人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式练习题

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\l "_Tc26620" 【题型1 求两直线的交点坐标】 PAGEREF _Tc26620 \h 1
\l "_Tc18232" 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 PAGEREF _Tc18232 \h 3
\l "_Tc6229" 【题型3 由直线的交点求参数】 PAGEREF _Tc6229 \h 4
\l "_Tc4287" 【题型4 三线能围成三角形的问题】 PAGEREF _Tc4287 \h 6
\l "_Tc31667" 【题型5 两点间的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc31667 \h 8
\l "_Tc14319" 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc14319 \h 9
\l "_Tc24291" 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc24291 \h 11
\l "_Tc7742" 【题型8 与距离有关的最值问题】 PAGEREF _Tc7742 \h 12
【知识点1 两条直线的交点坐标】
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
【题型1 求两直线的交点坐标】
【例1】直线x+2y−4=0与直线2x−y+2=0的交点坐标是（ ）
A．(2,0)B．(2,1)
C．(0,2)D．(1,2)
【解题思路】解方程组x+2y−4=02x−y+2=0即可得解.
【解答过程】解方程组x+2y−4=02x−y+2=0得x=0y=2，即直线x+2y−4=0与直线2x−y+2=0的交点坐标是(0,2)．故选：C.
【变式1-1】直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是（ ）
A．(-9，-10)B．(-9，10)C．(9，10)D．(9，-10)
【解题思路】直接解方程组可得.
【解答过程】解方程组2x+y+8=0，x+y-1=0，得x=-9，y=10，即交点坐标是(-9，10)，故选：B.
【变式1-2】判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)直线l1:2x−3y+10=0,l2:3x+4y−2=0；
(2)直线l1:nx−y=n−1,l2:ny−x=2n．
【解题思路】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系；
（2）分类讨论n，解方程组可得答案.
【解答过程】（1）联立2x−3y+10=03x+4y−2=0，解得x=−2y=2，
所以两直线相交，交点坐标为(−2,2).
（2）当n=−1时，l1:x+y−2=0，l2:x+y−2=0，
联立x+y−2=0x+y−2=0，方程组有无数组解，故两直线重合，
当n=1时，l1:x−y=0，l2:x−y+2=0，
联立x−y=0x−y+2=0，方程组无解，故两直线平行，
当n≠±1，联立nx−y=n−1ny−x=2n，解得x=nn−1y=2n−1n−1，所以两直线相交，交点坐标为(nn−1,2n−1n−1).
综上所述：当n=−1时，两直线重合；当n=1时，两直线平行；当n≠±1时，两直线相交，交点坐标为(nn−1,2n−1n−1).
【变式1-3】判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【解题思路】两个直线方程列方程组求解，方程组有解即得交点坐标，方程组无解则两直线平行（有无数解，则两直线重合）．
【解答过程】（1）解方程组2x+y+3=0x−2y−1=0得x=−1y=−1所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).
（2）解方程组x+y+2=02x+2y+3=0①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.
所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2.
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【例2】过直线l1:x−2y+4=0与直线l2:x+y+1=0的交点，且过原点的直线方程为（ ）
A．2x−y=0B．2x+y=0C．x−2y=0D．x+2y=0
【解题思路】先求出直线l1:x−2y+4=0与直线l2:x+y+1=0的交点坐标，然后可得出答案
【解答过程】联立方程{x−2y+4=0x+y+1=0得x=−2,y=1，即l1与l2的交点为(−2,1)
又直线过原点所以此直线的方程为：x+2y=0故选：D.
【变式2-1】经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x−y=1的交点，且直线的一个方向向量v=(−3,2)的直线方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．2x+y−3=0
C．3x−2y−5=0D．2x+3y−5=0
【解题思路】先求出两直线的交点坐标，再利用直线的方向向量求出斜率，利用点斜式求出直线方程.
【解答过程】联立直线l1与l2，x+y=22x−y=1，解得：x=1y=1，所以直线l1：x+y=2，l2：2x−y=1的交点为1,1，
又直线的一个方向向量v=(−3,2)，所以直线的斜率为−23，故该直线方程为：y−1=−23x−1，即2x+3y−5=0
故选：D.
【变式2-2】过两直线x+y−3=0,2x−y=0的交点，且与直线y=13x平行的直线方程为（ ）
A．x+3y+5=0B．x+3y−5=0
C．x−3y+5=0 D．x−3y−5=0
【解题思路】先求出两直线交点，再由与直线y=13x平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.
【解答过程】由x+y−3=02x−y=0解得x=1y=2，则直线x+y−3=0,2x−y=0的交点1,2，
又直线y=13x的斜率为13，则所求直线方程为y−2=13x−1，整理得x−3y+5=0.故选：C.
【变式2-3】已知直线l1:x−y+1=0，l2:x−2=0，则过l1和l2的交点且与直线3x+4y−5=0垂直的直线方程为（ ）
A．3x−4y−1=0B．3x−4y+1=0
C．4x−3y−1=0D．4x−3y+1=0
【解题思路】由于所求出直线与直线3x+4y−5=0垂直，所以设所求直线为4x−3y+m=0，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出m，从而可求出直线方程
【解答过程】由于所求出直线与直线3x+4y−5=0垂直，所以设所求直线为4x−3y+m=0，
由x−y+1=0x−2=0，得x=2y=3，即l1和l2的交点为(2,3)，因为直线4x−3y+m=0过点(2,3)，
所以8−9+m=0，得m=1，所以所求直线方程为4x−3y+1=0，故选：D.
【题型3 由直线的交点求参数】
【例3】直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0相交，则实数k的值为（ ）
A．k≠1或k≠9B．k≠1或k≠−9C．k≠1或k≠9D．k≠1且k≠−9
【解题思路】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.
【解答过程】因直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0相交，则3(2k−3)−k[−(k+2)]≠0，即(k+9)(k−1)≠0，解得k≠1且k≠−9，所以实数k的值为k≠1且k≠−9.故选：D.
【变式3-1】已知直线mx+5y−3=0与x−3y+n=0互相垂直，且交点为p,1，则m+n+p=（ ）
A．24B．20C．18D．10
【解题思路】首先根据两条直线垂直求m，再根据两条直线过交点p,1，代入后分别求p,n.
【解答过程】因为两直线互相垂直，所以m+5×−3=0，得m=15，直线为15x+5y−3=0，代入交点p,1，得15p+5−3=0，p=−215，再将交点−215,1代入直线x−3y+n=0，即−215−3+n=0，得n=3+215=4715，所以m+n+p=18.故选：C.
【变式3-2】若直线kx−y=k−1与直线ky−x=2k相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（ ）
A．k>1B．k