中考数学【一轮复习】讲义练习第25课 弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图（教师版）

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知识点01 弧长公式
半径为R的圆中：
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式： (弧是圆的一部分);
【注意】
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即=；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
知识点02 扇形面积公式
1．扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2．扇形面积公式
半径为R的圆中：
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：S扇形=
【注意】
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，即 ；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式S扇形=，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形.
知识点03 圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积：S全=S侧+S底.
【注意】
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
考法01 弧长和扇形的有关计算
【典例1】如图，点C为的中点，∠ABC＝22.5°，AB，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设所在圆的圆心为点O，连接CO，交AB于点D，连接AO，如图，
∵C点为的中点，
∴CO⊥AB，AD=BD=AB，
∵AB=，
∴AD=BD=AB=，
∵∠ABC=22.5°，
∴∠AOC=2∠ABC=45°，
∵CO⊥AB，
∴∠ADO=90°，
∴∠DAO=90°-∠AOC=45°，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴AD=DO=，
∴，
∴，
故选：D．
【即学即练】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【答案】B
【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的长为：π．
故选：B．
【典例2】半径为2的圆中，扇形MON的圆心角为150°，则这个扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：．
故选：D．
【即学即练】已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1.5cmB．3cmC．4cmD．6cm
【答案】C
【详解】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴
故选：C．
考法02 圆锥面积的计算
【典例3】一个圆锥的母线长为6，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：圆锥的侧面积=半圆的面积=，
故选C．
【即学即练】已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
【答案】D
【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，
侧面面积=×6π×8=24πcm2．
故选D．
【典例4】如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
【答案】A
【详解】解：由圆锥底面半径r=5cm，高h=12cm，
根据勾股定理得到母线长l==13（cm），
根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×5×13=65π（cm2），
故选：A．
【即学即练】如图，圆锥的底面半径OB＝3cm，高OC＝4cm．则这个圆锥的侧面积是( )
A．15cm2B．12πcm2C．15πcm2D．20πcm2
【答案】C
【详解】解∶根据题意得：，
∴这个圆锥的侧面积是．
故选：C
考法03 组合图形面积的计算
【典例5】如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：连接交于点，如图，
以为直径的半圆与相切于点，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形和四边形为矩形，
，，
在和中，
，
，
，
阴影部分的面积．
故选：A．
【即学即练】如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图：
正方形的面积；①
两个扇形的面积；②
②①，得：．
故选：A．
【典例6】正方形的面积是33平方米，则阴影部分面积是（ ）
A．33﹣πB．33﹣πC．πD．33﹣π
【答案】A
【详解】解：∵正方形的面积是33平方米，
∴正方形的边长为米，
∴阴影部分面积为33﹣＝33﹣（平方米）．
故选：A．
【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）（提示：圆心角为n°的扇形的面积为，R为扇形所在的圆的半径）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴AB=，
∴S扇形ABD=．
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD=．
故选：A．
题组A 基础过关练
1．已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6cm，则这个扇形的弧长是（ ）
A．8πB．6πC．4πD．2π
【答案】C
【详解】解：根据弧长的公式l＝，
得到：l＝＝4π，
故选：C．
2．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（ ）
A．6B．12C．24D．2
【答案】A
【详解】解：设底面圆半径为r，
则，
解得r＝6．
故选：A．
3．已知，如图，⊙O的半径为6，正六边形ABCDEF与⊙O相切于点C、F，则的长度是（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
【答案】C
【详解】解：连接OC、OF，
∵⊙O与正六边形ABCDEF相切于点C，F，
∴∠OFE=∠OCD=，
∵∠E=∠D=，
∴∠COF=，
∴的长=，
故选：C．
4．如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OB．若OA＝8，则点A经过的路径长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：根据题意得：，
∴点A经过的路径长度为．
故选：C
5．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，
则OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵四边形OACB是正方形，
∴∠COB＝45°，
∴，，，
阴影部分的面积为
故选：C．
6．如图所示，某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，底面半径米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵AO=8米，OB=6米，
∴AB=10米，
∵圆锥的底面周长=2×π×6=12π米，
∴S扇形=lr=×12π×10=60π（米2）．
故选：A．
7．已知扇形的半径为 圆心角为 则此扇形的面积是_____________．
【答案】
【详解】∵扇形的圆心角为100°，其半径为，
∴．
故答案为．
8．如图，将以线段AB和曲线BCA围成的图形ABCA绕点A逆时针旋转45°至图形AB′C′A的位置，若AB＝8，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】8π
【详解】解：=．
故答案为：．
9．如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为．求图中管道的展直长度．
【答案】图中管道的展直长度约为6142mm．
【详解】解：3000＋≈6142（mm）.
答：图中管道的展直长度约为6142mm.
