广东省阳江三中2025-2026学年度第一学期高二9月开学考试数学试卷

这是一份广东省阳江三中2025-2026学年度第一学期高二9月开学考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
阳江三中 2025--2026 学年度第一学期开学考试高二数学
满分：150 分考试时间：120 分钟使用时间：2025 年 9 月 9 日
注意事项：
答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息；
请将答案正确填写在答题卡上。
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。)
已知集合 A  {x | 1  x  3}, B  {x | x  0, x  Z}，则 A ∩ B  （）
A．1, 0
B．0,1, 2, 3
C．0, 3
D．1, 0
2
已知 f  x  ax2  bx 是定义在2a  3, 4a 上的偶函数，那么 a  b 的值是（）
 1
3
1
3
 1
2
1
若复数 z  3  4i （ i 为虚数单位），则 z  （）
2
4  3i
A． 3
2
B．1C． 1
D．2
设 a  e1 ， b  ln 1 ， c  lg 3 ，则（）
c  a  b
22
b  a  c
c  b  a
a  c  b
已知3sin x  4 cs x  0 ，则cs 2 x  （）
 7
25
 24
25
7
25
24
25
→→
已知向量 a   x, 2 ， b  3, 6 ，若 a //b ，则 x  （）
A．4B． 4C．1D． 1
一组不全相等的数据 x1, x2 ,L, xn (n  4) ，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是
（）
极差B．中位数C．平均数D．众数
csα β
已知α, β为锐角，且sinα 2sinβ ，则tan β的最大值（）.
A． 3
4
B． 2
2
C． 2
4
D． 6
12
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。)
已知复数 z  m2  4  (m  2)i(m  R) ，则（）
A．若复数 z 为实数，则 z  0B．若复数 z 为纯虚数，则m  2
10
C．当m  1时，| z |D．复数 z 在复平面内对应的点不可能在第二象限
已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（） A．这组数据的极差为 4B．这组数据的方差为 2 C．这组数据的众数等于平均数D．这组数据的第 70 百分位数为 2025
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x  R ，用[x] 表示不超过 x 的最大整数，则
y  [x]
[3.5]  4
[2.1]  2
2x1
g(x)  [ f (x)]
称为高斯函数.例如：
正确的是（）
，.已知函数 f (x)  1 2x  2 ，
，则下列叙述中
A． g(x) 是偶函数B． f ( x) 是奇函数
C． f ( x) 在R 上是增函数D． g(x) 的值域是{1, 0,1}
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）
已知圆柱的底面直径与球的半径均为 2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为.
a
(a
已知平面向量a  (x,1) ， b  (1 x, 2x) ，若 →  →  b ) ，则| a | ．
已知正三棱锥的各顶点都在体积为36π 的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为．
四、解答题（本题共 6 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。）
15(13 分)．已知函数 f  x  2 cs2 x 
3 sin 2x 1 m ，其中 x  R ．
(1)求函数 f  x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若 x  0, π  时， f  x 的最小值为 4，求m 的值．
2 
16(15 分)．某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为10mg /片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的 10 片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．
(1)计算样本的平均数 x 和方差 s2 ；
s2
10
(2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若| x 10 | 3.25
，则认为采用新工艺生产
的药品的有效成分不达标；反之认为达标）．
17(15 分)．记V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，且
3asinC  c 1 csA .
求 A ；(2)若 a  2,△ABC 的周长为 6 ，求V ABC 的面积.
18(17 分)．如图，在四棱锥P  ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA  平面 ABCD ， PA  AB  1， M ， N分别是PA ， PB 的中点．
求证： MN / / 平面 ABCD ；
求证： CD  平面PAD ；
求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值．
19(17 分)．（1）已知 x  0 ， y  0 ，且 2x  3y  6 ，求 xy 的最大值；
xy
（2）已知 x  0 ， y  0 ， 1  9  1，求 x 
y 的最小值；
（3）已知 k  1 ，若对任意正数 x ， y ，不等式 3k  1  x  ky 恒成立，求实数的最
2xy
62 k

