2025-2026学年广东省广州市天河区汇景实验学校九年级上学期9月月考数学试题

这是一份2025-2026学年广东省广州市天河区汇景实验学校九年级上学期9月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．实数3的相反数是（ ）
A．3B．C．D．
2．的出现，不仅推动了技术的进步，还让更多的开发者能够使用高性能的模型，推动了技术的普惠化．2025年开年，仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户（），超过了发布之初的数据表现，展现出巨大的市场潜力．其中用科学记数法表示21600000为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．某校团委举办合唱赛，其中5位评委价九年级1班的打分分别为9.5，9，9，9.2，9.3．对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数为9.2B．平均数为9.2C．中位数为9D．方差为0.006
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．如图所示，在矩形中，对角线、相交于点O，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图所示，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为（ ）
A．B．1C．D．
10．关于二次函数．有下列三个结论：
①若，是该二次函数图象上任意的两个点，则；
②当时，该二次函数的图象与轴始终没有交点；
③若该二次函数的图象与轴交于，两点，且，则或．
以上结论正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．分式方程的解为 ．
12．如图，沿所在直线向右平移得到，若，，则 ．
13．某校开展学生课后服务满意度调查，绘制成扇形统计图，如图，已知“不满意”人数为15人，则参与调查的总人数为 ．
14．快捷运输公司运输货物，货物的质量大于一定质量时起运，总运费（元）与货物的质量（）之间满足一次函数关系（为常数），其图象如图所示，则图象中的值为 ．
15．已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ．
16．如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的度数为 度；若，则的长为 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．如图，中，为的中点，连接并延长到，使．求证：．
19．已知代数式．
(1)化简；
(2)关于的方程有两个相等的实数根，求的值．
20．如图，园林小组的同学用一段长米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园墙的长为米，设的长为米，的长为米．

（1）①写出与的函数关系是：
②自变量的取值范围是
（2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为平方米，试求此时边的长．
21．描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律．
(1)求函数自变量的取值范围；
(2)请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)已知点是函数图象上的点，若，求的取值范围．
22．数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，．
(1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，若点、点分别在和上运动，当取最小值时，求的长．
23．如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式，5时至8时的图象满足函数关系式．请根据图中信息，解答下列问题：

