝∠DCA，AJ＝CJ＝3，
DJ＝BJ＝AJ•tan30°=3AD=AB=BD=23=CD，
设运动时间为t，则AM＝t，CN=3t，t23=3t6，即AMAD=CNCA，
∴△ADM∽△CAN，
∴∠ADM＝∠CAN，
∴∠APM＝∠DAP+∠ADM＝∠DAP+∠CAN＝30°，
∴∠APD＝180°﹣30°＝150°，
作等边三角形ADO，以O为圆心，OD为半径作圆，取点K，连接AK，DK，
∴OA=OD=AD=23，∠AOD＝60°，∠AKD=12×60°=30°，
∴∠AKD+∠APD＝180°，
∴P在⊙O上，且在弧AD上，
∴在此过程中，点P的运动路径长为60π×23180=23π3，
故答案为：23π3．
【点评】本题考查的是菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的确定，三角函数的应用，弧长的计算，证明P在⊙O上，且在弧AD上是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（6分）先化简，再求值：（2+m+4m−2）÷m3m−6，其中m＝（﹣1）2025．
【分析】先通分去掉小括号，再根据分式除法的运算法则进行计算，最后将m的值代入求出结果．
【解答】解：原式= m2−4+4m−2÷m3(m−2)
=m2m−2⋅3(m−2)m
＝3m．
∵m＝（﹣1）2025＝﹣1，
∴原式＝3×（﹣1）＝﹣3．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据运算法则来计算．
18．（7分）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．
②乙社团的平均成绩为6×8+7×12+8×6+9×10+10×48+12+6+10+4=7.75（分）．
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）成绩为8分的学生在 乙 社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）先根据题干已知数据得出甲社团满分人数及乙社团得7分人数，继而补全图形；
（2）先求出甲、乙社团学生成绩的中位数，再根据中位数的意义求解即可；
（3）男生用A表示，两名女生分别用B和C表示，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由统计数据知，甲社团满分人数为3人，乙社团7分的有12人，补全图形如下：
（2）甲社团成绩的中位数为8+82=8（分），乙社团成绩的中位数为7+82=7.5（分），
所以成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前；
（3）男生用A表示，两名女生分别用B和C表示．
由图可知共有6种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到一名男生和一名女生有4种结果，
所以所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为46=23．
【点评】本题考查的是从统计数据，平均数公式中获取信息，求解中位数，利用中位数做决策，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，掌握统计的基础知识是解本题的关键．
19．（7分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：
（1）利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长．
【分析】（1）以D为圆心，DC为半径画弧，以B为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，BE即可；
（2）如图，证明AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，AD∥|BC，∠A＝90°，可得∠ADB＝∠CBD，证明FB＝FD，设AF＝x，则DF＝2﹣x，可得12+x2＝（2﹣x）2再解方程即可．
【解答】解：（1）如图，△BED即为所求作的三角形；
由作图可得：DE＝DC，BE＝BC，BD＝BD，、
∴△BCD≌△BED（SSS），
∴△BED即为所求作的三角形；
（2）如图，矩形ABCD，
∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠CBD，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴FB＝FD，设AF＝x，则DF＝2﹣x，12+x2＝（2﹣x）2，
解得：x=34，
∴AF=34．
【点评】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练的作图是解本题的关键．
20．（8分）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
（1）求甲、乙两种路灯的单价；
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的13，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
【分析】（1）设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元，根据“购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费w元，则购买（40﹣m）盏乙种路灯，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，由购买甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的13，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元，
根据题意得：x+2y=2204y−3x=140，
解得：x=60y=80．
答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元；
