2026重庆市西北狼教育联盟高二上学期开学学情诊断数学试题含解析

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注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场／座位号、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；
必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 设 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的性质求出对应的点的坐标，由此即可求解.
【详解】 在复平面内对应的点为 ，其位于第四象限．
故选： ．
2. 已知向量 ， ，若 与 共线，则 （ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示，列方程即可求解.
【详解】因为向量 ， ， 与 共线，
所以 ，解得 ，
故选：D.
3. 在 中，角 对边分别为 ，若 ，那么 的面积为 （
）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】利用余弦定理建立方程求出 ，再利用三角形面积公式求解面积即可.
【详解】在 中，由余弦定理得 ，
解得 或 （舍去），
由三角形面积公式得 ，故 B 正确
故选：B
4. 高一某班 10 名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.
这组数据的第 75 百分位数是（ ）
A. 85 B. 86 C. 85.5 D. 86.5
【答案】B
【解析】
【分析】把数据从小到大的顺序排列，然后用百分位数的定义求解.
【详解】从小到大的顺序排列数据为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，
因为 ，
所以这组数据的 75 百分位数是第八个数据 86.
故选：B
【点睛】本题主要考查总体百分位数的估计，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
5. 已知 ， 是两个不同的平面， ， 为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为（ ）
A. 若 ， ， ，则
B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理进行判断即可．
【详解】解：因为 ， 是两个不同的平面， ， 为两条不重合的直线，
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对于 A：若 ， ， ，则 或 或 或 与 相交（不垂直），故 A 错
误；
对于 B：若 ， ， ，则 或 与 相交，故 B 错误；
对于 C：若 ， ， ，面面垂直的判定可知 ，故 C 正确；
对于 D：若 ， ， ，则 或 与 相交，故 D 错误；
故选：C
6. 如图，在正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设正方体的棱长为 2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线 与 所成的角即可．
【详解】解：设正方体的棱长为 2，如图所示建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，2， ， ，2， ，
则
所以
，
所以异面直线 与直线 所成角的余弦值为 ，
故选： ．
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7. 在 中， 是边 上的点，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，在 中，由余弦定理求出 ，利用平方关系求出 ，在 中再由
正弦定理可得答案.
【详解】设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，即 .
故选：A.
8. 如图，三棱锥 的底面 的斜二测直观图为 ，已知 底面 ， ，
， ，则三棱锥 外接球的表面积 为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据直观图还原实际图形，再利用补体法求三棱锥外接球的半径，即可求解.
【详解】由题意可知在斜二测直观图 中， ， ，
则 ， ， ，
由斜二测画法可得，在 中， ， ， .
在三棱锥 中，因为 底面 ，且 ，
所以可将三棱锥 补成相邻的三条侧棱分别为 6，4，8 的长方体，
则三棱锥 的外接球即为该长方体的外接球，
长方体的体对角线即为外接球的直径，则外接球的半径 ，
故三棱锥 外接球的表面积 .
故选：B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知向量 ， ，则（ ）
A. B. 若 ，则
C. D. 向量 在向量 上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】
【分析】借助模长公式可得 A；借助向量垂直数量积为零计算可得 B；借助向量坐标运算可得 C；借助投影
向量公式计算可得 D.
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【详解】对于 A： ，故 A 正确；
对于 B： ，
由 ，得 ，则 ，故 B 错误；
对于 C： ，故 C 正确；
对于 D：因为 ， ，
则向量 在向量 上的投影向量为 ，故 D 正确；
故选：ACD．
10. 有一组样本数据 1，2，3，4，5，现加入两个正整数 ， 构成新样本数据，与原样本数据比较，下列
说法正确的是（ ）
A. 若平均数不变，则 B. 若极差不变，则
C. 若 ，则中位数不变 D. 若 ，则方差不变
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平均数、极差、中位数和方差 定义判断.
【详解】若平均数不变，则 ，解得 ，故 A 正确；
当 时，极差不变，但 ，故 B 错；
若 ，则 为 或 或 ，每一种情况对应的中位数都是 3，故 C 正确；
原数据的平均数为 3，原数据的方差为 ，
新数据的平均数为 3，新数据的方差为
，当且仅当 时等号成立，所以方差有可能改变，故 D 错.
故选：AC.
11. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂
直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵 中，
，且 ．下列说法不正确的是（ ）
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A. 四棱锥 为“阳马”、四面体 为“鳖臑”
B. 若平面 与平面 的交线为 ，且 与 的中点分别为 M、N，则直线 CM、 、 相
交于一点
C. 四棱锥 体积的最大值为
D. 若 F 是线段 上一动点，则 AF 与 所成角的最大值为 90°
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析图中的平行垂直关系，按照“阳马”，“鳖臑”的定义判断，理解异面直线的夹角的最大值为
.
【详解】
由题意可知， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，四棱锥 是“阳马”，
又 ， 是直角三角形，显然 是直角三角形，
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是直角三角形， ，
∴ 也是直角三角形，∴四面体 是“鳖臑”，A 正确；
由题意可知，MN 是 的中位线， ，即 MN 与 共面，
，连接 CM 和 并延长，必交于一点 P，
则有 平面 ， 平面 ，平面 平面 =l，
，故 B 正确；
设 BC=m，AC=n，则有 ，
四棱锥 体积 ，
当且仅当 m=n 时成立，即四棱锥 的体积的最大值为 ，故 C 错误；
过点 A 作 的垂线，得垂足 H， 平面 ， 平面 ， ，
平面 ，即 ，
即当 F 点与 H 点重合时，异面直线 AF 与 的夹角 可以取到 ，故 D 正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读
大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”．已知高一、高二、高三报名人数分别为：100
人、150 人和 250 人．现采用分层抽样的方法，从三个年级中抽取 25 人组成校代表队参加市级比赛，则应
该从高一年级学生中抽取的人数为______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据分层抽样的性质运算求解.
