江苏省南京市第六十六中学2026届高三上学期期初热身考试数学试卷（含答案）

这是一份江苏省南京市第六十六中学2026届高三上学期期初热身考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.1+i1−i的模为( )
A. 1B. 2C. 2D. 1+ 2
2.已知集合U=xx 是小于9的自然数}，A=1,2,3，则∁UA中元素个数为( )
A. 0B. 3C. 6D. 8
3.已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程是y=± 3x，则C的离心率为( )
A. 2B. 2C. 7D. 2 2
4.已知x=12是函数y=sin(ax−π4)的图象的一条对称轴，则a的最小正值为( )
A. π6B. π3C. π2D. 32π
5.已知f(x)是定义在R上的函数，f(x+1)=−f(x)当2≤x0)与直线l:y= 3x+2，直线l上存在点P，过点P可以作两条互相垂直且与圆C相切的直线，则r的取值范围是( )
A. 0, 2B. 1, 2C. 2,2D. 2,+∞
8.已知f(x)=lnxx，若f(x)>f(y)>f(z)则x，y，z的大小关系不可能是( )
A. x>y>zB. xzD. y>z>x
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，各棱长均为1，D为BC的中点，则( )
A. AD⊥DC1
B. BC1⊥平面AB1C
C. VD−AB1A1=112
D. 三棱柱ABC−A1B1C1外接球表面积为73π
10.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F作一条倾斜角为π3的直线l交C于A，B两点(A在第一象限)，AD与准线垂直，垂足为D.则( )
A. ▵ADF为等边三角形B. |AF|=2|BF|
C. |AB|=8D. |DF|⋅|BF|=12
11.已知▵ABC中，c=1，若sinC=acsB+bcsA，csAcsBsinC=14，则( )
A. sinC=sin2A+sin2BB. sinAsinB= 68
C. |AC|+|BC|= 62D. ▵ABC的面积是18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线y=2x+a是曲线y=lnx+x+1的一条切线，则a= ．
13.若一个等差数列前4项的和等于4，后4项的和等于68，所有项的和为108，则这个数列的项数n等于 ．
14.有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，至多取3次，如果取到数字5的球就停止取球.记X为这几次取出的球中数字最大球的数字，则X的数学期望E(X)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了若干人，得到如下列联表：
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p=45，求m,n关系；
(2)在(1)的条件下，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析得出超声波检查结果与患该疾病有关.求m的最小值.(保留整数)
附χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
16.(本小题15分)
已知数列an中，a1=12，2an+1=an+12n．
(1)证明：数列2nan是等差数列，求出数列an的通项公式；
(2)记bn=kn+b2n(k,b为参数)，若an=bn+1−bn，求出k，b并求出数列an的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，BC//AD．
(1)证明：AB⊥AD；
(2)设AB=BC=1，AD=2，若二面角B−PC−D的平面角为5π6，求PA．
18.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，焦距为2c，以a,b,c为三边的三角形面积为 32
(1)求C的方程；
(2)过右焦点F作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N,P,Q，求四边形MPNQ面积的最小值
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=−(a+1)lnx+12x2，g(x)=ex+(1−a)x−1．
(1)讨论y=f(x)−ax的单调性；
(2)当g(x)≥ax恒成立，求a的值
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.B
6.B
7.D
8.D
9.AD
10.ACD
11.ACD
12.0
13.12
14.215/4.2
15.【详解】(1)因为超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p=45，
所以mm+n=45，解得m=4n；
(2)将m=4n代入列联表可得：
则χ2=11n×(4n×n−4n×2n)26n×5n×8n×3n=11n45，
因为根据小概率值α=0.001的独立性检验，
所以χ2=11n45≥10.828，解得n≥10.828×4511≈44.3，
因为n∈N∗，所以n的最小值为45，
所以m=4n=4×45=180，
所以m的最小值为180

