南昌县莲塘第一中学2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份南昌县莲塘第一中学2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（ ）
A．2根小分支
B．3根小分支
C．4根小分支
D．5根小分支
3．在⊙中，点在圆上，，则为（ ）
A．B．C．D．
4．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
5．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接．若点，，在同一条直线上，则的长为（ ）
A．B．C．D．3
6．一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（ ）
A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（﹣3，27）D．（3，27）
7．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
8．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（ ）
A．4B．C．6D．
10．如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是 ．
12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（，1），将OA绕原点逆时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为 ．
13．如图，将等边绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得，的中点E的对应点为F，则的度数是 ．
14．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ．
15．如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为 ．

16．如图，已知的半径为4，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的横坐标为 ．
三、解答题
17．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得∥，求的度数．
18．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
若为正整数，求此方程的根．
设此方程的两个实数根为、，若，求的取值范围．
19．如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
20．已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连结、．
(1)求证：；
(2)求证：．
21．在平面直角坐标系中，点O为坐标的原点，抛物线交x轴于A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求b、c的值；
(2)如图，点C为该抛物线的顶点，连接，点P在的延长线上，连接，设点P的横坐标为t，的面积为s，求s与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
22．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．
（1）求△ADE的周长的最小值；
（2）若CD=4，求AE的长度．
23．如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
(3)在（）的条件下，如图，若是线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，①求证：是的切线；②连接，如图，求的最小值．
《江西省南昌市南昌县莲塘第一中学青菏班2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题》参考答案
1．D
解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．B
设每个支干长出x个分支，
根据题意得
1+x+x•x=13，
整理得x2+x-12=0，
解得x1=3，x2=-4（不符合题意舍去），
即每个支干长出3个分支.
故应选B.
3．C
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：C．
4．C
解：根据题意，作图1和图2，连接．
如图1、是直径，，
，
圆的半径为，
在中利用勾股定理，得，
，
在中利用勾股定理，得；
如图2、，
，
在中利用勾股定理，得．
综上，的长为或．
故选：C．
5．D
解：在中，，，
∴．
由旋转知，．
∵点，，在同一条直线上，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，，
故选：D．
6．D
∵一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，
∴32+3b+c=0，
∴3b+c=-9，
∴当x=3时，y=2×32-3b-c=18-（3b+c）=18-（-9）=18+9=27，
∴二次函数y=2x2-bx-c的图象必过点（3，27），
故选D．
7．B
解：，
，
解得，
的半径是，
，
直线与的位置关系是相交．
故选B．
8．D
解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示：
由切线长定理可知：，，，，，
，，
，，
，
故选：D．
9．B
解：过点O作，连接，
，
∵是的直径，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中
，
∵，
∴，
故选B．
10．B
解：作的中点，连接、．
在直角中，，
是直角斜边上的中点，
．
是的中点，是的中点，
．
在中，，
即．
故选：B
11．x1=﹣1，x2=﹣3．
令2x+3=t,则方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0化为t2+2t﹣3=0,
解得：t=1或-3,即2x+3=1或2x+3=-3
解得：x1=﹣1，x2=﹣3．
12．（﹣1，）
【分析】根据旋转的性质可知△OCA≌△ODB,进而得OD=,BD=1,即可解题.
【详解】解：如下图,由旋转的性质可知,
△OCA≌△ODB,
∵A的坐标为（，1），
∴OC=,AC=1,
∴OD=,BD=1,
∴B的坐标为（﹣1，）
13．
∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，
∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EAF的度数为：60°．
故答案为：60°．
14．
解：如图所示，连接，
∵是直角三角形的内切圆，点为切点，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形形是正方形，
∴，
∵点为切点，
∴，，
设的半径为，则，
∴，
∴，
∴，，
∴的面积，
故答案为：．
15．/115度
解：如图，点O为外圈所对的圆心，连接、、，

由题意得，，，
由圆周角定理可知，，，
∴，
故答案为：．
16．或或0
解：与轴相切，
点的纵坐标的绝对值为4，
当时，，解得，
当时，，解得，
圆心的横坐标为：或或0．
故答案为：或或0．
17．，理由见解析．
解：∵∥且，
∴，
∵绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
在中根据内角和定理即可得，
∴，
∴．
18． ． 的取值范围为．
解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴△=≥0，∴m≤1．
∵m为正整数，∴m=1．
当m=1时，此方程为，∴此方程的根为．
（2）∵此方程的两个实数根为a、b，∴，∴y=ab﹣2b2+2b+1=ab﹣2（b2﹣b）+1==．
解法一：∵m=（y﹣1）．
又∵m≤1，∴m=（y﹣1）≤1，∴y的取值范围为y≤．
解法二：
∵m≤1，∴≤，∴≤，∴y的取值范围为y≤．
19．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点作于点H，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：平分，
，
，
；
（2）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
21．(1)，
(2)
（1）解：∵抛物线交轴于、两点，点的坐标为，点的坐标为
∴
解得：
∴，．
（2）解：由（1）可知二次函数
∴，
∵点的坐标为，点的坐标为
∴，
设的解析式为
则
解得：
则的解析式为，
∴，
∴．
22．（1）6+；（2）3﹣或3+
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3
∴AB=AC=6，
∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE，
∴当DE最小时，△ADE的周长最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3，
∴△ADE的周长的最小值是6+3；
（2）当点D在CF的右侧，
∵CF=AB=3，CD=4，
∴DF=，
∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣；
当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+，
综上所述：AE的长度为3﹣或3+．
23．(1)为等腰直角三角形，证明见解析
(2)
(3)①证明见解析；②
（1）解：为等腰直角三角形．
证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴；
（3）①证明：∵为等腰直角三角形，
∴，
由旋转可得，，
∴，
即，
∵为的直径，
∴是的切线；
②由旋转可得，，
∴，，
∴，
即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
当时，最短，此时点和圆心重合，即的最小值等于圆的半径，
∴的最小值为．