安徽省六安市独山中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份安徽省六安市独山中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
已知集合 M  {x∣2x 1  5}, N  {1, 2, 3} ，则 M ∩ N  （ ）
A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {3}D. 
下面命题中，正确的是（）
→→
若 a  b ， 则 a  b
→
→→
若 a  b ，则 a  b
若 a  0 ， 则 a  0
若 a  b则 a / /b
3x 1
函数 f (x) 1
的定义域为（）
{x | x   1}
3
{x | x  3}
{x | x   1
}
3
{x | x  3}
设sinα csα5 ，则sinα （）
3
2
222
2
1
1D. 1
34
不等式 x  4  2 的解集是（ ）
x 1
A. x 2  x  1
B. x x  2
C. x 2  x  1
D. x x  1
4.2
设 a  4.20.2，b  4.20.2，c  lg0.2 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
a  b  c
a  c  b
c  b  a
c  a  b
设 m，n 是两条不同的直线，α， β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 m / /α， n / /α，则 m // n
②若α/ /β， β/ /γ， m α则 m γ
③若 m α， n / /α，则 m  n
④若αγ， βγ，则α/ /β
其中正确命题的序号是（）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
设在ABC 中,角 A，B, C 所对的边分别为a，b, c , 若 b cs C  c cs B  a sin A , 则ABC 的形状为
（ ）
A 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定
二、多选题
已知复数 z  3  i ， i 为虚数单位， z 为 z 的共轭复数，则下列说法正确的有（）
2  i
z  1 i
5
z  i 
z4 是实数
z 在复平面上对应的点在第二象限
下列叙述中，正确的有（）
正弦定理的变式： sin A  sin B  sin C  1
abc2R
余弦定理： a2  b2  c2  2bc cs A
球体体积公式为：V球体
 4 πR3
3
棱台的体积公式为：V棱台
 1 sh 3
→
已知平面向量 a  1, 2, b  1, 3 ． a 与b 的夹角为θ，则（）
→→→
A. a//bB. a  a  b 
 22 
C. θ 45D. b 在a 上的投影向量为 1 ,  3 

三、填空题
已知圆锥的侧面积（单位： cm2 ） 为 2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径
（单位： cm ）是．
已知 m、l 是直线，α、β 是平面，给出下列命题：
①若 l 垂直于 α 内两条相交直线，则l α；
②若 l 平行于 α，则 l 平行于 α 内所有的直线；
③若 m α， l  β且l  m ，则α β；
④若l  β且l α，则α β；
⑤若 m α， l  β且α/ /β，则l // m ． 其中正确命题的序号是．
14. 设函数 f  x  
2x , x ∞,1
lg81 x, x 1, ∞
，若 f  x  1 ，则 x  ．
4
四、解答题
已知函数 f (x)  x  m 的图像过点(1, 3) ．
x
求实数m 的值；
判断函数的奇偶性并证明．
已知 a 是正实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数 y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求 a 的取值范
围．
2
如图，棱锥 P  ABCD 的底面 ABCD 是矩形， PA  平面 ABCD ， PA  AD  2, BD  2．
求证： BD ⊥平面 PAC ；
求平面 PCD 和平面 ABCD 夹角的余弦值的大小．
在V ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知sin2C 
（1）求C ；
3sinC .
3
（2）若b  4 ，且V ABC 的面积为2
，求V ABC 的周长.

已知函数 f (x)  2 sin x cs x3 cs x ．
442
求函数 f (x) 的最小正周期及最值；
令 g(x) 
f  x π ，判断函数 g(x) 的奇偶性，并说明理由．
3 

