2025赤峰高一下学期期末联考试题数学含解析

这是一份2025赤峰高一下学期期末联考试题数学含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．若函数是奇函数，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．3
6．已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
7．已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．6
二、多选题
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．D．
10．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列关于函数的说法，正确的有（ ）
A．的最小正周期
B．是的一个对称中心
C．在区间上的值域为
D．将函数的图象向左平移后得到的图象，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则（ ）
A．存在点使平面
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．三棱锥的体积是定值
D．经过四点的球的表面积
三、填空题
12．命题“”的否定是 .
13．已知，的夹角为120°，则 ．
14．已知，则①为奇函数；②；③在上单调递增；④，使与恰有两个交点，则以上结论正确的是 .
四、解答题
15．在平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对（x,y）叫做在坐标系中的坐标.设.
(1)计算的大小；
(2)若与互相垂直，求的值；
(3)若，求与夹角的余弦值.
16．已知.
(1)求的单调递增区间；
(2)求使成立的的取值集合.
17．已知函数.
(1)当时，求的单调递减区间；
(2)当在上恒成立，求的取值范围.
18．已知中，分别为角的对边，设，求证：
(1)三角形面积；
(2)三角形面积.
19．如图（1），在矩形中，，，点为的中点，为线段上一动点.过点作于点的延长线交于点.
(1)求的取值范围（只需写出结果，无需推理过程）；
(2)现将沿折起，使得平面平面.
（i）当点为线段的中点时，求二面角平面角的余弦值；
（ii）设直线与平面所成角为，求的最大值.
1．B
根据一元二次不等式化简集合,即可根据集合的交运算求解.
【详解】，
故，
故选：B
2．A
由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断.
【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件，
设，，显然，从而有成立，但此时不平行.
故选：A.
3．C
根据函数的性质判断函数在内单调递增，最多有一个零点，分别计算选项中涉及区间的函数值，根据判断区间内存在零点.
【详解】在上单调递增，在上单调递增，
在单调递增，即最多有一个零点.
的零点位于区间
故选：C.
4．D
利用二倍角公式展开，然后弦化切即可得解.
【详解】因为，且，
所以.
故选：D
5．C
根据函数定义域为，利用可求，再检验即可.
【详解】因为函数是奇函数，定义域为，
所以，解得，
时，，
，
所以函数是奇函数，则.
故选：C.
6．B
根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解.
【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则，
所以该圆锥侧面积与其表面积的比为.
故选：B
7．A
根据正弦定理可得，由此可得，，然后解三角即可得到周长.
【详解】，由正弦定理得
，
又，
所以，
则，或，（舍），
所以，，
则，
.
故选：A.
8．D
根据重心的性质先用将表示出来，然后利用向量共线定理得出，最后利用基本 不等式的性质求出的最小值.
【详解】根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
所以.
因为，所以.
所以.
因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得.
所以.
当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为6.
故选：D.
9．ABC
根据复数的共轭复数的定义，复数的几何意义以及模长公式、复数的乘法法则计算即可逐一判断.
【详解】对于A，复数的共轭复数即，故A正确；
对于B，复数对应的点为位于第一象限，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因，则，，故D错误.
故选：ABC.
10．AD
对于A，由图中可得函数的对称轴，根据正弦函数的对称性，可得其正误；对于B，根据正弦函数的对称性，利用中点坐标公式以及周期，可得其正误；对于C，利用整体思想，根据正弦函数的值域，可得其正误；对于D，根据函数图像的变换以及诱导公式，可得其正误.
【详解】对于A，由图可得函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，由，则函数的对称中心为，其中，
显然不存在，使得，故B错误；
对于C，由图可得，由A可知，解得，
由B可得，其中，解得，其中，
所以，
由，则，可得，故C错误；
对于D，由题可得，故D正确.
故选：AD.
11．ACD
根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断A；先利用线面垂直的判定定理得平面，根据线面角的定义可知即为所求的线面角，在求解即可判断B；结合三棱锥体积公式判断C；易知经过四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D.
【详解】
连接，当是的中点时，
因为，所以．
因为平面，平面，所以平面，故A正确，
如图，在正方体中，连接，
设，
因为，分别是，的中点，所以，
根据正方体的性质可知平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，所以平面，
所以为直线在平面的射影，所以即为所求的线面角，
在中，，
所以，故B错误，
因为为正方体，所以平面，
直线上的点到面的距离为，而，
所以是定值，故C正确，
设G，H分别为的中点，
则为长宽高分别为，，的长方体，
根据分割补形法知：经过四点的球即为长方体的外接球，
所求球的直径满足：，
经过四点的球的表面积为，故D正确．
故选：ACD．
12．
根据全称量词命题的否定为存在在量词命题易知.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在在量词命题可知：
命题“”的否定是.
故答案为：
13．
【详解】由题意可得：，
则：.
14．①②
根据奇函数定义可判断①；借助基本不等式求值域可判断②；取特值验证可判断③；根据奇函数的对称性可判断④.
【详解】对于①，易知的定义域为，且，
所以为奇函数，正确；
对于②，当时，，
当时，，
因为当时，，当且仅当时等号成立，得；
当时，，即，当且仅当时等号成立，得.
综上，，正确；
对于③，易知，所以在上不单调递增，错误；
对于④，易知为上的奇函数，且也是上的奇函数，
所以原点是函数与的一个交点，
由奇函数的对称性可知，函数与的交点个数必为奇数，错误.
故答案为：①②
15．(1)
(2)
(3)
（1）利用向量的模长公式计算即得；
（2）根据向量垂直的坐标公式计算即得；
（3）利用向量夹角的坐标公式计算即可.
【详解】（1）因为，所以.
所以.
（2）因为，所以.
又，
.
解得.
（3）设与的夹角为，
由题知，，则.
又，.
则.
16．(1)
(2)
（1）利用三角恒等变换先化简，令，解出即可求解；
（2）令，由得，，即，解出即可.
【详解】（1）由题意有
.
，
令，
解得，
所以增区间为.
（2）令，
由得，，
所以，
解得，
所以使成立的的取值集合为.
17．(1)
(2)
（1）求出函数定义域，再利用对数函数、二次函数单调性求出递减区间.
（2）按分类求出函数在指定区间上的最大值，再建立不等式求解即得.
【详解】（1）函数有意义，则，解得，
此时，令，
函数在上单调递增，在上单调递减，
而当时，函数在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
（2）由（1）得，当时，函数在上单调递减，，
依题意，，解得；
当时，函数在上单调递增，，
依题意，，解得，
所以的取值范围是.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）由题意作图，根据三角形面积公式以及锐角三角函数，可得答案；
（2）根据余弦定理以及同角三角函数关系式，整理（1）的面积公式，可得答案.
【详解】（1）
证明：过点作垂足为，，.
（2）
.
.
19．(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）若令，则，所以，
当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以，
所以；
（2）
（i）连接，由已知得，面，故①
又平面平面，平面平面，，
所以平面平面，所以②，
由①、②及与相交，得面，
则二面角的平面角，
由（1）知，，
所以，
当点为线段的中点时，由，则，
故，
即二面角的平面角的余弦值为.
（ii）连接，由面，知直线与平面所成角为
则，
令，则
由，且得，.
当且仅当，即时，取到最大值.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
C
B
A
D
ABC
AD
题号
11









答案
ACD