人教版（2024）九年级上册垂直于弦的直径课时练习

这是一份人教版（2024）九年级上册垂直于弦的直径课时练习，共53页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23954" 【题型1 利用垂径定理判断正误】 PAGEREF _Tc23954 \h 2
\l "_Tc9828" 【题型2 利用垂径定理求角度】 PAGEREF _Tc9828 \h 3
\l "_Tc5987" 【题型3 利用垂径定理求线段长度】 PAGEREF _Tc5987 \h 4
\l "_Tc26871" 【题型4 利用垂径定理求面积】 PAGEREF _Tc26871 \h 5
\l "_Tc12727" 【题型5 利用垂径定理求坐标】 PAGEREF _Tc12727 \h 6
\l "_Tc23919" 【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 PAGEREF _Tc23919 \h 7
\l "_Tc22493" 【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 PAGEREF _Tc22493 \h 8
\l "_Tc21673" 【题型8 利用垂径定理求整点个数】 PAGEREF _Tc21673 \h 9
\l "_Tc18415" 【题型9 垂径定理的实际应用】 PAGEREF _Tc18415 \h 10
\l "_Tc11466" 【题型10 利用垂径定求最值】 PAGEREF _Tc11466 \h 11
知识点 垂直于弦的直径
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2. 垂径定理
③AM =BM
⑤AD=BD
①CD是直径
②CD⊥AB

如图，
④AC=BC
⇒
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

3. 垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
①CD是直径
如上图，②AM =BM
（AB不是直径）
③CD⊥AB
⑤AD=BD
④AC=BC
⇒

由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．
【题型1 利用垂径定理判断正误】
【例1】如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OEB．CE＝DEC．OE＝12CED．∠AOC＝60°
【变式1-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
【变式1-2】（2025·河南新乡·三模）如图，A、B在⊙O上，连接OA，OB，AB．∠AOB的平分线交AB于点C，交⊙O于点D，连接AD，BD．下列结论错误的是（ ）
A．AC=BCB．OD⊥ABC．OC=CDD．AD=BD
【变式1-3】如图，AB为半圆O的直径，AC，AD都是弦，且AC平分∠BAD，则下列各式正确的是（ ）
A．AB+AD＝2ACB．AB+AD＜2AC
C．AC＝AB•ADD．AC＜AB•AD
【题型2 利用垂径定理求角度】
【例2】已知⊙O的半径为2，弦AB、AC长分别为22和23，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．15°或75°D．30°或45°
【变式2-1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE=DE，∠COB=52°，则∠DCO的度数为（ ）

A．52°B．50°C．48°D．38°
【变式2-2】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，AC∥OB，则∠BOC的度数为（ ）

A．30°B．45°C．60°D．75°
【变式2-3】如图，已知⊙O的两弦AB、CD相交于E，且点A为CD的中点，若∠OBA=32°，则∠CEA的度数为 ．
【题型3 利用垂径定理求线段长度】
【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，⊙P经过点O0,0，交y轴于点A，若P−10,−8，弦OA长为（ ）
A．8B．10C．16D．20
【变式3-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB=4，OC=1，则⊙O最长的弦长是（ ）
A．23B．10C．17D．25
【变式3-2】（2025·湖南长沙·三模）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，BC∥OA，若BC=6，则OD的长为（ ）
A．33B．3C．23D．4
【变式3-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点A，C，D在⊙O上，点B在⊙O内，∠B和∠C均为直角，AB=2，BC=6，CD=4，则⊙O的半径为（ ）

A．5B．32C．25D．21
【题型4 利用垂径定理求面积】
【例4】如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．

