【中考数学】2025年江苏省常州市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年江苏省常州市中考适应性模拟试卷（含解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．12
2．（2分）若使分式5x+1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1B．x＝﹣1C．x≥﹣1D．x＞﹣1
3．（2分）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）如图，⊙O的半径为2，直径AB、CD互相垂直，则BC的长是（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（ ）
A．35B．34C．45D．43
6．（2分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC的长是（ ）
A．4B．5C．6D．10
7．（2分）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
8．（2分）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以v2分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以54v1米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）4的算术平方根是 ．
10．（2分）计算（a2）3＝ ．
11．（2分）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
12．（2分）太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为 ．
13．（2分）若x3＞y3则x﹣y 0．（填＞、＜或＝）．
14．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
15．（2分）如图，AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD＝50°，则∠α＝ ．
16．（2分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE、BA的延长线相交于点F，若AB＝2，则AF＝ ．
17．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ ．
18．（2分）如图，在△ABC中，tanC=43，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）2，其中x=3．
20．（6分）解不等式组x2+1≥02x−3＜−3并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：
对以上数据进行分析，绘制成如表：
（1）填空：x甲= ，m＝ ，n＝ ；
（2）根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由．
22．（8分）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率．
23．（8分）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于点A（1，n）、B（﹣3，﹣2），且与y轴交于点C．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA，求△OAC的面积．
26．（10分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1．
（1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝ ；
（2）已知OB＝OD，AC＝BD．
①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长．
27．（10分）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−32x+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2．
（1）OB＝ ；
（2）求点C的坐标；
（3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，52），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围．
28．（10分）在平面xOy中以下种不同所得线段的关系．
方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转90°；
方式二：先原点O按逆时针方向旋转90°，然后向右平移1个单位长度．
如图1小明将线段AB按方式一方式二运动：分别得到线段A1B1、A2B2，发现它们除长度相等外还有其他关系．
【实践体验】
（1）如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段C1D1．请你利用网格，在图2中画出线段CD按方式二运动得到的线段；
【探索发现】
（2）在平面直角坐标系xOy中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段a1、a2，则线段a1、a2所在直线可能 （写出所有可能的序号）；
①相交；②平行；③是同一条直线．
【综合应用】
（3）如图3，已知点G（2，3），H（x，y）是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方式二运动，分别得到线段G1H1、G2H2（G1、G2是G的对应点．H1、H2是H的对应点）．
①若点H1与点G2重合，求点H的坐标；
②若线段G1H1与线段G2H2有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围．
2025年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．12
【分析】根据数轴得到点P表示的数为2，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【解答】解：根据数轴得到点P表示的数为2，
故数轴上点P表示的数的相反数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查求一个数的相反数，数轴，熟练掌握以上知识点是关键．
2．（2分）若使分式5x+1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1B．x＝﹣1C．x≥﹣1D．x＞﹣1
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：A．
【点评】从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
3．（2分）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三棱柱的形体特征进行判断即可．
【解答】解：三棱柱的侧面是长方形，因此选项D是三棱柱的侧面展开图，
故选：D．
【点评】本题考查几何体的展开图，掌握三棱柱的形体特征是正确解答的关键．
4．（2分）如图，⊙O的半径为2，直径AB、CD互相垂直，则BC的长是（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
【分析】先利用直径AB、CD互相垂直，得出∠BOC＝90°，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：∵直径AB、CD互相垂直，
∴∠BOC＝90°，
∴BC弧的长为90π×2180=π，
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（ ）
A．35B．34C．45D．43
【分析】利用勾股定理求得BC的长度，再根据正弦的定义即可求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC=AB2+AC2=32+42=5，
