河北省衡水市冀州中学2025-2026学年高一上学期开学检测数学试卷

这是一份河北省衡水市冀州中学2025-2026学年高一上学期开学检测数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
22
计算
正确的是（）
B. 2C. 2D. 2
若多项式 x2  px  q 因式分解的结果为 x  5 x  4 ，则 p  q 的值为（）
A 21
B. 21C. 19D.
19
如果抛物线 y   x  m2  m 1 的顶点在第一象限，则m 的取值范围是（）
m  1
m  0
m  1
1  m  0
不等式 x 1 x  2  0 的解集为（）
A. x 1  x  2
C. x x  1 或 x  2
B. x 1  x  2
D. x x  1 或 x  2
若实数 x, y 满足 x2  4x  4 y2  4 y  5  0 ，则 x, y 的值为（ ）
x  2, y   1
2
C. x  2, y   1
2
x  2, y  1
2
D. x  2, y  1
2
如图，圆O 上一点C 在直径 AB 上的射影为 D，AD  2，DB  8 ，则CD 的长为（）
B. 4C. 6D. 7
将抛物线 y  2  x  32  2 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到抛物线的解析式是
（）
y  2  x  62B. y  2  x  62  4
C. y  2x2D. y  2x2  4
已知函数 y  ax2  2x  4( x  1) 满足 y 随 x 增大而减小，则实数 a 的取值范围是（ ）
1  a  0
1  a  0
0  a  1
0  a  1
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知二次函数 y  ax2  bx  c a  0 的图象与 x 轴交于点 A−1,0 ， 与 y 轴的交点 B 在0, 2 和
0, 1 之间（不包括这两点），对称轴为直线 x  1 ．下列结论正确的是（）
A abc  0
4a  2b  c  0
1  a  2
33
b  c
下列不等关系正确的是（）
若 ac2  bc2 ，则 a  b
11
若 a  b 且
，则 ab  0
ab
若 a  b  0 且c  0 ，则 c
a2
c ；
b2
若 a  b  0  c  d ，则 ab  cd
由
m a  b  c  ma  mb  mc ，可得：
a  ba2  ab  b2   a3  a2b  ab2  a2b  ab2  b3  a3  b3 ，即a  ba2  ab  b2   a3  b3 ①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（）
A  x  4 y x2  4xy 16 y2   x3  64 y3B. 2x  y 4x2  2xy  y2   8x3  y3
C. a 1a2  a 1  a3 1D. x3  8   x  2x2  2x  4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
2sin60cs60 的值为．
如图，已知 AB//CD//EF ， AD : AF  3 : 5 ， BE  12 ，则CE  ．
2
2 4
1
计算1
11
L1．
4 6
6  8
98  100
四、解答题：本题共 6 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知集合 A  x 2  x  5，集合 B  x 3  x  7 ，集合C  x x  4．求：
（1）求 A  B ， A ∪ B ；
（2）求 A  B  C  ， C  A  B ．
10
已知关于 x 的一元二次方程2x2  4mx  3  0 的两个根为 x1, x2 ，其中 m  0 ，且| x1  x2 |.
求实数m 的值；
求 x2 x  x2 x 和 x3  x3 的值.
1 22 112
用作差比较法判断大小：
（1）  x 1 x  5 与 x  32 的大小
x3  y3 与 x2 y  xy2 的大小
我们利用一元二次函数 y  ax2  bx  c a  0 的图象及对应的一元二次方程 ax2  bx  c  0 a  0
根的情况可以进行一元二次不等式的求解，如图所示一元二次方程 ax2  bx  c  0 a  0 有两个不相等的
实 数 根 x ，x  x  x  ， 则 一 元 二 次 不 等 式 ax2  bx  c  0 a  0 的 解 为 x  x 或
12121
x  x ，ax2  bx  c  0 a  0 的解为 x  x  x
212
例如：解不等式 x2  x  6  0
QΔ  0
方程 x2  x  6  0 的解为 x1  2，x2  3
原不等式的解为 x  2 或 x  3 ．
求下列一元二次不等式的解
（1） x2  5x  6  0 ；
（2） x2  7x  6 ；
x2  a 1 x  a  0 ．
已知直线l：y  kx  b 经过点0, 7 和点1, 6 ．
求直线l 的表达式；
若点 P m, n 在直线l 上，以 P 为顶点的抛物线G 过点0, 3 ，且开口向下．
①求m 的取值范围；
②当抛物线的二次项系数 a  2 时，求G 在 4m  x  4m 1上的图象的最高点的坐标．
55
阅读材料：如果关于 x 的一元二次方程 ax2  bx  c  0 a  0 有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大 1，称这样的方程为“连根方程”，如方程 x2  x  0 就是一个连根方程．
问题解决：请你判断方程 x2  7x  12  0 是否是连根方程；
问题拓展：若关于 x 的一元二次方程 x2  m  2 x  2m  0 （m 是常数）是连根方程，求 m 的值；
方法总结：如果关于 x 的一元二次方程 x2  bx  c  0 （b、c 是常数）是连根方程，请直接写出 b、 c 之间的关系式．
高一年级适应性摸底测试数学试题
考试时间：120 分钟 试题分数：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
22
计算
正确的是（）
B. 2C. 2
【答案】B
【解析】
22
【分析】根据根式和指数运算可得.
D. 2
22
【详解】由题知，
 2 .
4
故选：B
若多项式 x2  px  q 因式分解的结果为 x  5 x  4 ，则 p  q 的值为（）
21
21C. 19D.
19
【答案】D
【解析】
【分析】计算可得 p 、 q ，即可得解.
【详解】 x  5 x  4  x2  x  20 ，则 p  1 ， q  20 ，故 p  q  19 .
故选：D.
【分析】根据顶点式得到顶点坐标，从而得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得抛物线 y   x  m2  m 1 的顶点坐标为m, m 1 ，
 m  0