【变式4-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，OB，若BD=8cm，AE=2cm，则△OBC的面积是（ ）
A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．5cm2
【变式4-2】（2025·湖北·二模）如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED=2，则矩形ABCD的面积等于（ ）
A．21B．22C．23D．24
【变式4-3】已知△ABC的三个顶点都在圆O上，点O到AB的距离为3，AB=8且CA=CB，则△ABC的面积= ．
【题型5 利用垂径定理求坐标】
【例5】（2025·江西南昌·一模）如图，点M0,−2，N0,−8，半径为5的⊙A经过点M，N，则点A的坐标为（ ）
A．−5,−4B．−4,−6C．−6,−4D．−4,−5
【变式5-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙A经过点B0,−1，C0,−7，则点A的坐标为 ．
【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是 ．
【变式5-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A，C分别在y轴，x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为0,8，则圆心M的坐标为（ ）
A．−4,5B．−5,4C．−4,4D．−4,3
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】
【例6】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1B．3C．3或4D．1或7
【变式6-1】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =_____．
【变式6-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知⊙O的半径为13，弦AB平行于弦CD，CD=10，AB=24，AB和CD之间的距离是 ．
【变式6-3】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，⊙O的半径为3，弦MN=23,Rt△ABC的直角顶点B在弦MN上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在⊙O上，且AB=3．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，∠C的度数是30°．”
淇淇说：“连接OA，当OA与弦MN平行时，点B到OA的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确D．嘉嘉错误，淇淇也错误
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】
【例7】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【变式7-1】如图，两个圆都以点O为圆心．
求证：AC=BD．
【变式7-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD分别是两圆的弦，则矩形ABCD面积的最大值是 ．
【变式7-3】高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．
（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？
（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米
【题型8 利用垂径定理求整点个数】
【例8】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【变式8-1】如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB=16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式8-2】如图，直径为10的⊙O内有一点P，且OP=3，则经过P点的所有弦中长度为整数的有 条．

【变式8-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A13，0，直线y=kx−3k+4k≠0与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长为整数的有 条．
【题型9 垂径定理的实际应用】
【例9】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD=7cm，则截面圆中弦AB的长为（ ）
A．4cmB．46cmC．221cmD．229cm
【变式9-1】我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=2寸，AB=8寸（注：1尺=10寸），则可得直径CD的长为 尺．”
【变式9-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A，B，AB=32cm ，锅盖直径为40cm，则锅盖最低点C到AB的距离是 cm．
【变式9-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，AB是以O为圆心、OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D是AB的中点，则AB长度的近似值l=AB+CD2OA．若CD=2，AB=8，则l=（ ）
A．8.8B．8.7C．8.6D．8.5
【题型10 利用垂径定理求最值】
【例10】如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 ．
【变式10-1】如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为 ．
【变式10-2】如图，在⊙O中，直径AB=8，弦CD=3，点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于点F，若点C、D在⊙O上运动（点C、D与点A、B不重合），则EF的最大值是（ ）
A．92B．4C．83D．6
【变式10-3】（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点G0,1为圆心，半径为2的圆与x轴交于A,B两点，与y轴交于C,D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（ ）
A．5−2B．3−1C．5+2D．3+1
专题24.2 垂直于弦的直径（举一反三讲义）
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23954" 【题型1 利用垂径定理判断正误】 PAGEREF _Tc23954 \h 2
\l "_Tc9828" 【题型2 利用垂径定理求角度】 PAGEREF _Tc9828 \h 4
\l "_Tc5987" 【题型3 利用垂径定理求线段长度】 PAGEREF _Tc5987 \h 8
\l "_Tc26871" 【题型4 利用垂径定理求面积】 PAGEREF _Tc26871 \h 12
\l "_Tc12727" 【题型5 利用垂径定理求坐标】 PAGEREF _Tc12727 \h 15
\l "_Tc23919" 【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 PAGEREF _Tc23919 \h 20
\l "_Tc22493" 【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 PAGEREF _Tc22493 \h 24
\l "_Tc21673" 【题型8 利用垂径定理求整点个数】 PAGEREF _Tc21673 \h 28
\l "_Tc18415" 【题型9 垂径定理的实际应用】 PAGEREF _Tc18415 \h 32
\l "_Tc11466" 【题型10 利用垂径定求最值】 PAGEREF _Tc11466 \h 36
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2. 垂径定理
③AM =BM
⑤AD=BD
①CD是直径
②CD⊥AB