(1)填空：次日0时到8时的最低气温是______；
(2)求一次函数的解析式；
(3)某种植物在气温以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由．
24．已知抛物线G：有最低点．
（1）求二次函数的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图像交于点P，结合图像，求点P的纵坐标的取值范围.
25．如图，在矩形中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)当点为线段的中点时，求证：是等边三角形；
(2)当与矩形的边平行时，求线段的长；
(3)在点的运动过程中，线段的长度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．
…
…
…
…
《广东省广州市天河区汇景实验学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题》参考答案
1．D
【分析】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：实数3的相反数是．
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选C．
3．D
【分析】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式等内容，据此相关性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键．先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断．
【详解】解：5个数按从小到大的顺序排列，，，，，
A、出现次数最多，众数是，故错误，不符合题意；
B、平均数是，故正确，符合题意；
C、中位数是，故错误，不符合题意；
D、方差是，故错误，不符合题意．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．首先解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，即不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根时，．根据一元二次方程，有两个不相等的实数根，则，解出，即可判断．
【详解】解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
∴k的取值范围为，
则的值可以是0．
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形对角线互相平分且相等是解题关键．由矩形的性质可得，，从而推出是等边三角形，得到，，再利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．同时考查了二次函数的性质．根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的两个交点坐标为，，从而得到一元二次方程的解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴方程的解为．
故选：A．
9．C
【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理．由在菱形中，，，利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．注意菱形的对角线互相垂直平分．
【详解】解：如图．
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
．
故选：C
10．B
【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程之间的关系等知识，①根据抛物线的对称轴和点的对称性得出结果；②根据方程的根的判别式的取值得出结果；
③根据得出抛物线与x轴有两个公共点，设抛物线与x轴的交点是，，根据得出，进而求得m的范围，两者结合得出结果．
【详解】解：①抛物线的对称轴是直线，
，
，故①正确；
②令，可得，
，
令，即，
解得，
该二次函数的图象与轴始终没有交点，故②正确；
③该二次函数的图象与轴交于，两点，
，
，
或，
设抛物线与轴的交点是，，
，
，
，
或，
或时，，故③不正确．
故选：B．
11．1
【分析】去分母，解得，经检验是分式方程的解，即可得．
【详解】解：
去分母得，，
解得，，
经检验是分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程．
12．3
【分析】本题考查了平移的性质；由平移的性质知，则，由此即可求解．
【详解】解：∵沿所在直线向右平移得到，
∴，
∴；
∵，，
∴；
故答案为：3．
13．
【分析】本题主要考查了扇形统计图，用“不满意”人数除以其占总人数百分比，即可得到答案．
【详解】解：（人），
∴参与调查的总人数为人，
故答案为：300．
14．
【分析】本题考查了一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法将点代入求一次函数解析式，然后再把点代入解析式中进行计算即可．
【详解】解：把代入中得：，
解得：，
，
把代入中得：，
解得：．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，一元二次方程的根，分情况讨论：当时，当时，分别讨论求解即可．
【详解】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长，
当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意；
当时，
∴，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理；过点E作的平行线交于点M，N，则四边形是矩形，证明得出为等腰直角三角形，在中，根据勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作的平行线交于点M，N，则四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：；．
17．
【分析】本题考查解一元二次方程，利用配方法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴或，
解得．
18．详见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握平行四边形，全等三角形的判定和性质是关键．
方法一：根据题意可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解；
方法二：根据题意可证，得，由平行线的判定和性质即可求解．
【详解】证明：方法一：连接，
∵为中点 ，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴
方法二：∵为中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
19．(1)
(2)3
【分析】（1）先对括号里的式子进行通分，将除法转化为乘法，提公因式2，再根据平方差公式进行等价变形，最后进行约分化简；
（2）根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，确定判别式的值为0，代入系数可求出的值，再代入（1）中化简的结果即可；
本题主要考查了分式的化简求值和一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握根的判别式与根的情况是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
．
（2）∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
将代入得，．
20．（1）①y=16-2x；②3.5≤x＜8；（2）AB的长为5米或3米．
【分析】（1）①根据篱笆的长度是16米列出函数关系式；
②根据x、y都是正数写出自变量的取值范围；
（2）由矩形的面积公式列出方程并解答．
【详解】解：（1）①写出y与x的函数关系是：y=16-2x，
故答案是：y=16-2x；
②∵x＞0，9≥y＞0，
∴3.5≤x＜8，
故答案是：3.5≤x＜8；
（2）依题意得：x（16-2x）=30，
解得x1=5，x2=3，
则园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，此时边AB的长为5米或3米．
【点睛】考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21．(1)；
(2)见解析；
(3)若时，的取值范围是．
【分析】本题考查函数的图象及性质；利用所学函数知识探索新的函数性质，综合运用描点法，观察图象得出函数增减项是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件即可求解；
（2）根据列表、描点、连线，作出图形即可；
（3）根据函数的性质结合图形即可求解．
【详解】（1）解：求函数自变量的取值范围为；
（2）解：列表：
描点，连线，图象如下，
（3）解：由函数图象可知，在自变量的取值范围内，函数值随着的增大而减小．
当时，，即当时，．
答：若时，的取值范围是．
22．(1)见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）分别以点、为圆心，、为半径画弧，在右侧相交于点，连接、，则图形即为所求；
（2）由（1）得四边形是菱形，根据菱形的性质和勾股定理可得的长度，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解；
（3）作点关于的对称点，连接、，则，，此时，故当时，取最小值，通过三角形的面积可求出的长度，再运用勾股定理即可求出的长度，进而可得的长度．
【详解】（1）解：分别以点、为圆心，、为半径画弧，在右侧相交于点，连接、，如图：
由作图知，，
，
，
四边形是菱形，与关于直线对称．
（2）解：由（1）知四边形是菱形，
又四边形周长为，
，，，，
，
，
菱形的面积．
（3）解：作点关于的对称点，连接、，则，，
此时，
，
当时，取最小值，
由（2）得，，，
，
，
解得，
，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定、菱形的面积、勾股定理和将军饮马等，熟练掌握菱形的性质、勾股定理和将军饮马模型是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)需要采取防霜措施，见解析
【分析】（1）根据题意，当时，函数最小值，代入解析式计算即可．
（2）把分别代入中，计算即可；
（3）令，，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可．
本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的计算是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，
当时，函数有最小值，代入解析式得，
，
故答案为：．
（2）把分别代入中，
得，
解得，
∴．
（3）令，
解得；
令，
解得（舍去），
故，
∵
∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．
24．（1）二次函数的最小值是；（2）；（3）－4－3.
【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，-m-3），即x=m+1，y=-m-3，x+y=-2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（3）求出抛物线恒过点B（2，-4），函数H图象恒过点A（2，-3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．
【详解】解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，
∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.
（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3,
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3）,
∴x=m+1，y=-m-3,
∴x+y=m+1-m-3=-2.
即x+y=-2，变形得y=-x-2.
∵m＞0，m=x-1.
∴x-1＞0,
∴x＞1,
∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.
（3）如图，函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线,
x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4,
∴函数H的图象恒过点B（2，-4）,
∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3.
∴抛物线G恒过点A（2，-3）,
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA,
∴点P纵坐标的取值范围为-4＜yP＜-3.
【点睛】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系，熟练掌握是解题的关键.
25．(1)证明见解析
(2)或
(3)存在；
【分析】（1）由题易得，进而可得，从而得证；
（2）分类讨论：当或，然后利用勾股定理和特殊角求解即可；
（3）过点作 于点，利用勾股定理可得，进而据此求解即可．
【详解】（1）证：在矩形中，
∵点为线段的中点
∴
∵
∴
∴是等边三角形;
（2）①当时
∴
∴
∴
∴是等边三角形
∴
②当时
在中，，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上，线段的长为或．
（3）如图，过点作于点
∵，设
∴，
∴
∴
当时，取得最小值，最小值为
∵当最小时，最小
∴最小值为
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、解直角三角形、等边三角形的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
C
A
B
A
C
B
0
1
2
3
2
1
0