因为其在第一象限，则m 1  0 ，解得 m  0 .
故选：B.
不等式 x 1 x  2  0 的解集为（）
3. 如果抛物线 y
A. m  1
  x  m2  m 1
B. m  0
的顶点在第一象限，则m 的取值范围是（
C. m  1
D.
）
1  m  0
【答案】B
【解析】
A. x 1  x  2
x x  1 或 x  2
B. x 1  x  2
x x  1 或 x  2
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次函数的性质来确定不等式的解集.
【详解】令(x  1)(x  2)  0 ，所以 x 1  0 或 x  2  0 .
解得 x  1 ， x  2 .
所以不等式(x  1)(x  2)  0 的解集是{x | 1  x  2} .
故选：A.
若实数 x, y 满足 x2  4x  4 y2  4 y  5  0 ，则 x, y 的值为（ ）
x  2, y   1
2
C. x  2, y   1
2
x  2, y  1
2
D. x  2, y  1
2
【答案】B
【解析】
【分析】利用配方可得 x  2
2  2 y 12
x  2  0

 0 ，由2 y 1  0 求解即可.
2 y 1  0
【详解】由于实数 x, y 满足 x2  4x  4 y2  4 y  5  0 ，则 x  22  2 y 12  0 ,所以x  2  0 ，解

x  2

得 y  1 ，
2
故选：B
如图，圆O 上一点C 在直径 AB 上的射影为 D，AD  2，DB  8 ，则CD 的长为（）
B. 4C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】在直角三角形中利用射影定理求解即可.
【详解】因为 AB 为圆的直径，所以 AC  BC ，又CD  AB ，
由射影定理知： CD2  AD  DB  2  8  16 ，所以CD  4
故选：B
将抛物线 y  2  x  32  2 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到抛物线的解析式是
（）
A. y  2  x  62B. y  2  x  62  4
C. y  2x2D. y  2x2  4
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线平移的原则即可得到答案.
【详解】抛物线 y  2  x  32  2 向左平移 3 个单位长度， 再向下平移 2 个单位长度得到 y  2  x  3  32  2  2  2x2 .故选：C.
已知函数 y  ax2  2x  4( x  1) 满足 y 随 x 增大而减小，则实数 a 的取值范围是（ ）
1  a  0
1  a  0
0  a  1
0  a  1
【答案】C
【解析】
【分析】通过 a  0 ， a  0 ， a  0 三种情况讨论即可.
【详解】当 a  0 ， y  2x  4 ，显然符合，
当 a  0 时，函数图象为开口向下的抛物线，在 , 1  单调递增，不符合，
a 