如图，
④AC=BC
⇒
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

3. 垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
①CD是直径
如上图，②AM =BM
（AB不是直径）
③CD⊥AB
⑤AD=BD
④AC=BC
⇒

由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．
【题型1 利用垂径定理判断正误】
【例1】如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OEB．CE＝DEC．OE＝12CED．∠AOC＝60°
【答案】B
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解．
【详解】解：∵直径AB⊥弦CD
∴CE＝DE
故选B.
【点睛】本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成．
【变式1-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可．
【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意；
C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
D、平分弦(不是直径)的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
故选：A．
【变式1-2】（2025·河南新乡·三模）如图，A、B在⊙O上，连接OA，OB，AB．∠AOB的平分线交AB于点C，交⊙O于点D，连接AD，BD．下列结论错误的是（ ）
A．AC=BCB．OD⊥ABC．OC=CDD．AD=BD
【答案】C
【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可．
【详解】解：∵∠AOB的平分线交AB于点C，OD是半径，
∴∠AOD=∠BOD，AD=BD，AC=BC，OD⊥AB，故A、B、D正确；
选项C不能证明，
故选：C．
【变式1-3】如图，AB为半圆O的直径，AC，AD都是弦，且AC平分∠BAD，则下列各式正确的是（ ）
A．AB+AD＝2ACB．AB+AD＜2AC
C．AC＝AB•ADD．AC＜AB•AD
【答案】B
【分析】过点O作OM⊥AD于点M，交AC于点N，连接OC，根据垂径定理及三角形三边的关系求解判断即可．
【详解】解：过点O作OM⊥AD于点M，交AC于点N，连接OC，如图所示：
则∠OMA＝90°，AM＝DM，
∴AN＞AM＝12AD，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∴∠OMA＝∠CON＝90°，
∴CN＞OC＝12AB，
∴AB+AD＜2（CN+AN）＝2AC，
故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理，熟记垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
【题型2 利用垂径定理求角度】
【例2】已知⊙O的半径为2，弦AB、AC长分别为22和23，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．15°或75°D．30°或45°
【答案】C
【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的一侧和两弦在圆心的两侧，再根据垂径定理，含30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：过点O作OE⊥AC于E，OD⊥AB于D，
分类讨论：当两弦在圆心的同一侧，如图，

∴OA=2，AE=12AC=3，AD=12AB=2，
∴OE=OA2−AE2=1，OD=OA2−AD2=2，
∴OE=12OA，OD=AD，
∴∠OAE=30°，∠OAD=45°，
∴∠BAC=∠OAD−∠OAE=15°；
当两弦在圆心的两侧，如图，

∴OA=2，AE=12AC=3，AD=12AB=2，
∴OE=OA2−AE2=1，OD=OA2−AD2=2，
∴OE=12OA，OD=AD，
∴∠OAE=30°，∠OAD=45°，
∴∠BAC=∠OAD+∠OAE=75°．
∠BAC的度数为15°或75°．
故选C．
【点睛】本题考查垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．利用分类讨论的思想并正确的画出图形和作出辅助线是解题关键．
【变式2-1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE=DE，∠COB=52°，则∠DCO的度数为（ ）

A．52°B．50°C．48°D．38°
【答案】D
【分析】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握垂径定理及推论．
证明∠CEO=90°，利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵AB是直径，CE=ED，
∴AB⊥CD，
∴∠CEO=90°，
∴∠DCO=90°−52°=38°，
故选：D．
【变式2-2】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，AC∥OB，则∠BOC的度数为（ ）

A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质．连接BC，利用全等三角形的性质证明△OBC是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BC，设AB交OC于K．

