江西省南昌县莲塘第一中学2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份江西省南昌县莲塘第一中学2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上册第一章第1节～第二章第4节
说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．
1．若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为（ ）
A．1B．C．0D．2
2．一元二次方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
3．图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，菱形的顶点的坐标分别为，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( )
A．若，则四边形是正方形
B．若，则四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
6．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．已知是方程的一个根，则实数的值是 ．
8．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为 ．
9．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
10．如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为 ．
11．一元二次方程配方为，则k的值是 ．
12．如图，在菱形中，E为对角线上的一动点，， ，当为等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解方程：．
（2）如图，矩形的对角线相交于点O，若，求的度数．
14．如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的和，求的长．
15．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．
解一元二次方程：
解：原方程可以化为：第一步
两边同时除以得：第二步
系数化为1，得：第三步
任务：
(1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误；
(2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．
16．如图，E是矩形的边上的中点，现仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图1中，画一个以点E为顶点的等腰三角形．
(2)在图2中，画AD的中点F．
17．如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，求原正方形空地的边长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知菱形的两条对角线分别为和．
(1)用含的代数式表示菱形的面积．
(2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求此时菱形的面积．
19．我们规定：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：
(1)已知，求x的值．
(2)已知关于x的方程的一个根为2，求方程的另一个根．
20．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，．
(1)求证：四边形内部框架为菱形．
(2)若，为的中点，，求四边形的周长．
22．已知关于x的方程可以变形为的形式．
下面通过列表探究的变形：
(1)依据表格解答：
①求表格中t的值．
②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系．
(2)记的两种变形为和，求的值．
六、解答题（本大题共12分）
23．如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在AD下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点．
(1)如图1，当三角板的一条直角边交AB于点,另一条直角边交于点时，求证： ．
(2)如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交CD边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由．
(3)在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长．
变形
m
n
P
1．A
解：∵方程是一元二次方程，
∴，则，
故选：A．
2．D
解：，
∴，
∴，，
故选：D
3．B
解：∵正方形的对角线与相交于点O，
∴
∴，
故选项正确；选项B错误；
故选B．
4．B
解：∵菱形的顶点的坐标分别为，
∴，，
∴顶点D的坐标为．
故选：B．
5．D
解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；
B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；
C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；
D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；
故选：D．
6．C
∵，
∴，
∵关于的一元二次方程有一根为，
∴有一根为，
解得，
∴一元二次方程必有一根为，
故选：．
7．
解：∵是方程的一个根，
∴
解得：，
故答案为：．
8．##40度
解：延长交于点G，如图所示：
∵，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
9．##
解：∵关于的一元二次方程没有实数根，且，
∴，即，
故答案为：．
10．
解：过点作于，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．１
解：
∴
故答案为：1．
12．或或
解：菱形中，，为菱形的对角线，
，，
连接，交于点，
，
，
，
，
，
为等腰三角形时，
①当时，即点与点重合，
，
②当时，，
③当时，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（不合题意，舍去），
，
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
13．（1）；（2）
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
14．
解：由题意可知，，
又∵，且为边的中点，
∴，
∴的长为．
15．(1)二
(2)或，过程见解析
（1）解：他从第二步开始出现了错误，
故答案为：二；
（2）解：
或，
解得：或．
16．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图1所示，连接，DE，
四边形是矩形，
，
点E是的中点，
，
，
是以点E为顶点的等腰三角形；
（2）解：如图2所示，点F为所求．
连接交于点O，连接并延长交AD于点F，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
点E是的中点，
，
，
点F为AD的中点．
17．
解：设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形，
根据题意得，，
整理得，，
解得（不合题意，舍去），
答：原正方形空地的边长为．
18．(1)
(2)
（1）解：菱形的面积
（2）解：由题意得：，
即：，
∴，
∴菱形的面积
19．(1)，
(2)
（1）解：∵，
∴，
整理得：，
解得：，；
（2）解：∵，
∴，
∵的一个根为，
将代入，得，
解得：，
则，即，
解得：，；
∴方程的另一个根为．
20．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵是中边上的中线，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵为等腰直角三角形，，为中线，
∴，，
∴平行四边形是正方形．
21．(1)见解析；
(2)24．
解：（1）证明： ∵四边形是菱形，
∴，．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（2） ∵，
∴是直角三角形．
∵为的中点，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵．
∴．
∴，
∴．
∵四边形为菱形．
∴．
在中，，
∴
∴（负值舍去）．
∵四边形为菱形，
∴菱形的周长为．
22．(1)①；②
(2)
（1）解：①∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7；
②，，，，
为一次项系数的相反数，
，
故答案为：；
（2）解：由可得，
由可得，
∴，，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)或
（1）证明：∵四边形为矩形，分别为边上的中点，
∴四边形为矩形，
∵，分别为边上的中点，
∴
∴四边形为正方形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
（2）证明：∵
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：∵，，
∴，
∴，
若点落在靠近点的三等分点，则,
∴，
∴，
∴；
若点落在靠近点的三等分点，则,
∴，
∴，
∴；
综上所述：或