当 a  0 时，函数图象为开口向上的抛物线，在 , 1  单调递减，此时需满足 1  1 ，
a a

即0  a  1，
综上实数 a 的取值范围是0  a  1，故选：C
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知二次函数 y  ax2  bx  c a  0 的图象与 x 轴交于点 A−1,0 ， 与 y 轴的交点 B 在0, 2 和
0, 1 之间（不包括这两点），对称轴为直线 x  1 ．下列结论正确的是（）
abc  0
4a  2b  c  0
1  a  2
33
b  c
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向，可得 a 的符号，根据抛物线的对称轴为 x  1 ，可得 a, b 的数量关系和 y 0  y 2 ，根据抛物线与 y 轴的交点，可确定c 的取值范围，根据抛物线过点1, 0 ，可得 a, b, c 的关系，结合所得结论，逐项判断即可.
【详解】因为抛物线开口向上，所以 a  0 ；
因为抛物线的对称轴为 x  1 ，所以 b
2a
 1  b  2a  0 ；
因为抛物线与 y 轴的交点 B 在0, 2 和0, 1 之间（不包括这两点），所以2  c  1.所以 abc  0 ，故 A 正确；
因为抛物线的对称轴为 x  1 ，所以 y 0  y 2 ，即4a  2b  c  c 2, 1 ，所以4a  2b  c  0 ，
故 B 错误；
因为抛物线过点 A1,0 ，所以 a  b  c  0  3a  c  0  c  3a ，
所以2  3a  1  1  a  2 ，故 C 正确；
33
因为 a  b  c  0  a  b  c  0 ，所以b  c ，故 D 正确.故选：ACD
下列不等关系正确的是（）
若 ac2  bc2 ，则 a  b
11
若 a  b 且
，则 ab  0
ab
若 a  b  0 且c  0 ，则 c
a2
c ；
b2
若 a  b  0  c  d ，则 ab  cd
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得结论.
【详解】对于 A，若 ac2  bc2 ，则c  0 ，所以 a  b ，故 A 正确；
对于 B，若 a  b 且 1  1 ，则 a  0, b  0 ，所以 ab  0 ，故 B 正确；
ab
1
对于 C，若 a  b  0 ， c  0 ，则 b2
1 ，所以 c
a2a2
c ，故 C 正确；
b2
对于 D，若 a  b  0  c  d ，当 a  2, b  1, c  2, d  3 ，则 ab  2  cd  6 ，故 D 不正确.
故选：ABC.
由
m a  b  c  ma  mb  mc ，可得：
a  ba2  ab  b2   a3  a2b  ab2  a2b  ab2  b3  a3  b3 ，即a  ba2  ab  b2   a3  b3 ①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（）
A.  x  4 y x2  4xy 16 y2   x3  64 y3B. 2x  y 4x2  2xy  y2   8x3  y3
C a 1a2  a 1  a3 1D. x3  8   x  2x2  2x  4
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题干所给立方和公式，代入即可验证.
【详解】对于 A 选项，令 a  x, b  4 y ,代入立方和公式，正确；
对于 B 选项，令 a  2x, b  y 代入立方和公式，正确；
对于 C 选项，令b  1,代入立方和公式，应该为a 1a2  a 1  a3 1 ，C 选项错误；对于 D 选项，令 a  x, b  2 ,代入立方和公式，正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
2sin60cs60 的值为．
【答案】 3
2
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦公式和诱导公式求解即可.
【详解】 2sin60cs60  sin120  sin 180  60  sin60 3 .
2
故答案为： 3 .
2
如图，已知 AB//CD//EF ， AD : AF  3 : 5 ， BE  12 ，则CE  ．
24
【答案】
5
【解析】
##4.8
【分析】根据平行线分线段成比例得出 BC ，再由CE  BE  BC 求解即可.
【详解】Q AB//CD//EF ，
 AD  BC ，
AFBE
即 3  BC ， BC  36 ，
5125
CE  BE  BC  12  36  24 ，
55
24
故答案为：
5
2
2 4
1
计算1
11
L1．
4 6
6  8
98  100
【答案】5
【解析】
【分析】 运用裂项相消求和即可.
2n  2
2n
2n
【详解】此问题可以看作数列 a  1  1 2n  2 的前 50 项和T .
2
T 1 
 0  1 
n
4
6
2  1 