16.【详解】(1)因为2an+1=an+12n，所以2n+1an+1=2nan+1，即2n+1an+1−2nan=1，n≥1．
所以2nan是首项为21⋅a1=1，公差为1的等差数列．
故2nan=n，即an=n2n．
所以数列an的通项公式为an=n2n．
(2)因为bn=kn+b2n，所以bn+1−bn=k(n+1)+b2n+1−kn+b2n=k−kn−b2n+1．
又因为an=bn+1−bn，所以k−kn−b2n+1=n2n.即k−kn−b2n+1=2n2n+1．
所以−k=2k−b=0，解得k=−2，b=−2．
所以bn=−2n−22n=−(n+1)2n−1．
数列an的前n项和Sn=a1+a2+...+an=b2−b1+b3−b2+...+bn+1−bn=bn+1−b1．
故Sn=−(n+2)2n−−220=2−n+22n．
故k=−2，b=−2，Sn=2−n+22n．

17.【详解】(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，且AB⊂底面ABCD，所以AB⊥PA，
又因为平面PAB⊥平面PAD，平面PAB∩平面PAD=PA，
且AB⊂平面PAB，所以AB⊥平面PAD，
因为AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD．
(2)解：以A为原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设PA=m，其中m>0，
因为AB=BC=1,AD=2且BC//AD，可得B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,m)，
则BC=(0,1,0),CD=(−1,1,0),PC=(1,1,−m)，
设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⋅BC=y1=0n1⋅PC=x1+y1−mz1=0,
取x1=m，可得y1=0,z1=1，所以n1=(m,0,1)，
设平面PCD的法向量为n2=(x2,y2,z2)，则n2⋅CD=−x2+y2=0n2⋅PC=x2+y2−mz2=0,
取y2=m，可得x2=m,z2=2，所以n2=(m,m,2)，
因为二面角B−PC−D平面角为5π6，
所以csn1,n2=n1⋅n2n1n2=m2+2 m2+1× m2+m2+4=cs5π6= 32，
整理得m4+m2−2=0，解得m2=1
又因为m>0，所以m=1，即PA的长为1．

18.【详解】(1)由已知可得{bc2= 32a2=b2+c2e=ca=12 ⇒{=2b= 3c=1,
则所求椭圆方程C:x24+y23=1．
(2)当直线MN的斜率不存在时，|MN|=3，
此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，
从而SPMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×4×3=6．
设直线MN的斜率为k，则k≠0，直线MN的方程为：y=k(x−1)，
直线PQ的方程为y=−1k(x−1)，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4)，
由y=k(x−1)x24+y23=1，消去y得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，
所以x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，
从而|MN|= 1+k2|x1−x2|=12(1+k2)4k2+3，
由y=−1k(x−1)x24+y23=1，消去y得(3k2+4)x2−8x+4−12k2=0，
所以x3+x4=84+3k2，x3x4=4−12k24+3k2，
从而|PQ|= 1+(−1k)2x3−x4=12(1+k2)3k2+4，
所以SPMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×12(1+k2)4k2+3×12(1+k2)3k2+4=6(1+k2)4k2+3×12(1+k2)3k2+4，
因为k2>0，则4k2+3>0,3k2+4>0，则4k2+33k2+4≤4k2+3+3k2+422=721+k224，
所以SPMQN=6(1+k2)4k2+3×12(1+k2)3k2+4≥72(1+k2)249(1+k2)24=28849．
当且仅当4k2+3=3k2+4，即k2=1时取得最小值，
所以四边形PMQN面积的最小值为28849．


19.【详解】(1)由y=f(x)−ax=−(a+1)lnx+12x2−ax，x>0，
则y′=−a+1x+x−a=x2−ax−(a+1)x=x−(a+1)⋅(x+1)x，
当a≤−1时，y′>0，则函数y=f(x)−ax在(0,+∞)上单调递增；
当a> −1时，令y′>0，得x>a+1，令y′0，得x>ln(2a−1)，令ℎ′(x)0，则m′(t)=−lnt，
令m′(t)>0，得0