∴sinB=ACBC=45，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．（2分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC的长是（ ）
A．4B．5C．6D．10
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得AO的长，从而得到结果．
【解答】解：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．
∴AC⊥BD，AO＝CO，
∴∠AOB＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴AO=12AB=52，
∴AC＝2AO＝5，
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
7．（2分）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【解答】解：由题意得∠A＝∠D，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
8．（2分）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以v2分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以54v1米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意得小丽家到图书馆的距离为1500米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出v1=65v2，可得现在小华开始的速度为32v2（米/分钟），设小华t分钟后与小丽相遇后，由题意得32v2t=v2t+300，得v2t＝600，则相遇时小华到图书馆的距离为1800−32v2t=900（米），再结合小华开始的速度为32v2米/分钟，大于后面的速度v2米/分钟，即可求解．
【解答】解：小丽家到图书馆的距离为1800﹣300＝1500（米），
由条件可得1800v1=1500v2，
∴v1=65v2，
∴现在小华开始的速度为54v1=54×65v2=32v2（米/分钟），
设小华t分钟后与小丽相遇，
由题意得32v2t=v2t+300，
得v2t＝600，
则相遇时小华到图书馆的距离为1800−32v2t=900（米），
剩余路程为1800﹣900＝900（米），
再结合小华开始的速度为32v2米/分钟，大于后面的速度v2米/分钟，
则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，
可知只有选项A符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）4的算术平方根是 2 ．
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
10．（2分）计算（a2）3＝a6 ．
【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）
【解答】解：（a2）3＝a2×3＝a6．
故答案为：a6
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
11．（2分）分解因式：x2﹣9y2＝ （x﹣3y）（x+3y） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
12．（2分）太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为 7×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：700000＝7×105．
故答案为：7×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（2分）若x3＞y3则x﹣y ＞ 0．（填＞、＜或＝）．
【分析】根据不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答．
【解答】解：∵x3＞y3，
∴不等式两边都乘以3得x＞y，
∴x﹣y＞0，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
14．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 1 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（﹣2）2﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ＝0，此题难度不大．
15．（2分）如图，AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD＝50°，则∠α＝ 40° ．
【分析】先根据平行线的性质得出∠BAC的度数，再由AC⊥AD得出∠CAD＝90°，进而可得出结论．
【解答】解：∵直线AB∥CD，∠ACD＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣50°＝130°，
∵AC⊥AD，
∴∠CAD＝90°，
∴∠α＝∠BAC﹣∠CAD＝130°﹣90°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
16．（2分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE、BA的延长线相交于点F，若AB＝2，则AF＝ 1 ．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由DE＝2AE，推导出AEBC=AEAD=13，可证明△FAE∽△FBC，得AFBF=AEBC=13，而AB＝2，则AF2+AF=13，求得AF＝1，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE＝2AE，
∴AD＝AE+DE＝AE+2AE＝3AE，
∴AEBC=AEAD=AE3AE=13，
∵AE∥BC，
∴△FAE∽△FBC，
∴AFBF=AEBC=13，
∵AB＝2，
∴AF2+AF=13，
∴AF＝1，
故答案为：1．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△FAE∽△FBC是解题的关键．
17．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ 2 ．
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可知∠ADB＝90°，求出∠DCB＝∠DAB＝45°，得到BD＝AD＝1，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DCB＝45°，
∴∠DCB＝∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°，
∴BD＝AD＝1，
∴AB=AD2+BD2=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角为90°，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
18．（2分）如图，在△ABC中，tanC=43，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝ 212 ．
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，由tanC=FGCG=43，设FG＝4x，则CG＝3x，结合CF＝5，求出FG＝4，CG＝3，由翻折得AC＝AE，设AC＝AE＝y，则AG＝AC﹣CG＝y﹣3，AF＝AE﹣EF＝y﹣2，在Rt△AFG中，利用AF2＝AG2+FG2，求解即可．
【解答】解：在△ABC中，tanC=43，如图，过点F作FG⊥AC于点G，
∴tanC=FGCG=43，
