贵州省遵义市第四中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份贵州省遵义市第四中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．“五一”期间，某景点接待海内外游客共688000人次，688000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
2．在中，，于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2019年9月到2020年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
4．如图，以点为圆心，为直径的半圆经过点，若为弧的中点，若，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．B．C．2D．
5．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若的面积为，那么折叠的的面积为（ ）
A．30B．20C．D．
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于（ ）
A．1米B．米C．2米D．米
7．要使式子有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，等边的边经过原点O，且顶点A、B都在的图象上，顶点C在的图象上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．若方程恰有三个解，则所有符合条件的a之和为 ．
10．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若，，四边形AEPH的面积，则四边形PFCG的面积为 ．

11．已知A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限，已知点C的位置始终在一函数图象上运动，则这函数解析式是 .
12．如图，等腰中，，，按以下步骤作图：

①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；
②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
③作射线交于点；
④分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点；
⑤作直线交于点．
点在上，若，则线段的长为 ．
13．五个互不相等自然数的平均数是15，中位数是18，则这五个数中最大数的最大值为 .
14．如图，四边形为矩形，点在第二象限，点关于的对称点为点，点都在函数的图像上，轴于点.若的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，的值为 ；点的坐标为 .
15．已知pq为实数，且满足，那么的最大值为 ．
16．如图，直线交双曲线于点P，交x轴、y轴于点A、B，且，，若，则k值为 ．
17．将矩形纸片按如下步骤折叠：

图1 图2
第一步：如图1，沿对角线折叠，点的对应点为点，线段交线段于点；
第二步：如图2，将沿折叠，点的对应点为点，
连接交于点．若，则的值为 ．
18．如图，点D在的边BC上，，则线段AC的长为 ．

三、解答题
19．（1）解分式方程：．
（2）因式分解：．
（3）化简：
20．如图，已知中，，点是边的一点，且是的外接圆，，
(1)求证：；
(2)判断与直线的位置关系，并说明理由；
(3)请直接写出的半径.
21．华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完
(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）
(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
22．某校在育人工作中，其中一项是班主任每周与学生谈心，了解学生思想动态，及时对管理思路作出调整.为了解七年级班主任和学生的谈心情况，学校调查了七年级20名班主任一周与学生谈心的时间，将谈心时间、次数进行了收集、整理和分析.
【收集数据】
谈心时间（分钟）：25，35，35，20，25，38，40，40，38，40，38，38，20，35，20，38，38，38，25，25.
【整理数据】
【分析数据】
【解决问题】
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：c=_______，e=_______，f=_______.
(2)根据扇形统计图，将谈心时间不低于37分钟表彰为“最温暖的班主任”，则七年级有多少名班主任获得此荣誉称号？
(3)【数据应用】八年级20名班主任的谈心时间相关信息如下：
根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个年级的班主任在育人工作中投入更多一些？并给出一些合理解释.
23．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康､减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位：），在时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：
(1)下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是___________.
①②
③④
(2)对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片___________；（填“合格”､“不合格”）
(3)记血药浓度的峰值为，当时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.
24．半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具.如图是一种轻体侧翻自卸半挂车.图1是半挂车拉货状态截面示意图，图2是其卸货状态截面示意图，四边形为矩形，已知该车的车厢长为13米，宽为2.5米．高为2米，车板离地的距离为1米．请你计算：


(1)该半挂车的车厢容积为______立方米；
(2)该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为可全部卸完货物，求此时车身最高点离地面的距离.（参考数据：，，，结果保留一位小数.）
25．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于两点，点的坐标为，点的坐标为，连接，过作轴，垂足为．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)在射线上是否存在一点，使得是直角三角形，求出所有可能的点坐标．
26．某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．

(1)求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
(2)监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？
1．C
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此解答即可．
【详解】解：688000=
故选：C
2．C
先根据，设，，由勾股定理求得，再证明出，然后利用对应边成比例求得，便可．
【详解】根据题意作出示意图，