∵OC⊥AB，
∴AK=BK，
∵AC∥OB，
∴∠A=∠OBK，
∵∠AKC=∠BKC，
∴△AKC≌△BKOASA，
∴OK=KC，
∵BK⊥OC，
∴BO=BC，
∵OB=OC，
∴OB=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
故选：C．
【变式2-3】如图，已知⊙O的两弦AB、CD相交于E，且点A为CD的中点，若∠OBA=32°，则∠CEA的度数为 ．
【答案】58°/58度
【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接OA交CD于点F，则由垂径定理得OA⊥CD，由OA=OB得∠OAB=∠OBA=32°，再根据直角三角形两锐角互余可求值．
【详解】解：连接OA交CD于点F，如图，
∵点A为CD的中点，
∴OA⊥CD，
∴∠FAE+∠AEF=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AEF=90°−∠FAE=90°−32°=58°,
即∠CEA=58°，
故答案为：58°．
【题型3 利用垂径定理求线段长度】
【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，⊙P经过点O0,0，交y轴于点A，若P−10,−8，弦OA长为（ ）
A．8B．10C．16D．20
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
过P点作PH⊥OA于H点，根据垂径定理得OH=BH，然后利用P点坐标得到OH=8，从而得到OA=16．
【详解】解：过P点作PH⊥OA于H点，如图，
则OH=AH，
∵P−10,−8，
∴OH=8，
∴OA=2OH=16．
故选：C．
【变式3-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB=4，OC=1，则⊙O最长的弦长是（ ）
A．23B．10C．17D．25
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，先利用垂径定理和勾股定理求出OB的长，再求圆的直径即可．
【详解】在⊙O中，OC⊥AB，
∴AC=BC=12AB=2，
在Rt△OCB中，OB=OC2+BC2=5，
∴⊙O的直径为2OB=25，
即⊙O最长的弦长是25．
故选：D．
【变式3-2】（2025·湖南长沙·三模）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，BC∥OA，若BC=6，则OD的长为（ ）
A．33B．3C．23D．4
【答案】B
【分析】通过连接OB，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出OD与BC的关系来求解．
【详解】解：连接OB，
∵OC⊥AB，OA=OB
∴AD=BD，∠ADO=90° ．∠AOD=∠BOD，
∵BC∥OA，
∴∠AOD=∠BCD=∠BOD．
又∵OA=OB=OC，
∴∠OBC=∠BCD=∠BOC．
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=6
∵OC⊥AB，△OBC是等边三角形，
∴OD=12OC=3 ．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键．
【变式3-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点A，C，D在⊙O上，点B在⊙O内，∠B和∠C均为直角，AB=2，BC=6，CD=4，则⊙O的半径为（ ）

A．5B．32C．25D．21
【答案】C
【分析】过点O作OE⊥CD于点E，延长AB,EO，二线交于点F，得到四边形BCEF是矩形，设OF=x则OE=6−x，连接OA,OC，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：过点O作OE⊥CD于点E，延长AB,EO，二线交于点F，
∵∠B和∠C均为直角，
∴四边形BCEF是矩形，
∴∠F=90°，BC=EF，BF=CE，
∵AB=2，BC=6，CD=4，
∴EF=6，BF=CE=12CD=2，AF=AB+BF=4，
设OF=x则OE=6−x，
连接OA,OC，
∴OA2=AF2+OF2,OC2=CE2+OE2，
∵OA=OC，
∴AF2+OF2=CE2+OE2，
∴42+x2=22+6−x2，
解得x=2，
∴OA=AF2+OF2=42+22=25，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解方程，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
【题型4 利用垂径定理求面积】
【例4】如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．

【答案】22
【分析】如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，作OM⊥EF于M，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=1，∠AOB=60°，∠COD=90°，∠EOF=120°，△AOB是等边三角形，△COD是等腰直角三角形，AB=1，CD=2，EF=3，由12+22=3=32，可知该三角形是以1，2为直角边的直角三角形，然后求面积即可．
【详解】解：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，作OM⊥EF于M，