小值.
阳江三中 2025--2026 学年度第一学期开学考试
高二数学试题解析版2025 年 9 月 12 日
一、单选题
已知集合 A  {x | 1  x  3}, B  {x | x  0, x  Z}，则 A ∩ B  （）
A．1, 0
0,1, 2, 3
0, 3
1, 0
【答案】D【详解】因为集合 B 是所有非正整数组成的集合，所以 A ∩ B  1, 0 ．
已知 f  x  ax2  bx 是定义在2a  3, 4a 上的偶函数，那么a  b 的值是（）
 1
3
1
3
 1． 1
D
22
【答案】D 【详解】因为 f  x  ax2  bx 是定义在2a  3, 4a 上的偶函数，所以2a  3  4a  0 ，解得a  1 ，所以定
2
义域为2,2 又 f x  f  x ，所以a x2  b x  ax2  bx ，所以2bx  0 ，又 x 2, 2 ，所以b  0 ，所以
a  b  1  0  1 .
22
若复数 z  3  4i （ i 为虚数单位），则 z  （）
4  3i
A． 3
2
B．1C． 1
D．2
2
3  4i
【答案】B【详解】由 4  3i
 3  4i4  3i  i  1 .
25
设a  e1 ， b  ln 1 ， c  lg 3 ，则（）
c  a  b
22
b  a  c
c  b  a
a  c  b
【答案】B【详解】由0  a  e1  e0  1， b  ln 1  ln1  0 ， c  lg 3  lg 2  1，所以b  a  c .
222
已知3sin x  4 cs x  0 ，则cs 2x  （）
 7
25
 24
25
7
25
24
25
【答案】A【详解】因为3sinx  4csx  0 ，且sin2 x  cs2 x  1，所以16 cs2 x  cs2 x  1， cs2 x 
9
9 ，则
25
cs2x  2cs2 x 1  2  9 1   7 .
2525
已知向量 →   x, 2 ， b  3, 6 ，若 →，则 x  （）
a
A．4B． 4
a //b
C．1D． 1
a //b
【答案】D【详解】由 →得6x  3  2  0 ，解得 x  1 .
一组不全相等的数据 x1 , x2 ,L, xn (n  4) ，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（）
极差B．中位数C．平均数D．众数
【答案】C【详解】A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，
A 错误；B，中位数不一定改变，如原数据为 1，2，2，3，中位数为 2，去掉 3 后，数据为 1，2，2，中位数还是 2，
B 错误；C，设原平均数为S  x1  x2 L xn ，假设去掉最大值 x 后平均数不变，则 x1  x2 L xn1  S ，
nnn 1
所以S  nS  xn ，解得S  x ，由原数据不全相等，可得S  x ，矛盾，所以平均数一定改变，C 正确；
n 1nn
D，众数不一定改变，如数据为 2，2，3，4，众数为 2，去掉 4 后，众数仍为 2，D 错误．
α β
已知α, β为锐角，且sinα 2sinβ ，则tan β的最大值（）.
cs
A． 3
4
B． 2
2
C． 2
4
D． 6
12
【答案】D【详解】因为α, β为锐角，且sinα
2sinβ
2sinβ
，分式上下除以csβ得，
cs(α β)csαcsβ sinαsinβ
，，为锐角， tan0 ，
sinα 2tanβcsαsinα sin2α 2 tanβQαα
6
csα sinαtanβ
tanβ sinαcsα
sinαcsα
tanα1
 162
2  sin2α
3sin2α 2cs2α
3tan2α 2
3tanα 2
tanα
12 ，当且仅当3tanα tanα，即tanα 3
2 6
时取等号，tanβ最大值为 6 ．
12
二、多选题
已知复数 z  m2  4  (m  2)i(m  R) ，则（）
若复数 z 为实数，则 z  0B．若复数 z 为纯虚数，则m  2
10
C．当m  1时， | z |D．复数 z 在复平面内对应的点不可能在第二象限
【答案】ACD【详解】对于 A，依题意可得m  2  0 ，即m  2 ，则 z  0 ，故 A 正确；
m2  4  0  

对于 B，依题意可得m  2  0m2 ，故 B 错误；
(3)2  (1)2
对于 C，依题意可得 z  3  i ，所以| z | 10 ，故 C 正确；
m2  4  0 