10．下列每个正方形的边长为2，求下图中阴影部分的面积．
【答案】2.28
【详解】πr2÷2-2×2÷2×2
=3.14×2×2÷2-4
=2.28．
题组B 能力提升练
1．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【答案】A
【详解】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，
由弧长公式l，
∴2.5π，
解得：r＝6，
故选：A．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为( )
A．16πB．20πC．36πD．40π
【答案】C
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵把Rt△ABC绕边AC所在直线旋转一周，
∴所得的几何体的全面积为：底面半径为4，母线长为5的圆锥侧面和半径为4的圆的面积之和，
故π×4×5+π×42＝36π．
故选：C
3．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知点从开始至结束所走过的路径为两个圆心角为120°，半径为1的扇形弧长，
所以点从开始至结束所走过的路径长度为：．
故选B．
4．如图，六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设圆心为O，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，
∴∠AOB＝60°，∠ABC＝120°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△AOB＝ ×22＝，
∴阴影部分的面积为S正六边形ABCDEF﹣S扇形AOC﹣S扇形DOF
＝6﹣
＝．
故选A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴的长为：＝，
故选：B．
6．一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长，宽的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：根据题意可知受污染土地由两类长分别为，，宽分别为的矩形，及四个能组成一个以半径为的圆组成，
面积为：，
故选：B．
7．若一个扇形的半径是9cm，且它的弧长是6πcm，则此扇形的圆心角等于 _____．
【答案】120°##120度
【详解】解：根据弧长公式l＝＝＝6π，
解得：n＝120，
故答案为：120°．
8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为______．
【答案】2
【详解】∵母线l长为6，扇形的圆心角，
∴圆锥的底面圆周长，
∴圆锥的底面圆半径．
故答案为：2．
9．如图是某居民小区的一块长为2a米，宽为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？
【答案】美化这块空地共需资金为元
【详解】解：花台面积为：平方米，种草面积为平方米，
∴美化这块空地共需资金为元．
10．用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ．
(1)求圆锥的高；
(2)求所需铁皮的面积（结果保留）．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径，
∴，，，
∴有中，
∴圆锥的高为．
（2）圆锥的底面周长为：，
∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长，
∴扇形的弧长为，
∴扇形的面积为，
∴所需铁皮的面积为．
题组C 培优拔尖练
1．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．120°B．150°C．60°D．100°
【答案】B
【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l，
由题意得：，即240π＝×20πr，
解得：r＝24，
又由可得：，
解得：，
故选：B．
2．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC=OA，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴劣的长==2π，
故选：C．
3．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm．
A．15B．30C．45D．30π
【答案】A
【详解】如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，
∴=30°，cm，
∴cm，
设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得，
，
解得，
所以该圆锥的底面圆的半径为15cm，
故选A．
4．如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，连接, ，
边长为的正方形内接于，即，
，，为的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
．
故选C．
5．如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
【答案】A
【详解】解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为．
故选：A．
6．蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2
【答案】C
【详解】解：根据题意，
∵底面圆半径DE=2m，
∴圆柱的底面积为：；故A正确；
圆柱的侧面积为：；故B正确；
圆锥的母线为：；故C错误；
圆锥的侧面积为：；故D正确；
故选：C
7．扇形的圆心角是120°，面积是3π cm²，则扇形的弧长是___________cm，将此扇形卷成一个圆锥，则底面圆的半径为_________cm．
【答案】 2π 1
【详解】解：设扇形的半径是rcm，则，解得：r=3cm，
设扇形的弧长是l，则，解得：l=2π（cm），
将此扇形卷成一个圆锥，设底面圆的半径为Rcm，则2πR=2π，解得R=1，
故答案为2π，1．
8．如图，，，两两不相交，且半径都等于，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为______．（结果保留）
【答案】
【详解】解：三个扇形的半径都是，
而三个圆心角的和是，
图中的三个扇形即三个阴影部分的面积之和为．
故答案为：．
9．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
(1)画出该轮的圆心；
(2)若是等腰三角形，底边cm，腰AB＝10cm，求弧BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)cm
【详解】（1）解：如图，点O即为圆心；
（2）连接AO，OB，OC，BC，BC交OA于D．
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC=10cm，
∵BC=cm，
∴BD=cm，
∴AD==5cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-5）cm，
∴，
解得：R=10，
∴△OAB和△OAC为等边三角形，
∴∠BOC为120°，
∴弧BC的长为：=cm．
10．如图，点都在上，过点C作AC//BD交延长线于点A，连接，且．
(1)求证：是的切线．
(2)求的半径长．
(3)求由弦与弧所围成的阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)证明见解析
(2)⊙O的半径长为6cm
(3)阴影部分的面积为6πcm2
【详解】（1）证明：∵∠CDB＝∠OBD＝30°，∴∠BOC＝60°∵AC∥BD，∴∠A＝∠OBD＝30°∴∠ACO＝90°∴AC为⊙O切线．
（2）解：设OC 、BD相交于点E∵∠ACO＝90°，AC//BD，∴∠BEO＝∠ACO＝90°在Rt△BEO中，∠OBD＝30°∴OE=3∴OB＝6即⊙O的半径长为6cm．
（3）解：∵∠CDB＝∠OBD＝30°，又∵∠CED＝∠BEO，BE＝ED，∴△CDE≌△OBE（ASA）答：阴影部分的面积为6πcm2．
课程标准
(1)通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积S扇形的计算公式，并应用这些公式解决问题；
(2)了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；
(3)能准确计算组合图形的面积.