【详解】根据题意可得：高一、高二、高三报名人数之比为 ，
故从高一年级学生中抽取的人数为 .
故答案为：5.
13. 如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在边 上，若 ，
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则 的值是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得 的坐标，进而可得向量的坐标，由数量积的坐标运算可得数
量积.
【详解】建立如图所示的坐标系，
由图可得 ， ， ， ，
，
即有 ．
即 ， ，
则
．
故答案为：2．
14. 已知锐角 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ， ，设 是
的高，则 的范围为______．
【答案】
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【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理可得 ，再由余弦定理以及基本不等式可得 AM 的最大值为 ，从
而得到结果.
【详解】由题意有： ，由正弦定理可得： ，
即 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
由余弦定理，有 ，
即 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
因为 ，
所以 ，所以 AM 的最大值为 ．
当 B 或 C 趋近于 时，AM 趋近于 ．
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数 ，且 为纯虚数.
（1）求复数 ；
（2）若复数 ，求复数 的模.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可；
（2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解.
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【小问 1 详解】
由题意得 ，
是纯虚数，
，
，
【小问 2 详解】
.
16. 为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动.为了解运动情况，企业工会从该企业职工中
随机抽取了 100 名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：
（1）求图中 的值；
（2）估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（3）若该企业恰好有 的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定
的“优秀运动者”达标线.
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）由频率和为 1 列式求解；
（2）（3）由频率分布直方图数据求解即可.
【小问 1 详解】
由频率分布直方图得 ，解得 ．
【小问 2 详解】
设平均数为 ，则 ．
所以该企业职工日均运动步数的平均数约为 9.08 千步．
【小问 3 详解】
日均运动步数在 的频率为 ，
日均运动步数在 的频率为 ，
日均运动步数在 的频率为 ，
所以达标线位于 内，则达标线为为 ，解得 ，
该企业制定的优秀强国运动者达标线是 千步.
17. 如图，在长方体 中， ， 和 交于点 E，F 为 AB 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）已知 与平面 所成角为 ，求点 A 到平面 CEF 的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
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【分析】（1）通过等体积法即可证明 即可证明线面平行；
（2）求出 和 的面积，即可求出点 A 到平面 CEF 的距离.
【小问 1 详解】
由题意证明如下，
连接 ， ， ．
在长方体 中， 且 ，
∴四边形 为平行四边形．
∴E 为 的中点，
在 中， E，F 分别为 和 AB 的中点，
∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
【小问 2 详解】
由题意，
与平面 所成角为 ．连接 ．
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∵长方体中 ，所以 ．所以 ．
∵长方体 中， 平面 ， 平面 ，
∴ ．
∴ 为直线 与平面 所成角，即 ．故
∴ 为等腰直角三角形，则 ．
在 中，
知 ．
在 中，
， ，
∴ ，
∴ ，
设点 A 到平面 CEF 的距离为 h．
由 知， ，得 ．
∴点 A 到平面 CEF 的距离为 1．
18. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ．
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（1）求角 B；
（2）如图， 的角平分线交 于点 D，且 ， ，
（i）求 的长度；
（ii）若 边上的中线 与 相交于点 F，求 的余弦值．
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出 即可得解.
（2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解 BD 的长度.
（ii）易知 为向量 的夹角，利用中线向量运算得 ，结合角平分线定理
利用向量线性运算得 ，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可.
【小问 1 详解】
在 中，由 及正弦定理，得 ，
即 ，
由余弦定理得 ，而 ，所以
【小问 2 详解】
（i）已知 的角平分线交 于点 D，则 ，
又在 中， ，即 ，
即 ，解得 .
（ii）因为 为 的中线，
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所以 ，
又 ，则 ，
因为 ， 为 的角平分线，
在 中，因为 ，得到 ①，
在 中，因为 ，得到 ②，
又 ，由① ②得到 ，
所以 ，
因为
，
所以 ，
即 的余弦值为 .
19. 正方形 中， ， 为 的中点， ， ．将 沿 翻折到
， 沿 翻折到 ，连接 ．
（1）求证： ：
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（2）当 时，求二面角 的正弦值；
（3）设直线 与平面 所成角为 ，问是否存在 ，使得 能取得最大值，若存在，
求出最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）不存在 ，使得 能取得最大值，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，即可求证.
（2）根据二面角的几何法可得 即为二面角 的平面角，即可由三角形的边角关系求解，
（3）理由等体积法求解点 到平面 的距离为 ，即可由线面角的定义求解 ，
由换元法，结合基本不等式取等条件得矛盾，即可求解.
【小问 1 详解】
由于 平面 ，
故 平面 ，
又 平面 ，
所以
【小问 2 详解】
过 作 于 ，连接 ,
由（1）知 , 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
故 ，
因此 即为二面角 的平面角，
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，则 为 中点，
，
由等面积法可得 ,解得 ，
中， ，
故二面角 的正弦值为 .
【小问 3 详解】
设点 到平面 的距离为 ，
由于 ，所以 ， ，
则 ，
因此 ，
所以 ，
，
由等体积法可得 ,所以 ，
由于直线 PM 与平面 AMN 所成角为 ，则 ，
，令 ，则 ，
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故 ，当且仅当 时取等号，此时 ，这
与 矛盾，故不存在 ，使得 能取得最大值，
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