湖南省长沙市湖南师大附中2025-2026学年高一上学期月末测试（一）（9月）数学试题（Word版附解析）

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（2025年9月）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 9B. 8C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
【详解】
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，
故选：A.
【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
2. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有，
故一定不是等腰三角形；
故选：D.
3. 下列所给的对象能构成集合的是：①所有的正三角形；②高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数；④溆浦县第三中学2025年下学期高一年级16岁以下的学生；⑤平面直角坐标系内到原点距离等于1的点（ ）．
A. ①④⑤B. ①②④⑤C. ①③④⑤D. ①②③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的概念逐个确定即可．
【详解】①能构成集合；②不能构成集合，“难题”标准不确定；
③不能构成集合，“比较接近1”的标准不明确；
④能构成集合；⑤能构成集合．
故选：A．
4. 已知集合，且，则实数为（ ）
A. 2B. 3C. 0或3D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.
【详解】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足元素互异性；
②若，解得或3，
当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.
综上所述，.
故选：B
5. 如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】分和两种情况讨论求解即得．
【详解】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意；
当，即时，由集合有且只有一个元素，
可得判别式，解得，
综上可知或，
故实数的所有可能值的和为4.
故选：B．
6. 下述有理数中，不可能为整系数多项式的根的为（ ）
A. 2B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理根定理，可能的有理根是常数项的因数与首项系数的因数的比值；列出所有可能的候选根，再判断选项中哪个不在其中即可
【详解】根据有理根定理，整系数多项式的可能有理根为，其中是常数项15的因数，是首项系数3的因数；
常数项15的因数为：；
首项系数3的因数为：；
因此，所有可能的有理根为：
（但，已包含在整数根中）.
简化后可能的有理根为：；
所以2不可能为整系数多项式的根.
故选：A.
7. 若 ，则（ ）
A. 3B. 9C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可将等式右边展开与等式左边相应的项一一对应即可求解.
【详解】由题意得等式右边为，
等式左边为，
所以，解得，则，故B正确.
故选：B
8. 不等式 的解集为（ ）
A. 且B. 且
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】先判断一元二次式的正负，再根据高次不等式的求解方法(数轴穿根法)来确定原不等式的解集.
【详解】，
故原不等式等价于，
对于方程可得或或或，
根据数轴穿根法，可得不等式的解集为或，
故选：C.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据元素与集合间的关系逐项判断即可.
【详解】因为是整数集，故，所以A正确；
因为是实数集，故，所以B错误；
因为是有理数集，故，所以C错误；
因为是自然数集，故，所以D正确，
故选：AD.
10. 下列各组集合表示的不是同一集合的是（ ）
A. ， B. ，
C. ，D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】根据同一个集合概念进行判断即可.
【详解】A中，都是点集， 和是不同的点，则是不同的集合，所以A是；
B中，都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，所以B不是；
C中，表示函数的定义域，表示函数的值域，表示的范围相同，是同一个集合，所以C不是；
D中，是数集，是点集，则是不同的集合，所以D是.
故选：AD
11. 用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，，若，则实数的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先分析，又由，分析易得或3，即方程有1个根或3个根，分析方程的根的情况，可得可取的值，即可得答案．
【详解】根据题意，已知，，则，
又由，则或3，
即方程有1个根或3个根；
若，则必有或，
若，则或，
当时，，，符合题意；
当时，对应的根为0和；
故①需有两等根且根不为0和，
当△时，，
，此时，，，，符合题意；
，此时，，，，符合题意；
②当是的根时，解得；
，此时，，，，符合题意；
，此时，1，，，符合题意；
综合可得：可取的值为0，，，
故选：ABD
【点睛】本题考查集合的表示方法，关键是依据的意义，分析集合B中元素的个数，进而分析方程的根的情况．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知集合，且，则实数的取值范围是___________；
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分析可得若，则有，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】由于，且，
所以，即.
故答案为：
13. 曲线 与直线的交点组成的集合为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出曲线与直线的交点坐标，再用列举法表示出这个集合.
【详解】由方程组，解得或，
所以曲线与直线的交点坐标为和，
可得曲线 与直线的交点组成的集合为.
故答案为：.
14. 已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可.
【详解】由题意，,
当时，则，
则，
又，
所以集合.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 用适当的方法表示下列集合：
（1）由方程的所有实数根组成的集合；
（2）不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解出方程的根，再利用列举法表示即可；
（2）先解不等式，再利用描述法表示即可.
【小问1详解】
由，解得，
则该方程所有实数根组成的集合为.
【小问2详解】
由，解得，
则不等式的解集为.
16. 已知集合至多有一个元素，求a的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】结合题意分和两种情况讨论求解即可.
【详解】由题意，集合至多有一个元素，
当时，方程为，解得，此时，满足题意；
当时，由，解得.
综上所述，a的取值范围为.
17. 解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根据分式不等式的解法求解即可；
（3）先化简不等式为，进而求解即可.
小问1详解】
由，则，解得，
则不等式的解集为.
【小问2详解】
由，则，
即，即，解得或，
则不等式的解集为.
【小问3详解】
由，则，
则，
则，则，
解得或，
所以不等式的解集为或.
18. 定 义 运算 ：对 任 意 ，有 . 设集 合，且， 且集合B是集合U的子集.
（1）求集合U;
（2）求实数m的取值范围.
【答案】（1）.
（2）
【解析】
【分析】(1)由题中的新定义先求得，再求出集合U.
(2)由题意判断集合B是集合U的子集，对集合B中的元素进行分类讨论可得出实数m的取值范围.
小问1详解】
因对 任 意，有 . 且，
当时， ，所以；
当时， ，所以；
当时， ，所以；
所以集合.
【小问2详解】
由（1）知集合.
对于方程，
当即时，，满足题意；
当即时，.集合B不是集合U中的子集，不合题意；
当即时，方程有两个不相等的实根，记为，且则.由题知.
当或或时，均不符合.所以当时，无m的值符合题意.
综上所述：实数的取值范围是：.
19. 以某些整数为元素的集合具有以下两个性质：
①中的元素有正整数，也有负整数；②若，则．
（1）若，求证：；
（2）求证：；
（3）判断集合是有限集还是无限集？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）集合为无限集；理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设，得，进一步得到；
（2）设，进一步得到，同理得到，从而得到；
（3）利用反证法进行证明，从而得出结论．
【详解】（1）由②若则可得：
若，则，
（2）证明：由①，可设且；即为正整数，为正整数，由②可知，个相加属于集合，即，同理，个相加属于集合，即，；
（3）判断：集合为无限集．
假设集合为有限集，则集合中必最大值，且最大值为正数，不妨设最大值为，由（2）若，，则可得：与集合的最大值为矛盾，所以集合为无限集．