设FG＝4x，则CG＝3x，
在直角三角形CFG中，CF＝5，
由勾股定理得：CF2＝CG2+FG2，即52＝（3x）2+（4x）2，
解得：x＝1（负值已舍去），
∴FG＝4，CG＝3，
由翻折得AC＝AE，
设AC＝AE＝y，
则AG＝AC﹣CG＝y﹣3，AF＝AE﹣EF＝y﹣2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：AF2＝AG2+FG2，
即（y﹣2）2＝（y﹣3）2+42，
解得：y=212，
即AC=212，
故答案为：212．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）2，其中x=3．
【分析】首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
【解答】解：原式＝x2+2x+x2﹣2x+1
＝2x2+1，
当x=3时，原式=2×(3)2+1=7．
【点评】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键．
20．（6分）解不等式组x2+1≥02x−3＜−3并把解集在数轴上表示出来．
【分析】解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可．
【解答】解：解第一个不等式得：x≥﹣2，
解第二个不等式得：x＜0，
故原不等式组的解集为﹣2≤x＜0，
在数轴上表示其解集如下图所示：
．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
21．（8分）甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：
对以上数据进行分析，绘制成如表：
（1）填空：x甲= 7 ，m＝ 6 ，n＝ 7 ；
（2）根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义和计算方法进行计算即可；
（2）根据甲、乙二人射击成绩的方差的大小进行判断即可．
【解答】解：（1）x甲＝y=6×4+7×3+8×2+910=7（环），
人员甲射击10次成绩出现次数最多的是6环，所以人员甲射击10次成绩的众数是6环，即m＝6，
将人员乙10次射击成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为7+72=7（环），所以人员乙10次射击成绩的中位数是7环，即n＝7，
故答案为：7，6，7；
（2）甲的射击成绩比较稳定，理由：样本中甲的射击成绩的方差较小，成绩比较稳定．
【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的定义以及计算方法是正确解答的关键．
22．（8分）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 13 ；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，即①⑤、③④，
∴抽到的数与文字描述相符合的概率为26=13．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？
【分析】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水（x+1）吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可．
【解答】解：设浇水方式改进后平均每天用水x吨，
依题意，得：20x=20x+1×2
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意，
答：浇水方式改进后平均每天用水1吨．
【点评】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【分析】（1）先利用AB＝AC得出∠B＝∠C，再利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）利用根据角平分线的作图方法作图即可．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠B=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：作∠DAE的平分线AF，交DE于点F，如图所示，AF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于点A（1，n）、B（﹣3，﹣2），且与y轴交于点C．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA，求△OAC的面积．
【分析】（1）先将B（﹣3，﹣2）代入y=mx求出反比例函数解析式，再将A（1，n）代入y=6x，求出A（1，6），将A（1，6），B（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b，求解即可；
（2）先求出C（0，4），再利用S△OAC=12OC⋅|xA|求解即可．
【解答】解：（1）将B（﹣3，﹣2）代入y=mx，
得−2=m−3，
解得m＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
将A（1，n）代入y=6x，
得：n＝6，
∴A（1，6），
由条件可得6=k+b−2=−3k+b，
解得：k=2b=4，
∴一次函数的解析式为y＝2x+4；
（2）当x＝0时，y＝2x+4＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∴S△OAC=12OC⋅|xA|=12×4×1=2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法．
26．（10分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1．
（1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝ 2 ；
（2）已知OB＝OD，AC＝BD．
①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长．
【分析】（1）由△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，分别讨论：当BD＝AB＝2时和当BD＝AD＝1时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可；
（2）①利用OA＝OC，OB＝OD，得出四边形ABCD是平行四边形，再利用AC＝BD，即可判定四边形ABCD是矩形；②过点B作BE⊥AC于点E，利用CD2＝AD2+AC2，得出△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，证明△AOD≌△EOB，得出BE＝DA＝1，AO＝EO，利用勾股定理求出AE=3，得出AO=EO=12AE=32，再利用勾股定理求出OD=72，得出BD=2OD=7，即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，
∴当BD＝AB＝2时，此时满足三角形三边关系；
当BD＝AD＝1时，1+1＝2，此时不满足三角形三边关系；
综上所述，BD＝2，
故答案为：2；
（2）①四边形ABCD是矩形；理由如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
②过点B作BE⊥AC于点E，如图，
∵在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴∠DAO＝∠BEO＝90°，
在△AOD和△EOB中，
∠DAO=∠BEO=90°∠AOD=∠EOBOD=OB，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴BE＝DA＝1，AO＝EO，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=AB2−BE2=3，
∴AO=EO=12AE=32，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=AD2+AO2=72，
