福建省晋江市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）-A4

这是一份福建省晋江市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分 考试时间：120分钟）
命题：黄美青 审核：姚立宏
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C D.
4. 已知直线与直线平行，则与之间距离为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点．则（ ）
A. B. 2C. D.
6. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰直角三角形，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 向量与向量的夹角为B.
C. 向量在向量上的投影向量为D. 向量与向量，共面
10. 已知直线：，圆：，以下正确的是（ ）
A. 与圆不一定存在公共点
B. 圆心到最大距离为
C. 当与圆相交时，
D. 当时，圆上有三个点到的距离为
11. 已知双曲线一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，下列判断正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 的离心率为
C. 若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为
D. 若点为的上支上的一点，则△的内切圆的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_________．
13. 过双曲线的两个焦点分别作实轴的垂线，交于四个点，若这四个点恰为一个正方形的顶点，则的离心率为__________.
14. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为___________.
四、解答题：本题共5小题，77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点.
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程.
16. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C
（1）求C的方程；
（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
18. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．
①求直线与直线所成角的余弦值；
②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．
19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.