（2）设购买m盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费w元，则购买（40﹣m）盏乙种路灯，
根据题意得：w＝60m+80（40﹣m）＝﹣20m+3200，
∵﹣20＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤13（40﹣m），
∴m≤10，
∴当m＝10时，w取得最小值，此时40﹣m＝40﹣10＝30（盏）．
答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21．（9分）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
【分析】（1）过点B作 BE⊥AC于点E，设BE＝x，根据题意得出EC＝ED+DC＝x+5，解Rt△BCE，得出EC=43x，建立方程，即可求解；
（2）求得AE的距离，计算AC的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，
设BE＝x，
依题意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝10×12=5，
∴∠C＝90°﹣∠EBC＝37°，ED＝x，
∴EC＝ED+DC＝x+5，
在Rt△BCE中，EC=BEtanC=xtan37°≈x0.75=43x，
∴43x=x+5，
解得：x＝15，
∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；
（2）在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15，
∴AE＝BE•tan14°≈15×0.25＝3.75，
∴AC＝AE+DE+DC＝15+3.75+5＝23.75，
23.75÷10＝2.375小时＝142.5分钟，
从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及⊙O的半径．
【分析】（1）作直径AE，连接BE，如图，先证明∠C＝∠BAD，再证明∠E+∠BAE＝90°，然后证明∠DAE＝90°，则根据切线的判定方法得到结论；
（2）先证明△DAB∽△DCA，利用相似比可计算出DC=645，所以BC＝CD﹣DB395；接着根据等腰三角形的性质得到CH=12CD=325，则利用勾股定理可计算出AH=245，然后证明△ABE∽△AHC，利用相似比求出AE，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：作直径AE，连接BE，如图，
∵BD＝AB，
∴∠D＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠BAD，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝∠BAD，
∵∠E＝∠C，
∴∠E＝∠BAD，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAE＝90°，
即∠DAE＝90°，
∴AE⊥AD，
∵AE为直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠D＝∠C，
∴AD＝AC＝8，
∵∠BAD＝∠C，∠ADB＝∠CDA，
∴△DAB∽△DCA，
∴DB：DA＝DA：DC，
即5：8＝8：DC，
解得DC=645，
∴BC=645−5=395；
∵AD＝AC，AH⊥CD，
∴CH=12CD=325，
在Rt△ACH中，∵AC＝8，CH=325，
∴AH=82−(325)2=245，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠E＝∠C，∠ABE＝AHC，
∴△ABE∽△AHC，
∴AE：AC＝AB：AH，
即AE：8＝5：245，
解得AE=253
∴⊙O的半径为256．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了圆周角定理和切线的判定与性质．
23．（11分）【问题呈现】
如图1，已知P是正方形A1A2A3A4外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，探究PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造△QA3A2与△PA1A2全等，从而得出PA1+PA3与PA2的数量关系；
思路二：如图3，构造△MA1A2与△NA3A2全等，从而得出PA1+PA3与PA2的数量关系．
（1）请参考小颖的思路，直接写出PA1+PA3与PA2的数量关系 PA1+PA3=2PA2 ；
【类比探究】
（2）如图4，若P是正五边形A1A2A3A4A5外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，PA1＝11，PA3＝49，求PA2的长度（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，sin72°≈0.95，cs54°≈0.59，cs72°≈0.31）；
【拓展延伸】
（3）如图5，若P是正十边形A1A2⋯A10外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，则PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系为 PA1+PA3＝2PA2•cs72° （结果用含有锐角三角函数的式子表示）．
【分析】（1）根据思路一：构造△QA3A2与△PA1A2全等，从而得出△A2PQ是等腰直角三角形，即可PA1+PA3与PA2的数量关系；
（2）在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q，过点A2作A2T⊥PQ于点T，同（1）得△QA3A2≌△PA1A2，则∠PA2Q＝∠A1A2A3＝108°，A2P＝A2Q，可得∠PA2T=12∠PA2Q=54°，根据PA2=PTcs54°≈300.59≈50.8，即可求解；
（3）同（2）的方法，即可求解．
【解答】解：（1）PA1+PA3=2PA2，
