2025-2026学年湖南省益阳一中高二（上）入学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年湖南省益阳一中高二（上）入学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=2i1−i，则复数z的模为( )
A. 2B. 2C. 1D. 0
2.关于向量a，b，下列命题中，正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a=bB. 若a//b，b//c，则a//c
C. 若|a|>|b|，则a>bD. 若a=−b，则a//b
3.已知sin(θ+π6)=2csθ，则tan2θ=( )
A. 33B. 3C. − 3D. 2 3
4.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50.从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是( )
A. 57B. 50C. 40D. 10
5.已知点A(1,0,0)，B(1,0,2)，C(1,1,1)，则点A到直线BC的距离是( )
A. 1B. 2C. 2 2D. 4
6.在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD中点，则直线AN与CM所成角的正弦值为( )
A. 53B. 33C. 23D. 63
7.如图，在△ABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，过点G作直线分别交AB，AC于点M，N，且AB=xAM,AC=yAN，则1x+1y的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 2
8.小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为14，不下雨的概率均为34，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为( )
A. 316B. 15128C. 39128D. 81256
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0,b>0)经过函数f(x)=lg3(x4−x)−2x−2+x−1图象的对称中心，则2a+1b的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知关于x的方程x2−3ax−3a=0(a∈R)的两个虚数根为x1，x2．
(1)求|x1|的取值范围；
(2)若|x1−x2|=1，求实数a的值．
16.(本小题15分)
△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A的大小；
(2)若AC边的中线为BE,BE= 72c,b=6，求BC边上的高的大小．
17.(本小题15分)
某校高一年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在[90,150]内的学生中抽取13名，则成绩在[130,150]的同学有几个？
(2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数；
(3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过8%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数．
18.(本小题17分)
如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD，EF//AD，AD=4，AB= 2，BC=EF=2，AF= 11，FB⊥平面ABCD，M为AD上一点，且FM⊥AD，连接BD、BE、BM．
(1)证明：BC⊥平面BFM；
(2)求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，定义向量OA=(m,n)为函数f(x)=msinx+ncsx的有序相伴向量．
(1)设ℎ(x)=2sin(x+π6)(x∈R)，写出函数ℎ(x)的有序相伴向量OM；
(2)若f(x)的有序相伴向量为OB=(0,2)，若函数ℎ(x)=f(x)+|sinx|，x∈[0,2π]，与直线y=k有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)若f(x)的有序相伴向量为OB=(m,0)，当函数f(x)在区间[a,b]上时值域为[a,b]，则称区间[a,b]为函数的“和谐区间”.当m=−2时，f(x)是否存在“和谐区间”？若存在，求出f(x)的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：z=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，
则|z|= (−1)2+12= 2．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
根据平面向量的定义以及性质，以及向量共线的定义逐一检验选项即可．
本题考查平面向量的概念与向量的模，考查向量共线问题，属于基础题．
【解答】
解：选项A，两个向量的模相等，但是方向不确定，所以不一定相等，A错误；
选项B，若b=0，则b与任意向量共线，而a与c的方向不确定，B错误；
选项C，两个向量不能比较大小，C错误；
选项D，若a=−b，则a/​/b，D正确．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：若sin(θ+π6)=2csθ，可得 32sinθ+12csθ=2csθ，
化简得 32sinθ−32csθ=0，∴tanθ= 3，
由二倍角公式得tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2 31−3=− 3．
故选：C．
利用两角和差公式，二倍角公式即可求值．
本题考查两角和差公式，考查二倍角公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：从随机数表第1行的第6个数字开始向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，
符合条件的编号有03，46，40，11，10，50，
所以得到的第6个样本编号是50．
故选：B．
利用随机数法的定义，按照题意依次读出前6个数即可．
本题主要考查了随机数法的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为点A(1,0,0)，B(1,0,2)，C(1,1,1)，
所以BC=OC−OB=(1,1,1)−(1,0,2)=(0,1,−1)，
则与BC−同方向的单位向量为e=(0, 22,− 22)，
又BA=(0,0,−2)，
所以点A到直线BC的距离是d= |BA|2−(BA⋅e)2= 4−[(−2)×(− 22)]2= 2．
故选：B．
先求与BC−同方向的单位向量和BA−的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得．
本题考查向量法的应用，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD中点，
可以把正四面体ABCD放置在一个正方体中，如图所示，
因为点M，N分别是棱AB，CD中点，
则在正方体中，M，N分别为上下底面正方形的对角线EF，CD的中点，
因为CD/​/EF，CD=EF，所以CN//ME，CN=ME，
所以四边形MENC为平行四边形，所以CM//EN，
则异面直线AN与CM所成角，即为直线AN与NE所成角，
设正方体的棱长为2，可得AE=2，
在直角△DEN中，可得NE= DE2+DN2= 22+( 2)2= 6，
在直角△AMN中，可得AN= AM2+MN2= ( 2)2+22= 6，
在△AEN中，可得cs∠ANE=AN2+NE2−AE22AN⋅NE=6+6−42 6× 6=23，
因为0