设，
因，所以，
因，所以，
因，AD⊥BC，所以，
因，所以，
因，所以，
所以，所以，
故选：C．
3．C
根据走势图，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：由走势图可得，网民对该关键词相关的信息关注度没有周期性变换，故A错误；
对于B：从2月开始，网民对该关键词相关的信息关注度上升，故B错误；
对于C：由走势图可得，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故C正确；
对于D：去年10月份波动较大，方差大，去年11月波动较小，方差小，故去年10月份的方差大于11月份的方差，故D错误，
故选：C
4．A
由对称性可知，阴影部分面积为以为圆心，为直径的圆的面积的，由圆的面积公式即可求解.
【详解】如题图，由对称性可知，阴影部分面积为以为圆心，为直径的圆的面积的，
由题意圆的半径，
所以阴影部分的面积为.
故选：A.
5．D
由三角形面积公式可求的长，由勾股定理可求的长，即可求的长，由勾股定理可求的长，即可求的面积.
【详解】∵四边形是矩形，∴，
∵，即，∴，
在中，（cm）
∵折叠后与重合，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，解得，
∴（cm2）.
故选：D.
6．B
根据题意和圆的性质知点为的中点，连接交于，在应用勾股定理求得，即得答案.
【详解】
根据题意和圆的性质知点为的中点，
连接交于，则，
在中，，
∴，
∴，
即点到弦所在直线的距离是米，
故选：
7．C
根据偶次根式的意义计算求解.
【详解】式子有意义，，解得：．
故选：C．
8．C
【详解】连接，作、轴于点D、E，
∵关于原点成中心对称，为等边三角形，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴相似于，
∵平分，为等边三角形，
∴，
∴，
∴S△BDO:S△OEC=BOCO2=13，
∵B点在函数的图象上，
∴S△BDO=12xB⋅yB=|4|2=2，
∴，
同理C点在函数的图象上，
S△OEC=k2=6，
∵，
∴．
故选：C．
9．50
令，分段求出的解析式，进而画出的图象，方程恰有三个解，等价于函数的图象与的图象恰有3个交点，数形结合即可求解.
【详解】令，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，，
画出的图象，如图所示：
方程恰有三个解，等价于函数的图象与的图象恰有3个交点，由图象可知，或，
所以所有符合条件的之和为.
故答案为：50
10．8
连接，设出点到边的距离，利用三角形面积公式建立关系求解.
【详解】连接，令边上的高分别为，
则边上的高为，边上的高为
而，则，
于是，四边形面积.
故答案为：8

11．
设，根据已知条件求得的关系式，从而求得正确答案.
【详解】依题意，三角形是等边三角形，连接，
则是线段的垂直平分线，，
设，则，，
而，所以，
过作轴于点，则，设，
则，整理得，
在直角三角形中，，即，
将代入上式得，整理得，
在第四象限，得，则，
所以，则，
所以这函数的解析式是.
故答案为：
12．/
根据尺规作图可确定为的角平分线，直线垂直平分线段，可知为的中位线，结合平行和角度关系可求得，由勾股定理求得后，加和可得结果.
【详解】由作图过程可知：为的角平分线，直线垂直平分线段，
连接，
，，为中点，，
又为中点，，，，
，，
即，，
又，，
.
故答案为：.
13．
设五个互不相等的自然数从小到大分别为、、、、，依题意可得，，要使尽可能大，则其余三个数竟尽可能小，且，即可确定其余三个数，从而求出.
【详解】解：设五个互不相等的自然数从小到大分别为、、、、，
因为其平均数是，
五个互不相等自然数的和为，
中位数是，即，要使竟尽可能大，则、、需尽可能小，
则，，，此时
即这组数据为，，，，，符合题意.
这五个数中最大数的最大值为．
故答案为：．
14． /0.5；
连接，作轴， 设点，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出的等式，将其分解因式，从而得出的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得的坐标，进一步可求得结果.
【详解】如图，
作轴于，连接，设和交于I,
设点，
由对称性可得:
，
，
（舍去），
即
在中，由勾股定理得
因为直线的解析式为：
所以直线的解析式为：
当时，
故答案为：
15．2
构造三元基本不等式，即可求解.
【详解】，
当且仅当时等号成立.
故答案为：2
16．
【详解】由图知，，过点作轴，垂足为，
由，则为中点，故为中点，
由于，则，，
又，解得，
则，代入，得.
故答案为：.
17．
以为原点，建立直角坐标系，设，求得和，得到，再求得直线和的直线方程，联立方程组求得的坐标，得到，进而求得的值，得到答案.
【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，
在直角中，因为，所以为等腰直角三角形，
设，为的中点，则，且，
由，可得,
则，
可得，
由，可得直线的方程为，
又由，可得直线的方程为，
联立方程组，解得，
所以
所以.
故答案为：.

18．
作交于，作交于，作交于，则有，结合条件，利用勾股定理可求得，.再设，利用，由勾股定理可求得，进而可求得，，即可求解.
【详解】作交于，作交于，作交于，如图所示：

因为，所以，所以,
因为，设，则，
在直角三角形中，，即，
解得（舍去），所以，.
设，则，
在直角三角形中，，即，
所以，所以，
设，则，则，得，
所以,
在直角三角形中，,
在直角三角形中，,
故答案为：
19．（1）；（2）；（3）.
（1）通过去分母，转化为整式方程，进而得到方程的解，然后代入检验是否是增根;
（2）通过拆项和提取公因式对多项式进行因式分解；
（3）利用完全平方公式进行化简，即可得出结果.
【详解】（1）由可得，，
去分母得，，
去括号得，，
解得，，
经检验，是原方程的解.
（2）
，
，
，