如图，在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q，
∵∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，∠QA3A2+∠A2A3P＝180，
∴∠A2A1P＝∠A2A3Q，
又∵四边形A1A2A3A4是正方形，
∴A2A1＝A2A3，
∴△QA3A2≌△PA1A2，
∴∠A1A2P＝∠A3A2Q，A2P＝A2Q，
又∵四边形A1A2A3A4是正方形，
∴∠A1A2A3＝90°，
∴∠PA2Q＝90°，
∴△A2PQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PA3+A3Q=PA3+PA1=2PA2，
故答案为：PA1+PA3=2PA2；
（2）正五边形的一个内角为(5−2)×180°5=108°，
如图，在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q，过点A作AT⊥PQ于点T，
同理可得△QA3A2≌△PA1A2，
∴∠PA2Q＝∠A1A2A3＝108°，A2P＝A2Q，
∴∠PA2T=12∠PA2Q=54°，
∵PA1＝11，PA3＝49，
∴PQ＝PA3+A3Q＝PA3+PA1＝60，
∴PT=12PQ=30，
∴PA2=PTcs54°≈300.59≈50.8；
（3）如图，在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q过点A2作A2T⊥PQ于点T，
同理可得∠PA2Q=∠A1A2A3=(10−2)×180°10=144°，
∴∠PA2T=12∠PA2Q=72°，
∴PA2=PTcs54°≈300.59≈50.8，
∵PQ＝PA3+A3Q＝PA3+PA1，
∴PT=12PQ=12(PA1+PA3)，
∴PA2=PTcs72°=12(PA1+PA3)cs72°，即PA1+PA3＝2PA2•cs72°，
故答案为：PA1+PA3＝2PA2•cs72°．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形，多边形的内角和问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F，连接CD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值．
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）①求出直线BC：y=−12x+3，则D(t，−14t2+t+3)，E（t，−12t+3），即可用t的代数式表示DE；
②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可；
（3）在y轴负半轴取点N（0，﹣6），连接NG并延长交x轴于点M，连接AN，证明△BOE≌△NOG（SAS），则∠CBO＝∠MNO，确定点G在线段MN上运动（不包括端点），故当AG⊥MN时，AG最小，可证明△COB≌△MON（ASA），求得MN=OM2+ON2=35，而当AG⊥MN时，S△AMN=12AM⋅ON=12MN⋅AG，即可由面积法求最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴4a−2b+3=036a+6b+3=0，
解得：a=−14b=1，
∴抛物线表达式为y=−14x2+x+3；
（2）①对于抛物线表达式y=−14x2+x+3，
当x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC表达式为：y＝kx+b，
则6k+b=0b=3，
解得：k=−12b=3，
∴直线BC：y=−12x+3，
∵DE⊥AB，
∴D（t，−14t2+t+3），E(t，−12t+3)，
∴DE=−14t2+t+3−(−12t+3)=−14t2+32t，
∴DE=−14t2+32t(0＜t＜6)；
②存在，
CD=t2+(−14t2+t+3−3)2=t2+(−14t2+t)2，而CE=t2+(−12t+3−3)2=52t，
当DE＝CE时，−14t2+32t=52t，
解得：t=6−25或t＝0（舍），
∴−14t2+t+3=−14×(6−25)2+6−25+3=45−5，
∴D(6−25，45−5)，
当CD＝DE时，t2+(−14t2+t)2=(−14t2+32t)2，
整理得：t2（﹣t+1）＝0，
解得：t＝1或t＝0（舍），
∴−14t2+t+3=−14×12+1+3=154，
∴D(1，154)，
当CD＝CE时，t2+(−14t2+t)2=(52t)2，
整理得：t2(116t2−12t+34)=0，
解得：t＝2或t＝6（舍）或t＝0（舍），
∴−14t2+t+3=−14×22+2+3=4，
∴D（2，4），
综上：△CDE是等腰三角形时，D（2，4）或D(1，154)或D(6−25，45−5)；
（3）在y轴负半轴取点N（0，﹣6），连接NG并延长交x轴于点M，连接AN，
由旋转得：OE＝OG，∠EOG＝90°，
∵B（6，0），
∴OB＝ON，
∴∠BON＝90°，
∴∠EOM＝∠GON＝90°﹣∠MOG，
∴△BOE≌△NOG（SAS），
∴∠CBO＝∠MNO，
∴点G在线段MN上运动（不包括端点），
∴当AG⊥MN时，AG最小，
∵∠CBO＝∠MNO，OB＝ON，∠COB＝∠MON，
∴△COB≌△MON（ASA），
∴OM＝OC＝3，
∴MN=OM2+ON2=35，
∴当AG⊥MN时，S△AMN=12AM⋅ON=12MN⋅AG
∴12×5×6=12×35×AG，
∴AG=25，
∴线段AG长度的最小值25．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强．
位置信息
码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警
受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
C
A
C
A
D
D
B
位置信息
码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警
受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．