对于 D，若复数 z 在平面内对应的点在第二象限，则m  2  0m
，所以 D 正确.
已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（） A．这组数据的极差为 4B．这组数据的方差为 2 C．这组数据的众数等于平均数D．这组数据的第 70 百分位数为 2025
【答案】ACD【详解】A：由数据知，极差为2026  2022  4 ，对；
B：平均数为 2022  2023  2024  2024  2025  2026  2024 ，则方差
6
2022  20242  2023  20242  2024  20242  2024  20242  2025  20242  2026  202425
s2  ，错；
63
C：众数为2024 ，即与平均数相等，对；D：由6  70%  4.2 ，则数据的第 70 百分位数为2025 ，对.
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三 大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x  R ，用[x] 表示不超过 x 的最大整数，则 y  [x] 称为高斯函数.例如：
[3.5]  4
[2.1]  2
2x1
g(x)  [ f (x)]
，.已知函数 f (x)  1 2x  2 ，
，则下列叙述中正确的是（）
A． g(x) 是偶函数B． f ( x) 是奇函数C． f ( x) 在R 上是增函数D． g(x) 的值域是{1, 0,1}
2x111
2 1
【答案】BC【详解】依题意，函数 f (x)  1  2x  2    2x 的定义域为R ，
对于 A， g(1)  [ f (1)]  [ 2  1 ]  0 ， g(1)  [ f (1)]  [ 1  1 ]  1 ， g(1)  g(1) ，函数 g(x) 不是偶函数，A 错；

2 x
1 22
111
2 12
f ( x)
21
对于 B， f (x)  1 2 x  
   f (x) ，则函数
 2x2
是奇函数，B 正确；
对于 C，函数 y  1 2x 在R 上单调递增，则函数 f (x)  1 1在 R 上是增函数，C 正确；

2 1 2x
对于 D，由2x  0 ，得1 2x  1，则 1  f (x)  1 ， g  x 的值域为1, 0 ，D 错误.
22
三、填空题
已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为.
【答案】8【详解】设圆柱的母线长为l ，则圆柱的侧面积为2πrl  2πl ，易知球的表面积为4π 22  16π ，所以2πl  16π ，解得l  8 .
a
(a
已知平面向量a  (x,1) ， b  (1 x, 2x) ，若 →  →  b ) ，则| a | ．
10
【答案】【详解】由向量a  (x,1) ， b  (1 x, 2x) ，得 →  b  (1,1 2x) ，由 →  →  b ) ，得
a
3
x2 1
→  →  b )  x 1 2x  3x 1  0 ，解得 x = - 1 ，所以 r 
 10 .
a(a
a (a
3| a |3
已知正三棱锥的各顶点都在体积为36π 的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为.
【答案】4【详解】根据题意可得，正三棱锥的外接球的半径 R  3，设正三棱锥的底面边长为 2 3a ，高为 h ，
则正三角形的外接圆的半径为 2a ，所以 (2a)2  (h  R)2  R2 ，即 4a2  (h  3)2  9 ，所以
4a2  9  (h  3)2  h(6  h), h (0, 6) ，又正三棱锥体积为 1  1 (2 3a)2  3  h  3a2h 3  4a2h 3 h(6  h)h
3 2244
33  12  2h  h  h 3
3

(12  2h)  h  h 
8
8 
 8
3
，当且仅当 12  2h  h 即
h  4
时，等号成立，

所以当正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为 4.
四、解答题
15(13 分)．已知函数 f  x  2 cs2 x  3 sin 2x 1 m ，其中 x  R ．
(1)求函数 f  x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若 x  0, π  时， f  x 的最小值为 4，求m 的值．
2 
【详解】（1） f  x  cs 2x  3 sin 2x  m  2 sin  2x  π   m ，2 分；
6 

∴T  2π  π ． 分；
2
由2kπ  π  2x  π  2kπ  π ， k  Z ，求得kπ  π  x  kπ  π ， k  Z ，6 分；
26236
函数的单调递增区间为kπ  π , kπ  π  k  Z ．7 分；
36 
（2）由 x  0, π  时， 2x  π   π , 7π  ，9 分；
2 
6 6 6 
sin  2x  π   1 ,1 ， 分； 1  2  m  4 ，解得m  5 ．13 分.
6  2 2