∴OA=OB=OC=OD=OE=OF=1，
∴∠AOB=60°，∠COD=90°，∠EOF=120°，
∴△AOB是等边三角形，△COD是等腰直角三角形，
∴AB=OA=1，CD=OC2+OD2=2，
∵∠EOF=120°，OE=OF，
∴∠OFE=30°，FM=12EF，
∴OM=12OF=12，
由勾股定理得FM=OF2−OM2=32，
∴EF=3，
∴三条弦组成的三角形的三条边的长为1，3，2，
∵12+22=3=32，
∴该三角形是以1，2为直角边的直角三角形，
∴面积为1×22=22，
故答案为：22．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．正确求解线段长度是解题的关键．
【变式4-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，OB，若BD=8cm，AE=2cm，则△OBC的面积是（ ）
A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．5cm2
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理可得BE=12BD=4cm，再根据圆的性质可得OE=OB−2，再根据勾股定理列方程求得OB=5cm，即OC=OB=5cm，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，
∴BE=12BD=4cm，
∵OE=OA−AE=OB−AE=OB−2，OB2=BE2+OE2，
∴OB2=42+OB−22，解得：OB=5cm，
∴OC=OB=5cm，
∴△OBC的面积是12OC⋅BE=12×5×4=10cm2．
故选：A．
【变式4-2】（2025·湖北·二模）如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED=2，则矩形ABCD的面积等于（ ）
A．21B．22C．23D．24
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．连接OC，过OH⊥BC于H，则CH=BH，可证明四边形CDOH是矩形得CH=OD=3，则BC=6，再利用勾股定理求得CD，进而利用矩形性质求解即可．
【详解】解：连接OC，过OH⊥BC于H，则CH=BH=12BC，∠OHC=90°，
∵矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，ED=2，
∴OD=OE−ED=3，∠CDO=∠DCH=∠OHC=90°，
∴四边形CDOH是矩形，
∴CH=OD=3，则BC=2CH=6，
在Rt△CDO中，CD=OC2−OD2=52−32=4，
∴矩形ABCD的面积等于4×6=24，
故选：D．
【变式4-3】已知△ABC的三个顶点都在圆O上，点O到AB的距离为3，AB=8且CA=CB，则△ABC的面积= ．
【答案】32或8
【分析】本题考查了垂径定理以及等腰三角形的性质，据此得CC′⊥AB，AD=12AB=4，且⊙O在CC′上，结合勾股定理以及分类讨论思想即可作答．
【详解】解：如图所示：连接CC′交AD于点D