∴BD=2OD=7，
∴AC=BD=7．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
27．（10分）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−32x+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2．
（1）OB＝ 3 ；
（2）求点C的坐标；
（3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，52），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求出x＝0时，函数y=−32x+3的函数值，得到B点坐标，即可得出结果；
（2）根据点B′落在x轴正半轴上，得到点B向下平移了3个单位，进而得到点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同，进而求出C的纵坐标，代入函数解析式，求出C点坐标即可；
（3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：y=98(x−43−ℎ)2−2，把D点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图象和性质，进行求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知B（0，3），
∴OB＝3；
故答案为：3；
（2）∵B（0，3），点B的对应点B′落在x轴正半轴上，
∴点B向下平移3个单位，
∴点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同，
∵点C′的纵坐标为﹣2，
∴点C的纵坐标为﹣2+3＝1；
∵点C在线段AB上，即点C在直线y=−32x+3上，
∴当y=−32x+3=1时，x=43，
∴C(43，1)；
（3）∵B（0，3），C(43，1)，
∴y=a(x−43)2+1，把B（0，3）代入，得：a(0−43)2+1=3，
∴a=98，
∴y=98(x−43)2+1，
∵平移后点B的对应点B′落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为：y=98(x−43−ℎ)2−2，
把G(0，52)代入，得：98(0−43−ℎ)2−2=52，
解得：ℎ=23或ℎ=−103（舍去）；
∴y=98(x−43−23)2−2=98(x−2)2−2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点D（3，y1）关于对称轴的对称点为D′（1，y1），
∵对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，
∴m+1＜1或m≥3，
∴m＜0或m≥3．
【点评】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
28．（10分）在平面xOy中以下种不同所得线段的关系．
方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转90°；
方式二：先原点O按逆时针方向旋转90°，然后向右平移1个单位长度．
如图1小明将线段AB按方式一方式二运动：分别得到线段A1B1、A2B2，发现它们除长度相等外还有其他关系．
【实践体验】
（1）如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段C1D1．请你利用网格，在图2中画出线段CD按方式二运动得到的线段；
【探索发现】
（2）在平面直角坐标系xOy中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段a1、a2，则线段a1、a2所在直线可能 ②③ （写出所有可能的序号）；
①相交；②平行；③是同一条直线．
【综合应用】
（3）如图3，已知点G（2，3），H（x，y）是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方式二运动，分别得到线段G1H1、G2H2（G1、G2是G的对应点．H1、H2是H的对应点）．
①若点H1与点G2重合，求点H的坐标；
②若线段G1H1与线段G2H2有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围．
【分析】（1）按顺序应用旋转和平移的性质画图即可；
（2）先求出按方式一和方式二变换后的端点坐标，然后再根据待定系数法列方程组，求出一次项系数，通过一次项系数来判断直线a1，a2的位置关系；
（3）①先由平行性质转化为共线问题，再通过参考直线方程得到函数关系y＝x+1；
②通过线段端点位置关系分析范围，结合不等式确定临界点（x＝1和x＝3），结合图形，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，线段C2D2即为所求作的线段；
（2）设线段a的端点为P（x1，y1）和Q（x2，y2），
按方式一变换得到线段对应端点分别为：P1（﹣y1，x1+1），Q1（﹣y2，x2+1），
按方式二变换得到线段对应端点分别为：P2（1﹣y1，x1），Q2（1﹣y2，x2），
设直线a1的解析式为：y＝px+q，代入P1（﹣y1，x1+1），Q1（﹣y2，x2+1）得，
x1+1=−y1p+qx2+1=−y2p+q，消去q后，整理得，p=x1−x2y2−y1，
设直线a2的解析式为：y＝mx+n，代入P2（1﹣y1，x1），Q2（1﹣y2，x2）得，
x1=(1−y1)m+nx2=(1−y2)m+n，消去n后，整理得，m=x1−x2y2−y1，
∴p＝m，即a1和a2所在直线可能平行或是同一直线，
故选：②③；
（3）G（2，3）按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，G1坐标为（﹣3，3），
H（x，y）按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点OH安逆时针方向旋转90°，H1坐标为H1（﹣y，x+1），
G（2，3）按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转90°，再向右平移1个单位，G2坐标为 （﹣2，2），
H（x，y）按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转90°，再向右平移1个单位，H2坐标为 （﹣y+1，x）；
①∵点H1与点G2重合，
∴x+1=2−y=−2，解得x=1y=2，即H（1，2）；
②由（2）可知G1H1∥G2H2，若线段G1H1与线段G2H2有公共点，则点G1，H1，G2，H2在一条直线上，
设直线G1G2的解析式为：y＝kx+b，
则3=−3k+b2=−2k+b，
解得k=−1b=0，
∴直线G1G2的解析式为：y＝﹣x，
将点H1坐标为（﹣y，x+1）代入得，x+1＝﹣（﹣y），整理得，y＝x+1，
∴H1（﹣（x+1），x+1），H2（﹣x，x），
讨论有交点情况：
（i）当点H2在线段G1H1上时，两线段有交点，
∴﹣x≤﹣3，即x≥3，
（ii）当点H1在线段G1G2上（H2不与端点重合）时，两线段无交点，
∴﹣3＜﹣（x+1）＜﹣2，即1＜x＜2，
（iii）当点H1在线段G2H2上时，两线段有交点，
∴﹣（x+1）≥﹣2，即x≤1，
由于点H在第一象限，x＞0，
∴0＜x≤1，
综上所述，若线段G1H1与线段G2H2有公共点，y＝x+1，0＜x≤1或x≥3．
【点评】本题综合考查图形运动（平移、旋转的坐标变换）、一次函数的平移、二元一次方程求解、不等式应用及坐标系中的位置关系，解题关键是通过代数计算描述几何变换，并运用数形结合分析线段属性．
人员
环数
甲
6
7
6
8
7
6
8
6
9
7
乙
5
7
5
10
5
8
6
9
8
7
人员
平均数
中位数
众数
方差：
甲
y
7
m
1
乙
7
n
5
2.8
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
D
C
C
B
B
A
人员
环数
甲
6
7
6
8
7
6
8
6
9
7
乙
5
7
5
10
5
8
6
9
8
7
人员
平均数
中位数
众数
方差：
甲
y
7
m
1
乙
7
n
5
2.8