高二数学测试
一、单选题
已知集合 M  {x∣2x 1  5}, N  {1, 2, 3} ，则 M ∩ N  （ ）
A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {3}D. 
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合 M ，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为 M  x | 2x 1  5  x | x  3 ，所以 M  N   ，故选：D.
下面命题中，正确的是（）
→→
若 a  b ， 则 a  b
→
→→
若 a  b ，则 a  b
若 a  0 ， 则 a  0
若 a  b则 a / /b
【答案】D
【解析】
【分析】根据相等向量、零向量、平行向量的概念逐一判断即可.
→→
【详解】对 A， a  b ，但 a ， b 不一定同向，所以 a ， b 不一定相等，错误；
对 B，向量不能比较大小，错误；
→
对 C，若 a  0 ，则a  0 ，错误；
对 D，若 a  b ，则 a ， b 长度相等，且方向相同，所以 a / /b ，正确.
故选：D
函数 f (x) 
1
3x 1
的定义域为（）
{x | x   1}
3
{x | x  3}
{x | x   1
}
3
{x | x  3}
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数有意义求解即可.
【详解】由3x 1  0 ，得 x   1 ，
3
所以函数 f (x) 
1的定义域为{x | x   1 .
3x 1
}
3
故选：C.
设sinα csα5 ，则sinα （）
3
2
222
2
1
1D. 1
34
【答案】D
【解析】
【分析】将已知条件两边平方，利用同角三角函数基本关系和二倍角公式即可求出sinα的值.
2

αα25 
【详解】∵ sin 2  cs 2  2  ，

2 sin cs
∴ sin2 ααα cs2 α 1 sinα 5 ，∴ sinα 1 ．
222244
故选：D.
不等式 x  4  2 的解集是（ ）
x 1
A. x 2  x  1
B. x x  2
C. x 2  x  1
D. x x  1
【答案】C
【解析】
【分析】移项后通分，将其转化为一元二次不等式求解即得.
x  4
x  2
(x  2)(x 1)  0

【详解】不等式 x 1  2 化为 x 1  0 ，则x 1  0
，解得- 2 £ x < 1，
所以原不等式的解集为x 2  x  1 .
故选：C
4.2
设 a  4.20.2，b  4.20.2，c  lg0.2 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
a  b  c
【答案】D
【解析】
a  c  b
c  b  a
c  a  b
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为 y  4.2x 在R 上递增，且0.2  0  0.2 ，所以0  4.20.2  4.20  4.20.2 ，
所以0  4.20.2  1  4.20.2 ，即0  a  1  b ，
因为 y  lg4.2 x 在(0, ) 上递增，且0  0.2  1 ，所以lg4.2 0.2  lg4.2 1  0 ，即c  0 ，
所以c  a  b ，
故选：D
设 m，n 是两条不同的直线，α， β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 m / /α， n / /α，则 m // n
②若α/ /β， β/ /γ， m α则 m γ
③若 m α， n / /α，则 m  n
④若αγ， βγ，则α/ /β
其中正确命题的序号是（）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，结合线面垂直的性质，逐项分析判断即可．
【详解】对于①， m / /α且 n / /α成立， m, n 可能平行，异面或者相交，①错误； 对于②，由α/ /β且β/ /γ，得α/ /γ，又 m α，则 m γ，②正确；
对于③，由 n / /α，得存在过直线 n 与平面α相交的平面，令交线为l ，则 n / /l ， 而 m α，于是 m  l ， m  n ，③正确；
对于④，若αγ， βγ，α,β可能平行，也可能相交，④错误. 故选：B
设在ABC 中,角 A，B, C 所对的边分别为a，b, c , 若 b cs C  c cs B  a sin A , 则ABC 的形状为
（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定
【答案】B
【解析】
【 分析】 利用 正弦定理可得 sin  B  C   sin2 A ， 结合三角形 内角和定理与诱导公式可得
sin A  1, A  π，从而可得结果.
2
【详解】因为b cs C  c cs B  a sin A ，
所以由正弦定理可得sin B cs C  sin C cs B  sin2 A ，
sin  B  C   sin2 A  sin A  sin2 A ，所以sin A  1, A  π，所以是直角三角形.
2
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
二、多选题
已知复数 z  3  i ， i 为虚数单位， z 为 z 的共轭复数，则下列说法正确的有（）
2  i
z  1 i
5
z  i 
z4 是实数
z 在复平面上对应的点在第二象限
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据复数的除法运算公式，求出复数，根据共轭复数，复数的乘方，和复数与复平面内点的对应
关系，分别判断各选项正误.
【详解】 z 
3  i2  i
2  i2  i
5  5i
5
 1 i ，所以 z  1 i ，故 A 正确；
5
z  i  1 2i ，故 B 正确；
z4  (1 i)4  (1 i)2 2  (2i)2  4  R ，故 C 正确；
z  1 i 在复平面上对应的点(1, - 1) 在第四象限，故 D 错误.
故选：ABC.
下列叙述中，正确的有（）
正弦定理的变式： sin A  sin B  sin C  1
abc2R
余弦定理： a2  b2  c2  2bc cs A
球体体积公式为：V球体
 4 πR3
3
棱台的体积公式为：V棱台
 1 sh 3
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正余弦定理和球体和台体的体积公式即可判断.
【详解】
a
sin A
b
sin B
c
sin C
 2R ，则正弦定理的变式： sin A  sin B  sin C 
abc
1
，故 A 正确；
2R
a2  b2  c2  2bc cs A ，故 B 正确；
球体体积公式为：V  4πR3 ，故 C 正确；
S上S下

