（人教A版）选择性必修一数学高二上学期期中复习【第二章 直线和圆的方程】十大题型归纳（拔尖篇）（2份，原卷版+解析版）

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1．已知A2,−3、B2,1，若直线l经过点P0,−1，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ）
A．−∞,−2∪2,+∞B．−2,2
C．−∞,−1∪1,+∞D．−1,1
【解题思路】作出图形，数形结合可得出直线l的斜率的取值范围.
【解答过程】过点P作PC⊥AB，垂足为点C，如图所示：
设直线l交线段AB于点M，设直线l的斜率为k，且kPA=−1+30−2=−1，kPB=1+12−0=1，
当点M在从点A运动到点C（不包括点C）时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时−1=kPA≤k0
令y=0，得x2+Dx+F=0，则x1+x2=−D，
令x=0，得y2+Ey+F=0，则y1+y2=−E，
∵圆M在两坐标轴上的四个截距之和是6，∴D+E=−6，
∵圆过A2,4，B5,1两点，
∴将A,B代入方程得4+16+2D+4E+F=025+1+5D+E+F=0，即2D+4E+F=−205D+E+F=−26，
解得：D=−4,E=−2,F=−4，故得圆M:x2+y2−4x−2y−4=0，
∴圆M的标准方程为x−22+y−12=9.
（2）由（1）得圆M的圆心为M2,1，半径r=3，过点P−1,5斜率为0的直线方程为y=5，
直线y=5与圆x−22+y−12=9没有交点，不是圆M的切线，
不妨设过P−1,5的圆的切线l的方程为x=ty−5−1，即x−ty+5t+1=0，
则d=2−t+5t+1t2+1=3，整理得7t2+24t=0，解得t=0或t=−247，
故切线l方程为x=−1或7x+24y−113=0.又PM2=2+12+1−52=25，
则四边形PEMF的面积S=2S△PEM=2×12×PE⋅EM=PM2−r2×r=25−9×3=12.
4．已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1），圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
（1）求过点P的圆C的切线方程；
（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【解题思路】（1）确定点P在圆上，P为切点，由切线与过切点的半径垂直求出切线斜率，得切线方程；
（2）确定点M在圆外，先考虑斜率不存在的直线是切线，在斜率存在时，设斜率为k，写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求得k值，得切线方程．切线长用勾股定理求解．
【解答过程】由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
（1）∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P在圆C上．
又kPC＝2−2−22+1−1＝－1，∴切线的斜率k＝－1kPC＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝x－(2＋1)，即x－y＋1－22＝0.
（2）∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝k−2+1−3kk2+1＝r＝2，解得k＝34.
∴切线方程为y－1＝34(x－3），即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝(3−1)2+(1−2)2=5，
∴过点M的圆C的切线长为MC2−r2=5−4=1.
题型8
求圆的弦长与中点弦
1．已知P(2,2)，圆C1:(x−1)2+y2=5，圆C2:(x−3)2+(y+1)2=9， 若直线l过点P且与圆C1相切，则直线l被圆C2所截得的弦长为（ ）
A．4B．25C．6D．8
【解题思路】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】设直线l的方程为y−2=kx−2，由直线与圆C1相切，则k−21+k2=5，
解得4k2+4k+1=0，即k=−12，即直线l的方程为x+2y−6=0，
又圆C2的圆心坐标为3,−1，半径为3，圆C2圆心到直线距离为3−2−65=5，
则直线l被圆C2所截弦长为232−52=4.故选：A.
2．已知过坐标原点的直线l与圆C:(x−6)2+(y+8)2=125相交于M，N两点，当线段MN的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（ ）
A．12B．13C．25D．26
【解题思路】确定圆心和半径，求得MN的长的最小值和最大值，确定满足题意的所有整数值的个数，结合圆的对称性，即可确定答案.
【解答过程】由题意知C:(x−6)2+(y+8)2=125的圆心为A(6,−8)，半径为55，
当直线l经过圆心A(6,−8)时，MN最长，此时|MN|=105；
当直线l与圆心和原点的连线OA垂直时，MN最短，
此时|OA|=62+(−8)2=10，|MN|=2125−102=10；故|MN|的范围为[10,105]，
由于2.2