因为CA=CB，
所以CC′⊥AB，AD=12AB=4，且⊙O在CC′上
因为点O到AB的距离为3，
所以OD=3，
当点C在劣弧AB上时，
则AO=AD2+OD2=16+9=5，
CD=5−3=2，
所以△ABC的面积=12×8×2=8，
当点C在优弧AB上时，即为点C′，
则AO=AD2+OD2=16+9=5=C′O，
那么C′D=3+5=8，
所以△ABC的面积=12×8×8=32，
综上：△ABC的面积为32或8，
故答案为：32或8．
【题型5 利用垂径定理求坐标】
【例5】（2025·江西南昌·一模）如图，点M0,−2，N0,−8，半径为5的⊙A经过点M，N，则点A的坐标为（ ）
A．−5,−4B．−4,−6C．−6,−4D．−4,−5
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接AM，过点A作AE⊥MN于点E，AF⊥x轴于点F，可得四边形AFOE是矩形，得出AE=OF，AF=OE，利用M0,−2，N0,−8，可得OM=2，ON=8，MN=ON−OM=6，利用垂径定理可得ME，则可得OE，利用勾股定理可得AE，即可得．
【详解】解：如图，连接AM，过点A作AE⊥MN于点E，AF⊥x轴于点F，
又∵∠FON=90°，
∴四边形AFOE是矩形，
∴AE=OF，AF=OE，
∵M0,−2，N0,−8，
∴OM=2，ON=8，
∴MN=ON−OM=6，
∵AE⊥MN，
∴EM=EN=12MN=3，
∴AF=OE=OM+EM=5，
∵⊙A的半径为5，
∴AM=5，
∴AE=AM2−ME2=4，
∴OF=4，
∴A−4,−5，
故选：D．
【变式5-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙A经过点B0,−1，C0,−7，则点A的坐标为 ．
【答案】4,−4
【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．过点A作AH⊥BC于点H，连接AC，根据垂径定理得到CH=BH=12BC，由B0,−1，C0,−7，可得OB=1，OC=7，BC=6，推出CH=BH=3，再根据勾股定理求出AH=4，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接AC，
∴ CH=BH=12BC，
∵ B0,−1，C0,−7，
∴ OB=1，OC=7，
∴ BC=OC−OB=7−1=6，
∴ CH=BH=3，
∴ OH=OB+BH=1+3=4，
∵ AC=5，
∴ AH=AC2−CH2=52−32=4，
∴ A的坐标为4,−4，
故答案为：4,−4．
【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是 ．
【答案】3+23/23+3
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，求得点D的坐标是解题的关键．
作PC⊥x轴于点，交AB于点D，作PE⊥AB于点E，连接PB，由于OC=3，PC=a，得到点D的坐标为3,3，则△OCD，△PED为等腰直角三角形，根据垂径定理得到AE=BE=12AB=3，根据勾股定理得到PE=6，则PD=2PE=23，即可得到答案．
【详解】解：如图，作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于点E，连接PB，
∵ ⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，
∴OC=3,PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴点D的坐标为3,3，
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴△PED为等腰直角三角形，AE=BE=12AB=3，
∵PB=3，
∴PE=PB2−BE2=9−3=6，
∴PD=2PE=2×6=23，
∴PC=CD+PD=3+23，
∴a=3+23，
故答案为：3+23 ．
【变式5-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A，C分别在y轴，x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为0,8，则圆心M的坐标为（ ）
A．−4,5B．−5,4C．−4,4D．−4,3
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．过点M作MD⊥AB于D，连接AM．设⊙M的半径为R，因为四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，点A的坐标为0,8，所以AD=BD=12AB=4，DM=8−R，在Rt△ADM中，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可．
【详解】解：过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E．连接AM，设⊙M的半径为R．
∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切，AB∥OC，
∴DE⊥CO，
∴DE是⊙M直径的一部分；
∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为0,8，
∴OA=AB=CB=OC=8，DM=8−R；
∴AD=BD=4（垂径定理）；
在Rt△ADM中，
根据勾股定理可得AM2=DM2+AD2，
∴R2=8−R2+42，
解得：R=5．
∴M−4,5．
故选：A．
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】
【例6】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1B．3C．3或4D．1或7
【答案】D
【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为M、N，可知OM⊥CD，CM=MD=12CD=4cm，AN=BN=12AB=3cm，在Rt△BON中，由勾股定理得ON=OB2−BN2，解得ON的值，在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=OD2−DM2，解得OM的值，计算ON−OM即可；②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB，由题意知PN⊥AB，EP=PF=12EF=4cm，AN=BN=12AB=3cm，在Rt△BON中，由勾股定理得ON=OB2−BN2，在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=OE2−EP2，计算NP=ON+OP即可．
【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为M、N
由题意知OM⊥CD，CM=MD=12CD=4cm，AN=BN=12AB=3cm
在Rt△BON中，由勾股定理得ON=OB2−BN2=4cm
在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=OD2−DM2=3cm
∴MN=ON−OM=1cm
②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB
由题意知PN⊥AB，EP=PF=12EF=4cm，AN=BN=12AB=3cm
在Rt△BON中，由勾股定理得ON=OB2−BN2=4cm
在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=OE2−EP2=3cm
∴NP=ON+OP=7cm
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故选D．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．
【变式6-1】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =_____．
【答案】32