16(15 分)．某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为10mg /片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的 10 片药品作为样本，测得其有效成分含量如下： 9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．
(1)计算样本的平均数 x 和方差s2 ；
s2
10
(2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若| x 10 | 3.25
，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分
不达标；反之认为达标）．
【详解】（1） x  9.7 10  9.7  9.6  9.7  9.9 10.2 10.110 10.1  9.9 ，3 分；
10
s2 
1 [9.7  9.92  10  9.92  9.7  9.92  9.6  9.92  9.7  9.92
10
9.9  9.92  10.2  9.92  10.1 9.92  10  9.92  10.1 9.92 ]  0.047 分；
（2）因为| x 10 |2  0.12

 0.01 ，10 分；  3.25
s2 
2
10 
 (3.25)
2 0.04
10
 0.04225 ，13 分；

s2
10
所以 x 10  3.25
，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标．15 分.
17(15 分)．记V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，且 3asinC  c 1 csA .
(1)求A ；(2)若a  2,△ABC 的周长为6 ，求V ABC 的面积.
【详解】（1）由 3asinC  c 1 csA 及正弦定理，
得 3sinAsinC  sinC 1 csA 分；又sinC  0 ，得 3sinAcsA1，4 分；
π 1
62
即sin  A    分；

因为 A 0, π ，所以 A  π7 分；
3
由（1）得 A  π .由a  2,△ABC 的周长为6 ，得b  c  49 分；
3
b2  c2  a21
由csA  ，11 分；
2bc2
所以b2  c2  4  bc ，即b  c2  4  3bc ，13 分；
故bc  4 ，所以S
 1 bcsinA  1  4  3 

.15 分.
3
V ABC222
18(17 分)．如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA  平面 ABCD ， PA  AB  1， M ， N 分别是
PA ， PB 的中点．
(1)求证： MN / / 平面 ABCD ；(2)求证： CD  平面 PAD ；(3)求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值．
【详解】（1）在VPAB 中，Q M ， N 分别是 PA ， PB 的中点，
 MN / / AB ，2
分；；
又MN  平面 ABCD ，AB  平面 ABCD ， MN / / 平面 ABCD ．4 分；
（2）Q四边形 ABCD 是正方形， AD  CD ，5 分；
又Q PA  平面 ABCD ， CD  平面 ABCD ，  PA  CD ，6 分；
又 PA  AD  A ，且 PA, AD  平面 PAD ，9 分；
\ CD ^ 平面 PAD ．10 分；
由（2）知， CD  平面 PAD ， PD 为斜线 PC 在平面 PAD 上的射影， CPD 为直线 PC 与平面 PAD 所成的角．12 分；
PD2  CD2
3
由题意，在Rt△PCD 中， PD  2 ， CD  1，13 分；
 PC 
，14 分；
3
sin CPD  CD  1 3 ， 分；即直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值为 3 ．17 分.
PC33
19(17 分)．（1）已知 x  0 ， y  0 ，且2x  3y  6 ，求 xy 的最大值；
（2）已知 x  0 ， y  0 ， 1  9  1，求 x  y 的最小值；
xy
2xy
（3）已知k  1 ，若对任意正数 x ， y ，不等式 3k  1  x  ky 
恒成立，求实数k 的最小值.
62 

11  2x  3y 21  6 23
【详解】（1）因为 x  0 ， y  0 ， 2x  3y  6 ，所以 xy  6 2x  3y   6 
2  6  2 
 ，3 分；
2
 
当且仅当2x  3y ，即 x  3 ， y  1时， xy 取到最大值 35 分；
22
（2）因为 1  9  1，所以 x  y   x  y  1  9   1 9x  y  9  y  9x 10 ，7 分;又因为 x  0 ，

xy

xy
y9x
 yxxy
y  9x
 y  3x,

y  0 ，所以 
x
10  2
y  9x xy
y
10  16 ， 分;当且仅当 xy ，即 y  3x 时，等号成立.由 19

 1,
 xy
x  4,

得 y  12,
即当 x  4, y  12 时，x  y 取得最小值 1611 分;
2xy
x
y
y
x
2
（3）因为 x  0 ， y  0 ，所以 3k  1  x  ky 恒成立等价于 3k  1  k恒成立13 分;
2 2 
又k  1 ，所以 3k  1 

x
y
y
x
k  3k  1 
2 


 k 2
，当且仅当3 

1  y 时等号成立，15 分;
62 

2kx

从而2
 2 ，解得k   1 （舍去）或k  1 ，所以k 117
k  3k  1 
2 


32min2
分.