3
棱台的体积公式为：V  1 S
3上
 S下

h ，故 D 错误；
故选：ABC
→
已知平面向量 a  1, 2, b  1, 3 ． a 与b 的夹角为θ，则（）
→→→
A. a//bB. a  a  b 
 22 
C. θ 45D. b 在a 上的投影向量为 1 ,  3 

【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断.
【详解】对于 A，因为 1  2 ，即不存在实数λ使 a  λb ，所以a 与b 不共线，故 A 不正确；
13
→→
→→→
→→→
对于 B， a  b  1, 2  1, 3  2,1，a  a  b   12  21  0 ，所以 a  a  b  ，
故 B 正确；
2
11 23π
a
→  b
a
→  b
→
5  10
对于 C，因为csθ
2 ，θ0, π，所以θ
. 故 C 正确；
4
对于 D， b
a  b
→
在a 上的投影向量为 → 2
a
11 23
 →

a
5
1, 2  1, 2 .故D 不正确.
故选：BC
三、填空题
已知圆锥的侧面积（单位： cm2 ） 为 2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径
（单位： cm ）是．
【答案】1
【解析】
【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】设圆锥底面半径为 r ，母线长为l ，则
π r  l  2π
1，解得 r  1, l  2 .
2 π r   2 π l
2
故答案为：1
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
已知 m、l 是直线，α、β 是平面，给出下列命题：
①若 l 垂直于 α 内两条相交直线，则l α；
②若 l 平行于 α，则 l 平行于 α 内所有的直线；
③若 m α， l  β且l  m ，则α β；
④若l  β且l α，则α β；
⑤若 m α， l  β且α/ /β，则l // m ． 其中正确命题的序号是．
【答案】①④
【解析】
【分析】对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②⑤，可举出反例；对于③考虑α β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确．
【详解】对于①，由线面垂直的判断定理可知，若 l 垂直于 a 内的两条相交直线，则l α，故①正确，
对于②，若l / /α，如图 1，
可知， l 与 a 是异面关系，故②不正确，
对于③，若 m α， l  β且l  m ，无法得到l α，故无法得到α β，故③不正确， 对于④，根据面面垂直的判断定理可得，若l  β且l α，，则α β，故④正确，
对于⑤，如图 2，满足 m α， l  β且α/ /β，则l, m 异面，
故⑤不正确，
故正确命题的序号是 ①④．
故答案为：①④
2x , x ∞,11
 ∞
设函数 f  x  
lg81 x, x1,
，若 f  x  ，则 x  ．
4
【答案】3
【解析】
【分析】根据函数为分段函数，分段讨论即可.
【详解】当 x ,1时， f  x  2x  1  22 ，所以 x  2 ，不满足题意，
4
4
111
当 x 1, ∞ 时， f  x  lg81
x   x  814  34 4  3 ，所以 x  3 ，满足题意.
故答案为：3．
四、解答题
已知函数 f (x)  x  m 的图像过点(1, 3) ．
x
求实数m 的值；
判断函数的奇偶性并证明．
【答案】（1）2（2）奇函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入解析式求解，
（2）由奇函数的定义证明．
【小问 1 详解】
解：∵函数 f (x)  x  m 的图像过点(1, 3) ，
x
∴ 3  1 m ，∴ m  2 ；
【小问 2 详解】
证明：∵函数 f (x)  x  m 的定义域为{x | x  0}，
x
又 f (x)  x  2   f (x) ，
x
∴函数 f (x) 是奇函数．
已知 a 是正实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数 y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求 a 的取值范围．
【答案】1, 
【解析】
【详解】①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时
  4  8a(3  a)  0
  4  8a(3  a)  0