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=12EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=52，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=(52)2−22=32，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=32，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【变式6-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知⊙O的半径为13，弦AB平行于弦CD，CD=10，AB=24，AB和CD之间的距离是 ．
【答案】7或17
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到AB和CD的距离，据此可得答案．
【详解】解：如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OE⊥AB于点E，并延长EO，交CD于F点．分别连接AO、CO．
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∵CD=10，AB=24，
∴AE=12AB=12，CF=12CD=5，
在Rt△AEO中，由勾股定理得OE=OA2−AE2=5，
在Rt△CFO中，由勾股定理得OE=OC2−CF2=12，
∴EF=OE+OF=5+12=17，
∴AB和CD之间的距离为17；
如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心O的同侧）时，
同理可得：OF=12，OE=5，
∴EF=OF−OE=7，
∴AB和CD之间的距离为7；
综上所述，AB和CD之间的距离为7或17．
故答案为：7或17．
【变式6-3】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，⊙O的半径为3，弦MN=23,Rt△ABC的直角顶点B在弦MN上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在⊙O上，且AB=3．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，∠C的度数是30°．”
淇淇说：“连接OA，当OA与弦MN平行时，点B到OA的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确D．嘉嘉错误，淇淇也错误
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接OB，可证明△AOB是等边三角形，据此求出∠A的度数，进一步可求出∠C的度数；过点O作OD⊥MN于D，连接OM，利用垂径定理和勾股定理求出OD的长即可求出当OA与弦MN平行时，点B到OA的距离，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接OB，
∵OA=OB=AB=3，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠C=30°；
同理可得当点B与点N重合时，∠C=30°，故嘉嘉的说法正确；
如图所示，过点O作OD⊥MN于D，连接OM，
∴DM=12MN=3，∠ODM=90°，
∴OD=OM2−DM2=6，
∵MN∥OA，
∴点B到OA的距离为6，故淇淇说法错误，
故选：A．
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】
【例7】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【答案】134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT△OAE中OE2=OA2−AE2=r2−1002，
在RT△OCE中，OE2=OC2−CE2=r+322−1402，
则r2−1002=r+322−1402
解得：r=134．
故答案为：134．
【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式7-1】如图，两个圆都以点O为圆心．
求证：AC=BD．
【答案】过点O作OE⊥AB于E，根据垂径定理可得EC=ED，EA=EB，即可得到结果．
【详解】过点O作OE⊥AB于E，
在小⊙O中，∵OE⊥CD，∴EC=ED．
在大⊙O中，∵OE⊥AB，∴EA=EB．
∴AC=BD．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．
【变式7-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD分别是两圆的弦，则矩形ABCD面积的最大值是 ．
【答案】16
【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=12S矩形APND=14S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论．
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=12S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=12S矩形APND=14S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=12AO·h≤12AO·OD=12×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷14=16
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．
【变式7-3】高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．
（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？
（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米
【答案】(1)6;(2)45−4.
【分析】（1）根据题目的叙述，第一天的数是1，第二天是11，第三天是111，因而第几天就是有几个；
（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA，在Rt△OCE中，就可以求出OE，在Rt△OAE中求出AE，进而求出AC，进而求出．
【详解】解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111，
到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111
到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111=111111＞80000
所以，到第6天所有鸡都会被感染；
（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA．
∵OA=5，OC=3，CD=4，
∴CE=2．
在Rt△OCE中，AE=OA2−OE2=25 ，
∴AC=AE-CE=25−2 ，
∵AC=BD，
∴AC+BD=45−4．
答：这条公路在该免疫区内有（45−4）千米．
【题型8 利用垂径定理求整点个数】
【例8】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【答案】 3 12
【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC=12×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= AC2−AO2=52−42=3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．
【变式8-1】如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB=16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′，根据垂径定理求出AP′，根据勾股定理求出OP′，求出OP的范围，计算即可．
【详解】解：如图，连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′，
则AP′=12AB=8，
由勾股定理得：OP′=OA2−PA2=102−82=6，
则6≤OP