湖南省长沙市师大附中2023-2024学年高一上学期第一次大练习（月考）数学试题（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集的定义直接求解即可.
【详解】因为，，
所以，故A正确.
故选：A
2. 已知命题，，命题，，则（ ）
A. 是真命题，是假命题B. 是假命题，是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是假命题
【答案】B
【解析】
【分析】举出反例得到为假命题，举出实例得到为真命题.
【详解】对于命题：当时，，故为假命题；
对于命题：当时，，故为真命题.
故选：B.
3. 使成立的一个充分不必要条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先解不等式得到，根据题意找到的一个真子集即可.
【详解】由得，
对于A，因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，故A错误；
对于B，因为是的真子集，所以是的充分不必要条件，故B正确；
对于C，因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，故C错误；
对于D，因为与不是包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，故D错误.
故选：B.
4. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断.
【详解】若，取，，则，故A错误；
若，当时，则，故B错误；
若，取，，则，故C错误；
若，则，故D正确.
故选：D.
5. 设集合M，N，P均为的非空真子集，且，，则（ ）
A. MB. NC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用文氏图，表示集合的关系，求解.
【详解】如图，中间的阴影和左边的空白是集合，中间的阴影和右边的空白表示集合，如图，表示两边空白区域，则表示集合的空白区域，即表示为
故选：D
6. 已知集合满足，且，则满足条件的集合有（ ）
A. 2个B. 4个C. 8个D. 16个
【答案】B
【解析】
【分析】根据子集和真子集的概念求解即可.
【详解】由题意可知，集合中一定包含元素1，2，一定不包含元素3，
且是的真子集，所以或或或，
即满足条件的集合有4个.
故选：B.
7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. 9B. 8C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可
【详解】由条件知，
，
当且仅当时取等号.
故选：C
8. 已知集合，，，则，，之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将集合结构化为一致，然后根据集合关系即可判断.
【详解】，
，
，
故选：B.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的解集为
【答案】BC
【解析】
分析】根据题意，由条件可得，，，即可判断ABC，将不等式化简可得，求解即可判断D.
【详解】由不等式的解集为，得
所以，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
因为，所以，
则，解得，故解集为，故D错误.
故选：BC.
10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本不等式及其变形可判断A；利用常值代换可判断B；利用消元法可判断C；根据重要不等式得到，代入即可判断D.
【详解】对于A，，即，
当且仅当，即，时等号成立，故A错误；
对于B，因为，
当且仅当，即，时等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，
因为，，所以，则，
所以，
当时，取最小值，故C错误；
对于D，由得，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选：BD.
11. 对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则{或}
B. 若，且，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，求出，根据定义得到A正确；B选项，举出反例；CD选项，可利用韦恩图进行说明.
【详解】A选项，，，故{或}，A正确；
B选项，，不妨设，
则，故，
但不满足，B错误；
C选项，当且A与B不是包含关系时，如图1，
①为集合且，②为集合且，
③为集合，④为集合，
表示集合①④的并集，表示集合①③④的并集，
为集合①，故为集合③④的并集，
为集合①②的并集，故为集合③④的并集，故；
当时，如图2，①为集合，表示集合①和集合的并集，
表示集合①和集合的并集，为集合，故为集合①，
为集合的并集，故为集合①，故；

如图3，当时，表示集合①，集合，
故为集合①和集合的并集，
为集合的并集去掉的交集，即集合②部分，
故为集合①和集合的并集，故；
如图4，当时，②为且，①为，
表示集合①和②的并集，，
表示集合②，故为集合①和集合的并集，
为集合的并集去掉的交集，即集合②部分，
故为集合①和集合的并集，故.
综上，C正确；
D选项，画韦恩图，如下：
情况较多，我们就第一个图进行说明，
①为且且，
②为且且，
③为且，④为，
⑤为且，⑥为，
⑦为且，⑧为且且，
表示集合①⑤②⑦的并集，故表示集合①②⑥⑧的并集，
表示集合②③⑤⑧的并集，表示集合①②⑥⑧的并集，
故，
当满足其他关系时，经检验，也满足，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：当集合之间的关系较为复杂或解决容斥原理的题型时，常常使用韦恩图来进行求解，其直观易懂，可大大减少思维量.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知集合，且，则的值为_________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案.