 f (1) f (1)  (a  5)(a 1)  0 或1   1  1

解得 1≤a≤5 或 a= 3 
2
2a
7 （舍）
②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时
a  0
  8a2  24a  4  0
{1   1  1 2a
f 1  0
f 1  0
解得 a  5 或 a< 3 
2
7 （舍）
综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数 a 的取值范围为[1, +∞)
2
如图，棱锥 P  ABCD 的底面 ABCD 是矩形， PA  平面 ABCD ， PA  AD  2, BD  2．
求证： BD ⊥平面 PAC ；
求平面 PCD 和平面 ABCD 夹角的余弦值的大小．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2） 2
2
【解析】
BD2  AD2
【分析】（1）求出 AB  2 ，得到底面 ABCD 是正方形，对角线互相垂直，进而证明出
线面垂直；（2）找到两平面的夹角的平面角，再进行求解.
【小问 1 详解】
2
因为 PA  平面 ABCD ，BD  平面 ABCD ，所以 PA⊥BD，因为 PA  AD  2, BD  2，底面
BD2  AD2
ABCD 是矩形，所以由勾股定理得： AB 
AC⊥BD，又 PA ∩ AC =A，所以 BD⊥平面 PAC.
 2 ，所以底面 ABCD 是正方形，所以
【小问 2 详解】
因为 PA⊥底面 ABCD，CD  平面 ABCD，所以 PA⊥CD，又 CD⊥AD，PA  AD  A ，所以 CD⊥平面 PAD，因为 PD  平面 PAD，所以 CD⊥PD，又因为 CD⊥AD，所以∠PDA 是平面 PCD 和平面 ABCD 的
夹角，由于 PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以cs PDA 
的夹角余弦值为 2 .
2
2 ，所以平面 PCD 与平面 ABCD
2
在V ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知sin2C 
（1）求C ；
3sinC .
3
（2）若b  4 ，且V ABC 的面积为2
【答案】（1） C  π
6
，求V ABC 的周长.
3
（2） 6  2.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式化简即可求得.
（2）利用面积公式和余弦定理即可求解.
【小问 1 详解】
由sin2C 
3sinC ，得2sinCcsC 
3sinC ，
在V ABC 中， sinC  0,csC 3 ，
2
在V ABC 中， C 0, π,C  π .
6
【小问 2 详解】
SV ABC
 1 absinC  1  a  4  1  2 3, a  2，
3
222
由余弦定理得c2  a2  b2  2abcsC  12 16  2  2 3  4 
3  4 ，
2
3
 c  2 ， a  b  c  2
3
V ABC 的周长为6  2
 4  2  6  2，
3
.

已知函数 f (x)  2 sin x cs x3 cs x ．
442
求函数 f (x) 的最小正周期及最值；
令 g(x) 
f  x π ，判断函数 g(x) 的奇偶性，并说明理由．
3 

【答案】（1） T  4π ，最大值为2 ，最小值为2
（2）偶函数，证明见解析
【解析】
 23 
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简得到 f (x)  2 sin  x  π  ，再利用周期公式和三角函数性

质求最值得到答案.
（2）代入计算得到 g(x)  2 cs x ，再根据奇偶函数的定义判断奇偶性.
2
【小问 1 详解】
f (x) 
xxxxx
 xπ 
2 sin cs 
44

3

T  2π  4π
3 cs  sin 
22
3 cs 2  2 sin  2   ，
故1，
2
当 x  π  π  2kπ,k  Z ，即 x  π  4kπ,k  Z 时，函数有最大值为2 ；
2323
当 x  π  3π  2kπ,k  Z ，即 x  7π  4kπ,k  Z时，函数有最小值为2 .
232
【小问 2 详解】
3
 x  π
g(x)  f  x π  2 sin 3  π   2 sin  x  π   2 cs x ，
3 23  22 2


g(x)  2 cs   x   2 cs x  g  x ，函数为偶函数.
2 2