2
100
4 L 1 
50
 98 
502222
2
0
4
2
6
4
100
100
即T 1 L 98   1  5 .
5022
故答案为：5.
四、解答题：本题共 6 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知集合 A  x 2  x  5，集合 B  x 3  x  7 ，集合C  x x  4．求：
（1）求 A  B ， A ∪ B ；
（2）求 A  B  C  ， C  A  B ．
【答案】（1） A  B  x 3  x  5， A  B  x 2  x  7 ；
（2） A  B  C   x 4  x  5， C  A  B  x x  3.
【解析】
【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义求解；
（2）根据交集定义求 B  C ，再求 A I  B I C  ，再结合（1）结合并集定义求C  A  B .
【小问 1 详解】
因为 A  x 2  x  5， B  x 3  x  7 ，
所以 A  B  x 3  x  5， A  B  x 2  x  7 ，
【小问 2 详解】
因为 B  x 3  x  7 ， C  x x  4，
所以 B  C  x 4  x  7 ，又 A  x 2  x  5，所以 A  B  C   x 4  x  5，
由（1） A  B  x 3  x  5， C  x x  4，所以C  A  B  x x  3.
10
已知关于 x 的一元二次方程2x2  4mx  3  0 的两个根为 x1, x2 ，其中 m  0 ，且| x1  x2 |.
求实数m 的值；
求 x2 x  x2 x 和 x3  x3 的值.
1 22 112
【答案】（1）1；（2）3， 17 .
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理及给定条件，建立方程求出m .
（2）由（1）求出 x1  x2 , x1x2 ，再借助因式分解计算即得
【小问 1 详解】
x1  x2  2m

依题意，
3，由| x  x | 10 ，得(x  x )2  4x x
 10 ，
x x  
12121 2
 1 22
则4m2  6  10 ，而 m  0 ，所以 m  1.
【小问 2 详解】

x1  x2  2
由（1）知， x x
  3，
 1 22
所以 x2 x  x2 x  x x (x  x )  3 ；
1 22 11 212
x3  x3  (x  x )(x2  x x  x2 )  (x  x )3  3x x (x  x )  (2)3  3( 3) (2)  17 .
121211 22121 2122
用作差比较法判断大小：
（1）  x 1 x  5 与 x  32 的大小
（2） x3  y3 与 x2 y  xy2 的大小
【答案】（1）  x 1 x  5   x  32
答案见解析
【解析】
【分析】利用作差法比较大小即可.
【小问 1 详解】
因为 x 1 x  5   x  32  x2  6x  5  x2  6x  9  4  0 ，所以 x 1 x  5   x  32 .
【小问 2 详解】
x3  y3   x2 y  xy2    x  y x2  xy  y2   xy  x  y    x  y x2  y2  ，因为 x2  y2  0 （且只有 x  y  0 时取等号），
所以若 x  y ，则 x  y x2  y2 > 0 ，即 x3  y3  x2 y  xy2 ；若 x  y ，则 x  y x2  y2   0 ，即 x3  y3  x2 y  xy2 ；
若 x  y ，则 x  y x2  y2   0 ，即 x3  y3  x2 y  xy2 .
我们利用一元二次函数 y  ax2  bx  c a  0 的图象及对应的一元二次方程 ax2  bx  c  0 a  0
根的情况可以进行一元二次不等式的求解，如图所示一元二次方程 ax2  bx  c  0 a  0 有两个不相等的
实 数 根 x ，x  x  x  ， 则 一 元 二 次 不 等 式 ax2  bx  c  0 a  0 的 解 为 x  x 或
12121
x  x ，ax2  bx  c  0 a  0 的解为 x  x  x
212
例如：解不等式 x2  x  6  0
QΔ  0
方程 x2  x  6  0 的解为 x1  2，x2  3
原不等式的解为 x  2 或 x  3 ．
求下列一元二次不等式的解
（1） x2  5x  6  0 ；
（2） x2  7x  6 ；
x2  a 1 x  a  0 ．
【答案】（1） x  1或 x  6
（2）1  x  6
（3）当 a  1 时，原不等式的解为： x  1或 x  1 ；当 a  1 时，原不等式的解为： x  a 或 x  1 ；当 a  1
时，原不等式的解为： x  1或 x  a ；
【解析】
【分析】(1)由一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系求解即可；
由一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系求解即可；
讨论 a 的范围，由一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系求解即可。
【小问 1 详解】
因为  25  24  49  0 ,方程 x2  5x  6  0 的解 x1  1 , x2  6 ,
所以原不等式的解为： x  1或 x  6
【小问 2 详解】
将原不等式转化为： x2  7x  6  0 ,因为  49  24  25  0 ,方程 x2  7x  6  0 的解 x1  1 , x2  6 ,
所以原不等式的解为：1  x  6
【小问 3 详解】
因为  a 12  4a  a 12  0 ,方程 x2  a 1 x  a  0 的解 x  1 , x
 a ,
12
当 a  1 时，原不等式的解为： x  1或 x  1 ;当 a  1 时，原不等式的解为： x  a 或 x  1 ;当 a  1 时，原不等式的解为： x  1或 x  a ;
已知直线l：y  kx  b 经过点0, 7 和点1, 6 ．
求直线l 的表达式；
若点 P m, n 在直线l 上，以 P 为顶点的抛物线G 过点0, 3 ，且开口向下．
①求m 的取值范围；
②当抛物线的二次项系数 a  2 时，求G 在 4m  x  4m 1上的图象的最高点的坐标．
55
【答案】（1） y  x  7 ；
（2）① m  0 或0  m  10 ；② 2, 9 或2, 5 .
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入解析式列方程组求解即可；
①利用顶点设出抛物线解析式，根据顶点在直线上和抛物线过点0, 3 求得 a 和m 的关系，利用一次函数性质求解可得；②求出解析式，根据二次函数性质即可得解.
【小问 1 详解】
因为直线l：y  kx  b 经过点0, 7 和点1, 6 ，
b  7