（3）因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以.
20．(1)证明见解析
(2)相切，理由见解析
(3)
（1）得到，∽，从而求出；
（2）作出辅助线，结合（1）得到，，证明出与直线的相切关系；
（3）根据，求出，，结合得到，由勾股定理得直径，求出答案.
【详解】（1）证明：（1）中，，
，
且，故∽，
.
（2）与直线相切，理由如下：
如图，作直径，交于点，连接，
为的直径，，
，又由（1）得，
，
为的直径，与直线相切.
（3）半径为，理由如下：
，
，，
，
，
，
，
的半径为
21．(1)
(2)2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元
（1）由题意得到，从而根据求出（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；
（2）时，配方求出的最大值，时，利用基本不等式求出的最大值，比较后得到结论.
【详解】（1）由题意得：，
故当时，，
当时，，
故（万元）关于年产量（千部）的函数关系式为：
.
（2）当时，，
故当时，取得最大值，最大值为万元；
当时，由基本不等式得：
（万元），
当且仅当，时，等号成立，
因为，所以2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元.
22．(1)，，；
(2)10；
(3)八年级的班主任，解释见解析.
（1）根据给定的数据求出，再利用频率、平均数、中位数的意义求解即得.
（2）求出谈心时间不低于37分钟的频率，进而求出频数即可.
（3）由两个年级的平均数、中位数、方差进行比较并判断.
【详解】（1）由给定的数据得，，则，
，
将20个数据由小到大排列为：，
因此.
故答案为：；；
（2）谈心时间不低于37分钟的班主任的频率为，则，
所以七年级有10名班主任获得此荣誉称号.
（3）八年级的班主任在育人工作中投入更多一些，
因为两个年级的班主任一周与学生谈心的时间平均数相同，
但八年级的班主任一周与学生谈心的时间中位数高于七年级，
且八年级的班主任一周与学生谈心的时间的方差小于七年级，
所以八年级的班主任在育人工作中投入更多一些.
23．(1)④
(2)合格
(3)
（1）先分析函数同时满足的条件，再逐一对每个函数进行验证；
（2）作差比较进行判断；
（3）令，分段解不等式，再取并集即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，得函数同时满足以下条件：
A.函数在上单调递增，在上单调递减；
B.当时，函数取得最大值；函数的最小值非负；
C.函数是一个连续变化的函数，不会发生骤变.
选择①：，
因为不满足条件B，
所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择②：，
当时，，
当时，函数取得最大值，不满足条件B，
所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择③：，
因为，
，
所以不满足条件C,
所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择④：，
因为，
且当时，，
所以同时满足三个条件，
即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；
综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④.
（2）解：由（1）得：函数④：
因为，
即血药浓度的峰值大于0.1，
所以此青蒿素药片合格，
即答案为：合格；
（3）解：当时，令，
所以，即，
即，解得或，
即；
当时，令，
则，解得，
即；
综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间
为.
24．(1)65
(2)4.2米
（1）由长方体体积公式即可求解.
（2）根据解直角三角形知识、锐角三角函数知识求得，相加即可得解.
【详解】（1）根据题意，得，
故答案为：65．
（2）过点D作于点F，交于点M，交于点G，
则，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，

25．(1)，；
(2)或
（1）根据反比例函数所过的点可求，再求出的坐标后可求一次函数的解析式.
（2）就不同的直角顶点分类讨论后结合直角三角形的性质或距离公式可求的坐标.
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵点的纵坐标为6且点在反比例函数图象上，
∴，∴，∴，
∴一次函数的表达式为.
（2）如图，①当时，
设与交于，则，而，故为的中点，
∴，的横坐标为，
∴ .
②当，设，
则，解得，
故，
综上所述，当是直角三角形，或.
26．(1)客户所评分数的中位数、平均数都是，该部门不需要整改
(2)监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数变大了
（1）先根据公式求客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数和平均数判断该部门是否需要整改；
（2）根据重新计算后，发现发现客户所评分数的平均数大于3.55分列不等式，从而求出监督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可判断.
【详解】（1）由条形图可知，第10个数据是3分，第11个数据是4分，所以这20个数据的中位数为，
由统计图可得平均数为：，
所以客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，故该部门不需要整改；
（2）监督人员抽取的问卷所评分数为分，则有，解得，
因为满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，
所以监督人员抽取的问卷所评分式为5分，
因为，所以加入这个数据，客户所评分数从小到大排列后，第11个数据不变还是4分，
即加入这个数据后中位数是4分，与（1）相比中位数发生了变化，由分变成4分.谈心时间（分钟）
20
25
35
38
40
频数
3
4
3
a
b
统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级班主任谈心时间
e
f
38
54.65
统计量
平均数
中位数
众数
方差
八年级班主任谈心时间
32.55
38
37
47.729
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
C
C
C
A
D
B
C
C