数学拓展模块一（上册）椭圆课文课件ppt

这是一份数学拓展模块一（上册）椭圆课文课件ppt，共44页。PPT课件主要包含了椭圆的标准方程，椭圆的几何性质等内容，欢迎下载使用。
中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一, 它位于人民大会堂的西侧．观察上图, 国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？
可以看出, 图中的轮廓线是一条优美的封闭曲线, 我们称之为椭圆．那么, 如何画出一个椭圆呢？
我们可以通过一个实验来完成．
（1）准备一个画板、一条定长的细绳、两枚图钉和一支笔;
（2）将两枚图钉钉入画板, 使两钉距离小于绳长．用F1 和F2表示这两枚图钉的位置，再将绳子的两端固定在画板上的F1 和F2两点;
（3）用笔尖将细绳拉紧, 保持笔杆与画板垂直, 笔尖在画板上慢慢移动, 可画出半个椭圆, 类似地可画出另一半椭圆, 于是就画出一个椭圆, 如图所示．
一般地, 把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于| F1F2|)的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点, 两焦点间的距离称为椭圆的焦距．
显然, 笔尖(即点M )移动时, 细绳的长度保持不变, 即笔尖到两个定点F1 和F2的距离之和始终等于绳长(常数)．
1970年4月24日, 我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”顺利升空, 开创了中国航天史的新纪元, 使我国成为全球第五个独立研制并发射人造地球卫星的国家．如图所示, 它的预定运行轨道是以半径约为6 371 km的地球的中心 F1为一个焦点的椭圆, 近地点A 距离地球 441km, 远地点B距离地球2 368 km．那么, 如何求出这颗卫星预定运行轨道的椭圆方程呢？
  我们知道, 通过建立合适的平面直角坐标系, 可以求出直线和圆的方程．那么, 是否可以建立恰当的平面直角坐标系来求出椭圆的方程呢？
容易看出, 椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形．因此, 以经过椭圆两焦点F1 、F2的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系, 如图所示．
设椭圆焦距为2c(c>0), 则焦点F1 、F2的坐标分别为(-c, 0)、(c, 0) ．
两边再平方, 整理得a4+c²x²= a²x²+a²c²+ a²y² ,
移项并整理得 (a²-c²) x²+a²y²= a² (a²-c²) ．
由椭圆的定义可知, 2a>2c>0, 即a>c>0, 所以a²-c² >0．
令a²-c² = b² (b>0), 则上式可化为 b²x²+a²y²= a²b² ．
解（1）由于2c=6, 2a=10, 故c=3, a=5, 从而b²=a²-c²=16.
例2 求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程．
于是有 c²=a²-b²=2．
于是有 c²=a²-b²=4-3=1．
因为4>3, 所以椭圆的焦点在 y 轴上, 并且a²=4, b²=3．
要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上, 可将椭圆方程化为标准方程．然后观察标准方程中含x2项与含y2项的分母, 哪项的分母大, 焦点就在哪个坐标轴上．
解 由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a(a>0), 其中|PF1|=6 ．
又由椭圆的标准方程知, a²=100, a=10．于是有 6+|PF2|=2a=20, 即 |PF2|=14．
2．已知椭圆的焦距为8, 椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．
在基础模块, 我们利用直线和圆的标准方程得到了圆的性质, 是否可以利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质呢？
这说明, 椭圆位于四条直线x=-a, x=a, y=-b, y=b所围成的矩形之内, 如图所示．
在椭圆的标准方程中, 将y换成-y, 方程不变．这说明, 当点P(x, y)在椭圆上时, 其关于x轴的对称点 P1(x, -y)也在椭圆上．因此, 椭圆关于x轴对称．
同理, 将x换成-x, 方程不变．这说明, 当点P(x, y)在椭圆上时, 其关于y轴的对称点P2(-x, y)也在椭圆上．因此, 椭圆关于y轴对称．  进一步, 将x换成-x, 同时y换成-y, 方程不变．这说明, 当点P(x,y)在椭圆上时, 其关于原点的对称点P3(-x, -y)也在椭圆上．因此, 椭圆关于原点对称．
综上所述, 椭圆既关于 x 轴对称, 又关于 y 轴对称, 也关于坐标原点对称．x轴与 y 轴都称为椭圆的对称轴, 坐标原点称为椭圆的对称中心(简称中心)．
椭圆与它的对称轴的四个交点A1、 A2、 B1、B2, 称为椭圆的顶点．线段A1A2和B1B2分别称为椭圆的长轴和短轴, 它们的长分别为2a和2b．a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长．显然, 椭圆的焦点在它的长轴上．
值得注意的是, 由于a、b、c满足关系式b²+c²=a², 故长度分别为a、b、c的三条线段构成一个直角三角形．观察上图, 可知 |OB1|=|OB2|=b, |OF1|=|OF2|=c, |B2F1|=|B2F2|=a, 故有 |OB2|²+|OF2|²=|B2F2|² ．
因此, Rt△F2OB2(或Rt△ F1OB1)直观地反映了椭圆的标准方程中a、b、c三者之间的关系．
同样, 可以得到椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴及离心率等基本性质．
为什么油罐车的储油罐、洒水车的储水箱一般设计为椭圆的形状？
例5 求椭圆16x²+25y²=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标．
求椭圆的标准方程时, 如果椭圆的交点位置不明确, 应分别就焦点在x轴和y 轴上两种情形进行讨论．
分析 由于椭圆具有对称性, 一般只需先画出椭圆在第一象限内的图像, 然后利用对称性, 画出全部图像．
以表中的 x 值为横坐标, 对应的 y 值为纵坐标, 在平面直角坐标系中依次描出相应的点(x, y), 用光滑的曲线顺次链接各点, 得到椭圆在第一象限内的图像．然后利用椭圆的对称性, 画出全部图像．
（1）由a²=25, 得a=5, 则得到椭圆的两个顶点A1(-5, 0)、 A2(5, 0); （2）由b²=9, 得b=3, 则得到椭圆的另外两个顶点B1(0, -3)、B2(0, 3) ;   （3）依据椭圆的图形特征, 用光滑的曲线连接四个点, 则椭圆的大致图像就画好了．
我们可以利用椭圆的顶点和对称性画出大致图像．具体步骤如下：
1．求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点和顶点的坐标． （1）  x²+9y²=81; （2） 9x²+4y²=36 ．
4．如图所示, 一个椭圆形溜冰场的长轴的两端A1, A2到焦点F2的距离分别为40m和10m, 求这个椭圆的标准方程和两个焦点 F1, F2 的坐标．