所以k  b  6
，解得 k  1, b  7 ，所以直线l 的表达式为 y  x  7 .
【小问 2 详解】
①设抛物线G 的解析式为 y  a  x  m2  n, a  0 ，又抛物线G 过点0, 3 ，所以 am2  n  3 ，
因为点 P m, n 在直线l 上，所以 n  m  7 ，所以 am2  m  7  3 ，当 m  0 时， 7  3 不成立，不满足题意；
当 m  0 时，因为 a  0 ，所以，关于 a 的一元一次方程 m2a  m 10  0 有负根，由一次函数性质可知， m 10  0 ，即 m  10 .
综上， m 的取值范围是 m  0 或0  m  10 .
②若 a  2 ，则由2m2  m 10  0 得 m   5 或 m  2 .
2
519
5 219
当 m   时， n 
2
，则抛物线 y  2  x  
22

在2  x  1 上的图象逐渐下降，
2
5 219
2
所以图象的最高的横坐标为2 ，纵坐标为 y  2  2  

 9 ， 2
所以，图象的最高的坐标为2, 9 .
当 m  2 时， n  5 ，则抛物线 y  2  x  22  5 在 8  x  13 上的图象的最高的为顶点，
55
所以图象的最高的坐标为2, 5 .
阅读材料：如果关于 x 的一元二次方程 ax2  bx  c  0 a  0 有两个实数根，且其中一个实数根比另
一个大 1，称这样的方程为“连根方程”，如方程 x2  x  0 就是一个连根方程．
问题解决：请你判断方程 x2  7x  12  0 是否是连根方程；
问题拓展：若关于 x 的一元二次方程 x2  m  2 x  2m  0 （m 是常数）是连根方程，求 m 的值；
方法总结：如果关于 x 的一元二次方程 x2  bx  c  0 （b、c 是常数）是连根方程，请直接写出 b、 c 之间的关系式．
【答案】（1）是（2） m1  1,m2  3
b2  4c  1
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的解法，求得方程的两个根，结合题设新定义，即可求解；
设 x2  m  2 x  2m  0 的两个根为 a,a 1 ，结合一元二次方程根与系数的关系，列出方程，即可求解；
设方程的两个根为 x1,x2 ，得到 x2  x1  1，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解.
【小问 1 详解】
解：因为 x2  7x  12  0 ，可得 x  3 x  4  0 ，解得 x1  3, x2  4 ，又因为3 1  4 ，所以 x2  7x  12  0 是连根方程．
【小问 2 详解】
解：因为方程 x2  m  2 x  2m  0 （ m 是常数）是“连根方程”，设 x2  m  2 x  2m  0 的两个根为 a,a 1 ，
所以a  a 1  2  m ，可得 a  1 m ，所以 1 m  1 m 1  2m ，
a(a 1)  2m
222

解得 m1  1,m2  3 ．

【小问 3 详解】
解：方程 x2  bx  c  0 （b、c 是常数）是“连根方程”，
设方程的两个根为 x ,x ，且 x  x 1 ，可得 x  x  1，所以 x  x 2  1，
1 2122121
x1  x2  b
222
因为x  x  c，可得 x2  x1    x2  x1   4x1 x2  b  4c  1，
 12
所以b, c 之间的关系式为b2  4c  1 ．