【详解】因为，所以，解得或，
当时，，
而集合的元素具有互异性，故，所以，
故答案为：0
13. 若命题：“，不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】{或}
【解析】
【分析】由题可知命题的否定为真命题，根据一元二次不等式在R上恒成立求解即可.
【详解】由题意得：，不等式成立为真命题，
所以，即，解得或.
所以实数的取值范围是{或}.
故答案为：{或}.
14. 设集合，，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由可知，因此当时，不等式恒成立，分类讨论并数形结合求解即可.
详解】由知，
即当时，不等式恒成立，
设，
①当时，的大致图象如图1所示，因为，
所以，得，矛盾；

②当时，恒成立，符合要求；
③当时，的大致图象如图2所示，
当，即时，因为，
所以，得，矛盾；
当，即时，因为，所以，得；
当时，由图有则.
综上，的取值范围是.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合，，其中实数.
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据集合的交集和补集运算求解；
（2）根据集合的交集的定义及空集的概念求解.
【小问1详解】
当时，集合，{或}，
又集合，所以.
【小问2详解】
因为，所以，则集合非空，
因为，所以或，
解得或，又，所以，
故实数的取值范围是.
16. 已知集合和非空集合，.
（1）若命题“，都有”为真命题，求实数的取值；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）.
【解析】
【分析】（1）由题意得到，分或或三种情况，得到方程，求出；
（2）由题意得到，从而得到不等式，求出的取值范围.
【小问1详解】
由命题“，都有，”为真命题知，
因为集合非空，所以或或.
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，无解.
综上，实数的取值是1.
【小问2详解】
因为“”是“”的必要条件，所以，
所以，
解得.
故实数的取值范围是.
17. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米.
（1）当，求的值；
（2）求面积的最大值，并求此时，的值.
【答案】（1）
（2）最大值为平方米，米.
【解析】
【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式，将代入即可求出的值；
（2）利用（1）中得到的关系式结合基本不等式求出的范围即可求出面积的最大值以及此时，的值.
【小问1详解】
设圆与道路1、道路2、直线的切点分为，，，连接，，，
由切线长定理可知，，则，
由题知且，，，
即，化简得.①
把代入①，解得；
【小问2详解】
由题有，，
因为，所以，
令，则，解得，
所以，
当且仅当时等号成立，即，
解得，此时，，
则，
所以的面积的最大值为平方米，此时米.
18. 已知函数，.
（1）若，当时，求的最小值；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）当时，已知，，若，求的取值范围.
【答案】（1）7 （2）答案见解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）变形后，利用基本不等式求出最小值；
（2）因式分解，得到，分，和三种情况，得到不等式的解集；
（3）化为，根据，转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函数的开口方向，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
当时，，
当且仅当，即时取等号，
故当时，的最小值为7.
【小问2详解】
由题知，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得.
综上，
当时，原不等式解集为或；
当时，原不等式解集为或；
当时，原不等式解集为.
小问3详解】
不等式可化为，
因为，所以不等式在时恒成立，
又，结合二次函数图象知，，解得.
故的取值范围是.
19. 已知二次函数，对，都有，且当时，.
（1）求，的值；
（2）存在，对任意，都有，求正实数的最大值；
（3）若，是否存在正整数，使得为正整数？
【答案】（1）
（2）8 （3）不存在，证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式和时，，得到方程组，求出，的值；
（2）结合二次函数的开口方向，只需在，处都成立即可，从而得到不等式，求出，，求出最大值为8，从而得到答案；
（3）反证法，假设为正整数，得到也为完全平方数，但，即介于两个相邻的完全平方数之间，得到矛盾，假设不成立，故不存在正整数，使得为正整数？
【小问1详解】
由题知且，解得
【小问2详解】
由（1）知，在上恒成立，
当确定时，表示开口向上的二次函数，
当时，该函数的最大值必在端点处取到，
则只需在，处都成立即可.
当时，有，解得；
当时，有，解得；
其中在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为8，
所以，所以当，时满足上述不等式，
则的最大值为8.
【小问3详解】
不存在，证明过程如下：
假设存在，设为正整数，
因为，所以为正整数，
则，即.
而，均为完全平方数，为正整数，
所以也为完全平方数，
又，即介于两个相邻的完全平方数之间，
不为完全平方数，矛盾，
所以当时，不存在正整数，使得为正整数.