山西省临汾市第一中学校2025_2026学年高二上学期开学考试数学试卷[含解析]

这是一份山西省临汾市第一中学校2025_2026学年高二上学期开学考试数学试卷[含解析]，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I部分（选择题共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可.
【详解】因为复数满足，
因此，复数的虚部为.
故选:D.
2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断．
【详解】由，结合的函数图象，
直线对应的倾斜角为钝角，则，
直线与都为锐角，且倾斜角大于的倾斜角，
则，故．
故选：B
3. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A. 57B. 50C. 40D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可.
【详解】从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，
符合条件的编号有03，46，40，11，10，50，所以选出来的第6个个体的编号为50.
故选：B.
4. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数，然后根据充分、必要性判断即可.
【详解】向量，，若，则，即，
解得或，故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
5. 若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据即可求出结果.
【详解】据题意，得，所以.
【点睛】本题考查圆的一般方程，属于基础题型.
6. 如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】利用空间向量基本定理，得到答案.
【详解】，点为中点，
.
故选：D
7. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长，即可求解．
【详解】在中，，
所以
所以，
由正弦定理，
可得，
在直角中，因为
所以，
即塔高为．
故选：C．
8. 已知三棱锥各条棱均相等，P，Q分别为棱，的中点，则直线和直线所成角的大小为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，连接、，或其补角即为 直线和直线所成的角，然后利用，，可得，结合，即可求解.
【详解】
如图取的中点，连接，因为点P棱的中点，所以，
所以或其补角即为直线和直线所成的角，
连接，Q为棱的中点，所以，
取的中点，连接、 则，，
又因为，平面，所以，
所以，且
所以是等腰直角三角形，
所以
故选：B
【点睛】本题主要考查了求异面直线所成的角，属于基础题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若事件与事件是互斥事件，则
C. 若事件与事件相互独立，则
D. 若，则事件与事件相互独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对立事件可判断A；根据互斥事件和独立事件的概率公式即可判断BCD.
【详解】，故A正确；
因为事件与事件是互斥事件，所以，故B错误；
若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，
所以，故C正确；
因为，所以，
所以事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，故D正确．
故选：ACD．
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递减
C. 直线为的一条对称轴
D. 若为偶函数，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象得到，然后根据正弦型函数的性质进行逐一判断.
【详解】由图可知：，，则，
当时，函数取得最大值，所以，又，所以
所以.
对A，的最小正周期为，正确；
对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误；
对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确；
对D，为偶函数，所以，故正确.
故选：ACD.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是（ ）
A. 若平面，则最小值为
B. 若平面，则，
C. 若，则P到平面的距离为
D. 若，时，直线与平面所成角为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间向量法计算线面平行结合基本不等式计算判断A，应用线面垂直的向量表示计算判断B，根据点到平面距离公式计算求解判断C，应用线面角公式计算判断D.
【详解】如图，以点D为坐标原点，以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则有，，，，，，，，，
则，，，
对于A：，，．
设平面的一个法向量为，则有，令，则，故．
因为，平面，
所以，得，又因为，，所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故A正确；
对于B：，则，
若平面，则有，即，
解得，，故B错误；
对于C：若，则，则到平面的距离为，故C正确；
对于D：，当，时，，
则，
当时，，
当时，，
当且仅当时，等号成立，故，即，故D正确．
故选：ACD.
第Ⅱ部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线，直线，若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】由两条直线平行列式计算即可.
【详解】若，则，解得，
检验，当时，，，
此时成立，符合题意，故.
故答案为：.
13. 在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则____________.

【答案】
【解析】
【分析】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.”，故只需求出，再结合数量积的运算律.
【详解】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.”
正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则，解得，
则.
故答案为：.
14. 已知正四棱台高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正四棱台的结构特征和性质求出球的半径，进而可求出球的表面积.
【详解】
设正四棱台上、下底面所在截面圆的半径为，则，
若球心到上底面距离为，球体半径为，则球心到下底面距离为，
所以，可得，则，
所以球体的表面积为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
15. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值；
（2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值；
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可
【详解】（1）由，解得.
（2）这组数据的平均数为.
中位数设为，则，解得.
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，
记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，
从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，，
所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，
所以 .
16. 已知直线经过点.
（1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程；
（2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解；
（2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解.
【小问1详解】
由题意知，的斜率存在且不为0，
设斜率为，则的点斜式方程为，
则它在两坐标轴上截距分别为和，
所以，解得（此时直线过原点，舍去）或，
所以的点斜式方程为，即；
【小问2详解】
由（1）知，，，
所以的面积，
当且仅当即时，等号成立，
的点斜式方程为，
所以的斜截式方程为.
17. 在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由.
【答案】（1）
（2）相交，
【解析】
【分析】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程；
（2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长.
【小问1详解】
因，则线段的中点的坐标为，
且直线的斜率,
于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,
则由，解得，
∴圆心，半径,
∴圆的方程为；
【小问2详解】
由圆得：
∴ 圆心，半径，
∵ 圆的圆心坐标为，半径，
由，，
因 ，故圆与圆相交 ；
设圆与圆的两个交点分别为点，如图，
由左右分别相减，整理得,
∴直线的方程为,
∴ 圆心到直线的距离 ,
∴，
综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求A；
（2）若D为中点，且，求的周长；
（3）若是锐角三角形，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再化简即可得到角A；
（2）由题意可得，将两边平方结合向量的数量积可得，再利用余弦定理得求得，进而得到周长；
（3）由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，
即，
所以，
所以，因为，所以，
所以，得，由，得；
【小问2详解】
因为D为中点，所以，
则，
所以，解得（舍）或，
由余弦定理得，所以，
所以的周长为；
【小问3详解】
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
根据题意得，解得，
所以，所以，所以，
所以，
所以的取值范围是.
19. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．
（1）求证：；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可证明；
（2）取的中点，以直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，令，，由二面角的向量公式求得，即可求解.
【小问1详解】
由于平面平面，平面平面，
又且平面，平面.
平面，.
【小问2详解】
取的中点，连接，，由为等边三角形，可得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，得，
由且得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线、、两两垂直，
以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
则，，，
令，，
，
设平面的法向量为，则，
取，得，
易知平面的一个法向量为，
于是，
化简得，又，故解得，即，
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时.