高中数学人教A版 (2019)必修 第一册用二分法求方程的近似解习题

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第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：区间中点
对于区间，其中点
知识点二：二分法
1、二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisectin )
2、用二分法求零点的近似值
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点
（3）计算;
①若（此时)，则就是函数的零点；
②若（此时)，则令；
③若（此时)，则令；
（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）
A．B．
C． D．
2．用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝–2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈–0.984，f（1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）
3．已知函数的部分函数值如下表所示
那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（ ）A．B．C．D．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：二分法概念的理解
典型例题
例题1．下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．下列各图象表示的函数中没有零点的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．用二分法求如图所示函数的零点时，不可能求出的零点是( )
A． B． C．D．
同类题型演练
1．下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）
重点题型二：确定零点（根）所在区间
典型例题
例题1．用二分法求方程的近似解，求得函数的部分函数值数据如下：，，，，则方程的一个近似根x所在区间为（ ）
A．B．C．D．
例题2．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
同类题型演练
1．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
2．在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.
3．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
重点题型三：用二分法求函数的零点的近似值
典型例题
例题1．若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A．1.3B．1.32C．1.4375D．1.25
例题2．用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：，，，，）
A．B．C．D．
同类题型演练
1．已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（ ）
A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
2．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)
重点题型四：二分法的过程
典型例题
例题1．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为______．
例题2．借助计算器或计算机，用二分法求方程在区间上的根的近似值（误差不超过）．
同类题型演练
1．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度）可以是（ ）
A．B．C．D．
2．用二分法求方程的根的近似值（误差不超过0.001）．
第五部分：新 定 义 问 题
1．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当较小时，）
A．1.27B．1.26C．1.23D．1.22
2．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
3．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
4.5.2用二分法求方程的近似解（精练）
A夯实基础
一、单选题
1．下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A．B．
C．D．
2．用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1B．C．0.25D．0.75
3．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．用二分法求方程的近似解时，可以取的初始区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（5，6）
5．设函数与的图象交点为，则所在区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
6．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
7．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次1.75B．6次1.76C．7次1.75D．7次1.76
8．已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，下列说法正确的有（ ）
A．精确到的近似值为B．精确到的近似值为
C．精确到的近似值为D．精确到的近似值为
10．若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在区间，，，内，则与符号不同的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．用二分法研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间（8，12）存在零点，那么经过下一次计算可知___________（填区间）.
12．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
四、解答题
13．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1)．
14．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.
（1）证明f(x)有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
B能力提升
1．（多选）若函数在区间上的图象不间断，则下列结论中错误的是（ ）
A．若，则在上不存在零点
B．若，则在上至少有一个零点
C．若在内有且只有一个零点，则
D．若在上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值
2．下列说法正确的是（ ）
A．已知方程的解在内，则
B．函数的零点是，
C．函数，的图像关于对称
D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上
C综合素养
1．已知函数.
(1)探究在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)判断方程是否存在实根？若存在，设此根为，请求出一个长度为的区间，使；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）
2．已知函数为上的连续函数．
(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
(2)若，判断在上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
f（x）
-1
0.875
-0.2969
0.2246
-0.05151
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060
1
2
1.5
1.75
1.7656
1.7578
1.7617
－6
3
－2.625
－0.14063
0.035181
－0.05304
－0.0088